# Heinrich Hertz — Die Prinzipien der Mechanik

*Heinrich Hertz, Die Prinzipien der Mechanik in neuem Zusammenhange dargestellt. Mit einem Vorworte von H. v. Helmholtz. Leipzig: Johann Ambrosius Barth, 1894.*
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Vorwort von H. v. Helmholtz.

Am 1, Januar 1894 starb Hemwricn Hertz. Fir alle, die
den Fortschritt der Menschheit in der miéglichst breiten Ent-
wickelung ihrer geistigen Fahigkeiten und in der Herrschaft
des Geistes iiber die natiirlichen Leidenschaften wie tiber die
widerstrebenden Naturkrafte zu sehen gewohnt sind, war die
Nachricht vom Tode dieses bevorzugten Lieblings des Genius
eine tief erschiitternde. Durch seltenste Gaben des Geistes
und Charakters begiinstigt, hat er in seinem leider so kurzen
Leben eine Fiille fast unverhofiter Friichte geerntet, um deren
Gewinnung sich wahrend des vorausgehenden Jahrhunderts
viele von den begabtesten seiner Fachgenossen vergebens be-
miht haben. — In alter, klassischer Zeit wirde man gesagt
haben, er sei dem Neide der Gétter zum Opfer gefallen. Hier
schienen Natur und Schicksal in ganz ungewéhnlicher Weise
die Entwickelung eines Menschengeistes begiinstigt zu haben,
der alle zur Lésung der schwierigsten Probleme der Wissen-
schaft erforderlichen Anlagen in sich vereinigte. Es war ein
Geist, der ebenso der héchsten Scharfe und Klarheit des

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vIn. Vorwort von H. v. Helmholtz.

logischen Denkens fahig war, wie der gréfsten Aufmerksamkeit
in der Beobachtung unscheinbarer Phainomene. Der unein-
geweihte Beobachter geht an solchen leicht vortiber, ohne auf
sie zu achten; dem schirferen Blicke aber zeigen sie den Weg
an, durch den er in neue unbekannte Tiefen der Natur ein-
zudringen vermag.

Hemearico Hurrz schien pridestiniert zu sein, der Mensch-
heit solche neue Hinsicht in viele bisher verborgene Tiefen der
Natur zu erschliefsen, aber alle diese Hoffnungen scheiterten
an der ttickischen Krankheit, die, langsam und unaufhaltsam
vorwarts schleichend, dieses der Menschheit so kostbare Leben
vernichtete und alle darauf gesetzten Hoffnungen grausam
zerstérte. ,

Ich selbst habe diesen Schmerz tief empfunden, denn unter
allen Schiilern, die ich gehabt habe, durfte ich Hzetz immer
als denjenigen betrachten, der sich am tiefsten in meinen
eigenen Kreis von wissenschaftlichen Gedanken eingelebt hatte,
‘und auf den ich die sichersten Hoffnungen fir ihre weitere
Entwickelung und Bereicherung glaubte setzen zu diirfen.

Hemeicu Rupotr Hertz ward am 22. Februar 1857 in
Hamburg als Altester Sohn des damaligen Rechtsanwalts,
spiiteren Senators Dr. Hertz geboren. Nachdem er bis zu
seiner Konfirmation den Unterricht in einer der stidtischen
Biargerschulen erhalten hatte, trat er nach einem Jahre hius-
licher Vorbereitung fiir héher reichende Studien in die Ge-
lehrtenschule seiner Vaterstadt, das Johanneum, ein und ver-
liefs dieselbe 1875 mit dem Zeugnis der Reife. Er gewann
schon als Knabe die Anerkennung seiner Eltern und Lehrer
wegen seines ungewdhnlich regen Pflichtgeftihls. Die Art.
seiner Begabung zeigte sich schon friith dadurch, dafs er aus
eigenem Antriebe neben seinen Schulfaichern mechanische Ar-
beiten an der Hobel- und Drehbank betrieb, daneben Sonntags
die Gewerbeschule besuchte, um sich im geometrischen Zeichnen
zu tiben, und sich mit den einfachsten Hilfsmitteln brauch-
bare Instrumente optischer und mechanischer Art zu erbauen
bestrebte..

Als er nach Beendigung seines Schulkursus sich zu der


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Vorwort von H. v. Helmholtx. x

Wahl eines Berufs entschliefsen mufste, wihlte er den des
Ingenieurs. Es scheint, dafs die auch in spiteren Jahren
als ein charakteristischer Grundzug seines Wesens hervor-
tretende Bescheidenheit ihn an seiner Begabung fir theore-
tische Wissenschaft zweifeln liefs, und dafs er sich bei der
Beschiftigung mit seinen geliebten mechanischen Arbeiten des
Erfolges sicherer fiihlte, weil er. deren Tragweite schon damals
ausreichend verstand. Vielleicht hat ihn auch die in seiner
Vaterstadt herrschende, mehr dem Praktischen zugeneigte
Sinnesweise beeinflufst. Ubrigens beobachtet man nicht selten
diese Art zaghafter Bescheidenheit gerade bei jungen Leuten
_ von hervorragenden Anlagen. Sie haben wohl eine deutliche
Vorstellung von den Schwierigkeiten, die vor der Erreichung
des ihnen vorschwebenden hohen Zieles zu tiberwinden sind,
und miissen ihre Krafte erst praktisch erprobt haben, ehe
sie das zu ihrem schweren Werke nétige Selbstvertrauen ge-
winnen. Aber auch in ihrer spateren Entwickelung pflegen
reich veranlagte Naturen um so unzufriedener mit ihren
eigenen Werken zu sein je héher ihre Fahigkeiten und ihre
Ideale reichen. Die Begabtesten erreichen offenbar nur des-
halb das Hichste, weil sie am empfindlichsten gegen jede Un-
vollkommenheit sind, und am wunermiidlichsten an deren
Beseitigung arbeiten.

Volle zwei Jahre dauerte bei Hemeice Hertz dieses
Stadium des Zweifels. Dann entschlofs er sich im Herbst 1877
zur akademischen Laufbahn, da er bei reifenden Kenntnissen
sich innerlich iiberzeugte, dafs er nur in wissenschaftlicher Ar-
beit dauernde Befriedigung finden wirde. Der Herbst 1878
fihrte ihn nach Berlin, wo ich ihn zuerst als Praktikanten in
dem von mir geleiteten physikalischen Laboratorium der Uni-
versitit kennen lernte. Schon wahrend er die elementaren
Ubungsarbeiten durchfihrte, sah ich, dafs ich es hier mit einem
Schiller von ganz ungewdhnlicher Begabung zu thun hatte,
und da mir am Ende des Sommersemesters die Aufgabe zu-
fiel, das Thema zu einer physikalischen Preisarbeit fir die ©
Studierenden vorzuschlagen, wahlte ich eine Frage aus der
Elektrodynamik, in der sicheren, nachher auch bestitigten —

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x . Vorwort von H. v. Helmholtz.

Voraussetzung, dafs Hertz sich dafiir interessieren und sie mit
Erfolg angreifen werde.

Die Gesetze der Elektrodynamik wurden damals in Deutsch-
land noch von der Mehrzahl der Physiker aus der Hypothese
von W. Wesee hergeleitet, welche die elektrischen und mag-
netischen Erscheinungen auf eine Modifikation der NEwrton’-
schen Annahme von unmittelbar und geradlinig in die Ferne
wirkenden Krafte zuriickzufiihren suchte. Die Abnahme der
betreffenden Krafte in der Ferne sollte demselben Gesetze
wie die von NEwron angenommene Gravitationskraft und die
von Covutoms zwischen je zwei elektrisierten Massenpunkten
gemessene scheinbare Fernkraft folgen, es sollte namlich die
Intensitat der Kraft dem Quadrate des Abstandes der auf
einander wirkenden elektrischen Quanta umgekehrt, dem Pro-
dukte der beiden Quanta aber direkt proportional sein, und
zwar mit abstofsender Wirkung zwischen gleichnamigen, an-
ziehender zwischen vungleichnamigen Mengen. Ubrigens
wurde in Weser’s Hypothese die Ausbreitung dieser Kraft
durch den unendlichen Raum als augenblicklich und mit un-
endlicher Geschwindigkeit erfolgend vorausgesetzt. Der ein-
zige Unterschied zwischen W. Wxsrr’s Annahme und der von
Covitoms bestand darin, dafs Wrsrr voraussetzte, auch die
Geschwindigkeit, mit der sich die beiden elektrischen Quanta
einander naherten oder von einander entfernten, und auch
die Beschleunigungen dieser Geschwindigkeiten kénnten einen
Einflufs auf die Gréfse der Kraft zwischen den beiden elek-
trischen Mengen haben. Neben dieser Wxsur’schen Hypo-
these bestanden noch eine Reihe 4hnlicher anderer, die alle
das Gemeinsame hatten, dafs sie die Gréfse der CouLoms’schen
Kraft noch durch den Kinflufs irgend einer Komponente der
Geschwindigkeit der bewegten elektrischen Quanta modifiziert
ansahen. Solche Hypothesen waren von F’.E. NevMANN, von dessen
Sohne C. Neumann, von Riemann, Grossmann, spiter von
Cuavsrus aufgestellt worden. Magnetisierte Molekeln galten
als Achsen elektrischer Kreisstréme, nach einer schon von AmM-
PrRE aufgefundenen Analogie ihrer nach aufsen gerichteten
Wirkungen.

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Vorwort von H. v. Helmholtz. xI

Diese bunte Blumenlese von Annahmen war in ihren Folger-
ungen sehr wenig iibersichtlich und erforderte zu ihrer Ab-
leitung verwickelte Rechnungen, Zerlegungen der Einzelkrifte
in ihre verschieden gerichteten Komponenten u.s.w. So war!
das Gebiet der Elektrodynamik um jene Zeit zu einer un-|
wegsamen Wiiste geworden. Beobachtete Thatsachen und |
Folgerungen aus hichst zweifelhaften Theorien liefen ohne
sichere Grenze durcheinander. In dem Streben, dieses Wirrsal
tibersehen zu lernen, hatte ich es tibernommen, das Gebiet
der Elektrodynamik, so weit ich sah, zu klaren, und die.
unterscheidenden Folgerungen der verschiedenen Theorien auf-
zusuchen, um wo mdglich durch passend angestellte Versuche
zwischen ihnen zu entscheiden.

Es ergab sich daraus folgendes allgemeine Resultat:
Alle Erscheinungen, die vollkommen geschlossene Stréme
bei ihrer Zirkulation durch in sich zuriicklaufende metallische
Leitungskreise hervorrufen und die die gemeinsame Higentiim-
lichkeit haben, dafs es, wahrend sie fliefsen, zu keiner erheb-
lichen Verainderung der in einzelnen Teilen des Leiters
angesammelten elektrischen Ladungen kommt, liefsen sich aus
allen den genannten Hypothesen gleich gut ableiten. Ihre
Folgerungen stimmten sowohl mit Ampzre’s Gesetzen der
elektromagnetischen Wirkungen, wie mit den von Fanra-
pay und Lenz entdeckten und von F. E. Neumann verallge-
meinerten Gesetzen der induzierten elektrischen Stréme wohl
tiberein. In wunvollstiindig geschlossenen leitenden Kreisen
dagegen fihrten die verschiedenen oben genannten Hypothesen
zu wesentlich verschiedenen Folgerungen. Die erwahnte gute
Ubereinstimmung aller der verschiedenen damaligen Theorien
mit den an vollstandig geschlossenen Strémungen beobachteten
Thatsachen erklirt sich leicht daraus, dafs man geschlossene
Stréme beliebig lange Zeit und in beliebiger Starke unterhalten
kann, jedenfalls lange genug, dafs die von ihnen ausgeiibten
Krifte volle Zeit haben, ihre Wirkungen sichtbar zu entfalten,
dafs deshalb die thatséchlichen Wirkungen solcher Stréme und
ihre Gesetze wohlbekannt und genau ermittelt waren. Daher
wiirde jede Abweichung einer neu aufgestellten Theorie von

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xo Vorwort von H. v. Helmholtx.

irgend einer der bekannten Thatsachen dieses wohl durch-
gearbeiteten Gebietes schnell aufgefallen und zur Widerlegung
der Theorie benutzt worden sein.

Dagegen sammeln sich an den offenen Enden ungeschlossener
Leiter, wo sich isolierende Massen zwischen diese Enden ein-
schieben, durch jede elektrische Bewegung lings der Linge des
Leiters sogleich elektrische Ladungen an, herrihrend von der
gegen das Ende des Leiters hindrangenden Elektricitit, die
ibrén Weg durch den Isolator nicht fortsetzen kann. Hine aufser-
ordentlich kurze Dauer der Strémung geniigt in einem solchen
Falle, um die abstofsende Kraft der am Ende angehiuften
Elektricitét gegen die gleichnamige nachdringende so hoch zu
steigern, dafs diese in ihrer Bewegung vollstandig gehemmt
wird, wonach zunichst das weitere Zustrémen aufhért und
nach momentaner Ruhe dann ein schnelles Zuriickdriingen der
angesammelten Elektricitaét folgt.

Es war fiir jeden Kenner der thats&chlichen Verhiltnisse
zu jener Zeit klar, dafs sich das vollkommene Verstaéndnis der
Theorie der elektromagnetischen Erscheinungen nur durch die
genaue Untersuchung der Vorginge bei diesen sehr schnell
voriibergehenden ungeschlossenen Strémen werde gewinnen
lassen. W. Weser hatte versucht, gewisse Schwierigkeiten
seiner elektrodynamischen Hypothese zu beseitigen oder zu
vermindern dadurch, dafs er sich auf die Méglichkeit berufen,
die Elektricitit kénne einen gewissen Grad von Beharrungs-
vermégen haben, wie es den schweren Kérpern zukomme.
Scheinbar zeigen bei Schliefsung und Unterbrechung jedes
Stromes sich Wirkungen, die den Anschein eines Beharrungs-
vermégens der Elektricitaét vortiuschen. Diese rihren aber
von der sogenannten elektrodynamischen Induktion d. h. von
einer gegenseitigen Kinwirkung nahe gelegener Stromleiter auf
einander her und sind in ihren Gesetzen seit Farapay wohl-
bekannt. Wahres Beharrungsvermégen miifste nur der Masse
der bewegten Elektricitét proportional sein, ohne von der Lage
des Leiters abzuhingen. Wenn etwas derart existierte, miif{ste
es sich durch eine Verlangsamung der oscillierenden Bewegungen
der Elektricitiét zu erkennen geben, wie sie nach jahen Unter-


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Vorwort von H. v. Helmholtz. xu

brechungen elektrischer Stréme in gut leitenden Drahten sich
zeigen. Auf diesem Wege liefs sich die Bestimmung einer
oberen Grenze fiir den Wert dieses Beharrungsvermigens er-
warten, und deshalb stellte ich die Aufgabe, iiber die Grilfse
von Extrastrémen Versuche auszufihren. Aus diesen sollte
wenigstens eine obere Grenze fir die bewegte Masse fest-
gestellt werden. Es waren schon in der Aufgabe, als zu diesen
Versuchen besonders geeignet erscheinend, Extrastréme aus
doppeltdrahtigen Spiralen vorgeschlagen, deren Zweige in ent-
gegengesetzter Richtung durchflossen waren. In der Liésung
dieser Aufgabe bestand die erste gréfsere Arbeit von Hemricu
Hertz. Er giebt darin eine pricise Antwort auf die gestellte
Frage und zeigt, dafs hiéchstens 1/,, bis 1/,, des Extrastromes
aus einer doppeltdrahtigen Spirale der Wirkung einer Trigheit
der Elektricitét zuzuschreiben sei. Diese Arbeit wurde mit
dem Preise gekrént.

Aber Hzrrz beschrankte sich nicht auf die vorgeschlagenen
Versuche. Er erkannte namlich, dafs bei geradlinig aus-
gespannten Drihten die Induktionswirkungen, trotz ihrer sehr
viel geringeren Starke, viel genauer zu berechnen waren, als
bei Spiralen mit vielen Windungen, weil er hier die Lagerungs-
verhaltnisse nicht genau abmessen konnte. Daher beniitzte er
zu weiteren Versuchen eine Leitung aus zwei Rechtecken
von geraden Drahten und fand hier, dafs der von dem Be-
harrungsvermiégen herriihrende Extrastrom héchstens 1/,,, von
dem Werte des Induktionsstromes betrage.

Untersuchungen tiber den Hinflufs der Centrifugalkraft in
einer schnell rotierenden Platte auf die Bewegung eines sie
durchfliefsenden elektrischen Stromes fihrten ihn zu einer
noch viel tiefer liegenden oberen Grenze des Beharrungs-
vermégens der Elektricitit.

Diese Versuche haben ihm offenbar die ungeheure Be-
weglichkeit der Elektricitét eindringlich zur Anschauung ge-
bracht und ihm geholfen, die Wege zu finden, um seine
wichtigsten Entdeckungen zu machen.

In England waren durch Farapay ganz andere Vor-
stellungen tiber das Wesen der Elektricitét verbreitet. Seine

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XIV Vorwort von H. v. Helmholix.

in schwerverstandlicher abstrakter Sprache vorgetragenen Ideen
brachen sich nur langsam Bahn, bis sie in CuanrkK MaxweEuu
einen berufenen Interpreten fanden. Farapay’s Hauptbestreben
bei der Erklirung der elektrischen Erscheinungen ging dahin,
alle Voraussetzungen, bestehend in Annahmen von nicht direkt
wahrnehmbaren Vorgaéngen oder Substanzen, auszuschliefsen.
Vor allem wies er, wie es einst zu Anfang seiner Laufbahn
schon Newron gethan, die Hypothese von der Existenz der
Fernkrafte zuriick. Es schien ihm undenkbar, wie die dlteren
Theorien annahmen, dafs direkte und unmittelbare Wirkungen
zwischen zwei réumlich getrennten Kérpern bestehen sollten,
ohne dafs in den zwischenliegenden Medien irgend eine Ver-
ainderung vor sich gehe. Daher suchte er zundchst nach
Spuren von Veranderungen in Medien, welche zwischen elektri-
sierten oder zwischen magnetischen Kérpern lagen. Es gelang
ihm der Nachweis von Magnetismus oder Diamagnetismus bei
fast allen bisher fiir unmagnetisch geltenden Kérpern. Ebenso
wies er nach, dafs unter der Einwirkung elektrischer Kriifte
gut isolierende Kérper eine Veranderung erlitten; diese be-
zeichnete er als ,dielektrische Polarisation der Iso-
latoren“.

Es liefs sich nicht verkennen, dafs die Anziehung zwischen
zwei mit Elektricitiét beladenen Leitern oder zwischen zwei
entgegengesetzten Magnetpolen in Richtung ihrer Kraftlinien
sich wesentlich verstérken mufste, wenn man dielektrisch oder
magnetisch polarisierte Medien zwischen sie einschaltete. Quer
gegen die Kraftlinien mufste dagegen eine Abstofsung ent-
stehen. Nach diesen Entdeckungen konnte nicht mehr ge-
leugnet werden, dafs ein Teil der magnetischen und elektrischen
Fernwirkung durch Vermittelung der zwischenliegenden polari-
sierten Medien zu stande kame, ein anderer konnte freilich
immerhin noch iibrig bleiben, der einer direkten Fernkraft
angehorte.

Farapay und Maxwstt neigten sich der einfacheren An-
nahme zu, dafs iiberhaupt Fernkrifte nicht existierten, und Max-
WELL entwickelte die mathematische Fassung dieser Hypothese,
welche allerdings eine vollstindige Umkehr der bisherigen An-

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Vorwort von H. v. Helmholtz. xv

schauungen verlangte. Danach mufste der Sitz der Verinder-
ungen, welche die elektrischen Erscheinungen hervorbringen,
nur noch in den Isolatoren gesucht werden, Entstehen und
Vergehen der Polarisationen in den Isolatoren muiste der
Grund der scheinbar in den Leitern stattfindenden elektrischen
Bewegungen sein. Ungeschlossene Stréme gab es nicht mehr,
denn die Anhaufung elektrischer Ladungen an den Enden
der Leitung und die dabei in den sie trennenden Isolatoren
auftretende dielektrische Polarisation stellte eine Aquivalente
elektrische Bewegung in den zwischenliegenden Isolatoren dar,
die die Liicke des Stromes zu erginzen geeignet schien.

Schon Farapay hatte mit seiner sehr sicheren und tief-
gehenden inneren Anschauung geometrischer und mechanischer
Fragen erkannt, dafs die Verteilung der elektrischen Fern-
wirkungen im Raume nach diesen Annahmen genau mit der
durch die alte Theorie gefundenen stimmen mulste.

MaxweEt. bestitigte und erweiterte dies mit den Hilfs-
mitteln der mathematischen Analysis zu einer vollstindigen
Theorie der Elektrodynamik. Ich selbst erkannte sehr wohl
das Zwingende in den von Farapay gefundenen Thatsachen
und untersuchte zunachst die Frage, ob Fernwirkungen iber-
haupt existierten uud in Betracht gezogen werden missten.
Der Zweifel schien mir zundchst in einem so verwickelten Ge-
biete der wissenschaftlichen Vorsicht gemafs zu sein und konnte
zu entscheidenden Versuchen hinleiten.

Das war der Stand der Frage, als Hemerica Hertz
nach Beendigung seiner vorgenannten Preisarbeit in die Unter-
suchung eintrat.

Nach Maxwett’s Auffassung war es wesentlich entscheidend
fiir seine Theorie, ob das Entstehen und Vergehen dielektrischer
Polarisation in einem Isolator dieselben elektrodynamischen
Wirkungen in der Umgebung hervorbringt, wie ein galvanischer
Strom in einem Leiter. Diesen Nachweis zu erbringen erschien
mir als eine ausfiihrbare und hinreichend wichtige Arbeit, um
sie zum Gegenstand einer der grofsen Preisaufgaben der Ber-
liner Akademie zu machen.

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XVI Vorwort von H. v. Helmholtz.

Wie sich, an diese von den Zeitgenossen vorbereiteten
Keime ankniipfend, die Entdeckungen von Herrz weiter ent-
wickelten, hat er selbst in der EKinleitung seines interessanten
Buches: Untersuchungen iiber die Ausbreitung der
elektrischen Kraft so anschaulich und interessant entwickelt,
dafs kein Anderer dazu etwas wesentliches oder gar besseres
hinzufiigen kénnte. Dieser Bericht ist als eine héchst auf-
richtige und eingehende Darstellung einer der wichtigsten
und folgenreichsten Entdeckungen von hervorragendem Werte.
Leider besitzen wir nicht viel ahnliche Akten iiber die innere
psychologische Geschichte der Wissenschaft, und wir sind dem
Verfasser auch dafiir den griéfsten Dank schuldig, dafs er uns
so tief in das Innere seiner Gedankenwerkstatt und selbst in
die Geschichte seiner zeitweiligen Irrtiimer hat schauen lassen.

Nur iiber die Folgen dieser neuen Entdeckungen wire
noch einiges hinzuzufiigen.

Die Ansichten, deren Richtigkeit Hertz spiter bestitigt
hat, waren allerdings, wie oben bemerkt, vor ihm durch
Farapay und Maxwett als méglich oder selbst als héchst
wahrscheinlich schon aufgestellt, aber die thatsichlichen Be-
weise ihrer Richtigkeit fehlten noch. Hertz hat nun in der
That diese Beweise geliefert. Nur einem ungewéhnlich auf-
merksamen Beobachter, der die Tragweite jeder unvermuteten
und bis dahin unbeachteten Erscheinung sogleich durchschaut,
konnten die héchst unscheinbaren Phanomene auffallen, die ihn
auf den richtigen Weg geleitet haben. Es wire eine hoffnungs-
lose Aufgabe gewesen, schnell wechselnde Stréme mit einer
Dauer von Zehntausendteilen oder gar nur Millionteilen einer
Sekunde am Galvanometer oder mittels irgend einer anderen
damals geiibten experimentellen Methode sichtbar zu machen.
Denn alle endlichen Kriafte brauchen eine gewisse Zeit zur
Hervorbringung endlicher Geschwindigkeiten und zur Ver-
schiebung von Kiérpern von irgend welchem Gewicht, auch
so geringem, wie es die Magnetnadeln unserer Galvanometer
zu haben pflegen. Aber elektrische Funken kénnen zwischen
den Enden einer Leitung sichtbar werden, wenn auch nur
fir ein Milliontel Sekunde die elektrische Spannung an den

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Vorwort von H. v. Helmholix. XVII

Enden einer solchen Leitung hoch genug gesteigert wird,
dafs der Funke eine winzige Luftschicht durchbrechen kann.
Hertz war durch seine friheren Untersuchungen schon wohl-
bekannt mit der Regelmafsigkeit und enormen Geschwindigkeit
dieser sehr schnellen Oscillationen der Elektricitét, und seine
Versuche, auf diesem Wege die fliichtigsten elektrischen Be-
wegungen zu entdecken und sichtbar zu machen, gelangen
ihm verhaltnismifsig schnell. Er fand sehr bald die Bedingungen,
unter denen er die Oscillationen ungeschlossener Leitungen
in solcher Regelmafsigkeit erzielen konnte, dafs er ihre Ab-
hangigkeit von den verschiedensten Nebenumstinden ermitteln
und dadurch die Gesetze ihres Auftretens und sogar den Wert
ihrer Wellenlinge in der Luft und ihre Fortpflanzungs-
geschwindigkeit ermitteln konnte. Bei dieser ganzen Unter-
suchung mufs man immer wieder den Scharfsinn seiner Uber-
legungen und sein experimentelles Geschick bewundern, die
sich in der gliicklichsten Weise erganzten,

Herz hat durch diese Arbeiten der Physik neue Anschau-
ungen natiirlicher Vorgiinge von dem gréfsten Interesse gegeben.
Es kann nicht mehr zweifelhaft sein, dafs die Lichtschwingungen
elektrische Schwingungen in dem den Weltraum fillenden
Ather sind, dafs dieser selbst die Eigenschaften eines Isolators
und eines magnetisierbaren Medium hat. Die elektrischen
Oscillationen im Ather bilden eine Zwischenstufe zwischen
den verhiltnismafsig langsamen Bewegungen, welche etwa
durch elastisch ténende Schwingungen magnetisierter Stimm-
gabeln dargestellt werden, und den ungeheuer schnellen
Schwingungen des Lichts andererseits; aber es lafst sich nach-
weisen, dafs ihre Fortpflanzungsgeschwindigkeit, ihre Natur
als Transversalschwingungen, die damit zusammenhingende
Moéglichkeit der Polarisationserscheinungen, der Brechung und
Reflexion vollstindig denselben Verhiltnissen entsprechen wie
bei dem Lichte und bei den Warmestrahlen. Nur fehlt den
elektrischen Wellen die Fahigkeit das Auge zu affizieren,
wie diese auch den dunklen Warmestrahlen fehlt, deren
Schwingungszahl dazu nicht grofs genug ist.

Es ist gewils eine grofse Errungenschaft, die vollstandigen

a"

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xVII Vorwort von H. v. Helmholtz.

Beweise dafir geliefert zu haben, dafs das Licht, eine so ein-
flufsreiche und so geheimnifsvolle Naturkraft, einer zweiten
ebenso geheimnisvollen, und vielleicht noch beziehungsreicheren
Kraft, der Elektricitét, auf das engste verwandt ist. Ftr die
theoretische Wissenschaft ist es vielleicht noch wichtiger, ver-
stehen zu kénnen, wie anscheinende Fernkrafte durch Uber-
tragung der Wirkung von einer Schicht des zwischenliegenden
Medium zur niachsten fortgeleitet werden. Freilich bleibt noch
das Ratsel der Gravitation stehen, die wir noch nicht folge-
richtig anders, denn als eine reine Fernkraft zu erklaren
wissen.
Herricu Hertz hat sich durch seine Entdeckungen einen
: bleibenden Ruhm in der Wissenschaft gesichert. Sein Andenken
,wird aber nicht nur durch seine Arbeiten fortleben, auch seine
: liebenswiirdigen Charaktereigenschaften, seine sich immer gleich-
bleibende Bescheidenheit, die freudige Anerkennung fremden
‘Verdienstes, die treue Dankbarkeit, die er seinen Lehrern be-
;wahrte, wird Allen, die ihn kannten, unverge(slich sein. Ihm
‘selbst war es nur um die Wahrheit zu thun, die er mit Aufser-
_stem Ernst und mit aller Anstrengung verfolgte; nie machte
sich die geringste Spur. von Ruhmsucht oder persénlichem
Interesse bei ihm geltend. Auch da, wo er einiges Recht ge-
habt hitte, Entdeckungen fir sich in Anspruch zu nehmen,
war er eher geneigt stillschweigend zuriickzutreten. Im ganzen
still und schweigsam, konnte er doch heiter an fréhlichem
:Freundeskreise teilnehmen und die Unterhaltung durch manches
treffende Wort beleben. Er hat wohl nie einen persénlichen
:Gegner gehabt, obgleich er gelegentlich tiber nachlissig ge-
‘machte oder renomistisch auftretende Bestrebungen, die sich
fir Wissenschaft ausgaben, ein scharfes Urteil fallen konnte.
; Sein dufserer Lebensgang verlief folgendermafsen: Im Jahre
\ 1880 trat er als Assistent im Physikalischen Laboratorium der
// Berliner Universitét ein; 1883 veranlafste ihn das preulsische
\ Kultusministerium, sich in Kiel mit Aussicht auf baldige Be-
‘| forderung zu habilitieren. Zu Ostern 1885 wurde er als ordent-
y licher Professor der Physik an die technische Hochschule zu
; Karlsruhe berufen. Hier machte er seine hauptsichlichsten

~

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Vorwort von H. v. Helmholtx. xix

Entdeckungen, und hier verheiratete er sich mit Fraulein
Elisabeth Doll, der Tochter eines Kollegen. Schon nach zwei
Jahren erhielt er einen Ruf als Ordinarius der Physik an die
Universitit Bonn, dem er zu Ostern 1889 folgte.

In den nun folgenden leider so kurzen Jahren seines
Lebens brachten ihm seine Zeitgenossen alle dufseren Zeichen |
der Ehre und Anerkennung entgegen. Im Jahre 1888 wurde/
ihm die Matteucci-Medaille von der italienischen Gesellschaft
der Wissenschaften, 1889 von der Academie des Sciences in
Paris der Preis La Caze und von der K. K. Akademie zu Wien,
der Baumgartner-Preis, 1890 die Rumford-Medaille von der
Royal Society in London, 1891 der Bressa-Preis von der Kénig-:
lichen Akademie in Turin verlichen. \

Die Akademien von Berlin, Miinchen, Wien, Gottingen, ,
Rom, Turin und Bologna, sowie viele andere gelehrte Gesell-.
schaften wahlten ihn zum korrespondierenden Mitglied, und .
die preufsische Regierung verlich ihm den Kronenorden.

Er sollte sich seines steigenden Ruhmes nicht lange er-
freuen. Eine qualvolle Knochenkrankheit fing an sich zu ent-
wickeln; im November 1892 schon trat das Ubel drohend auf.
Kine damals ausgefithrte Operation schien das Leiden fiir kurze
Zeit zuriickzudringen. Hertz konnte seine Vorlesungen, wenn |
auch mit grofser Anstrengung, bis zum 7. Dezember 1893 fort- ;
setzen; am 1. Januar 1894 erldste ihn der Tod von seinen }
Leiden.

Wie sehr das Nachsinnen von Herrz auf die allgemeinsten
Gesichtspunkte der Wissenschaft gerichtet war, zeigt auch
wieder das letzte Denkmal seiner irdischen Thitigkeit, das
vorliegende Buch tiber die Prinzipien der Mechanik.

Er hat versucht, darin eine konsequent durchgefiihrte Dar-
stellung eines vollstindig in sich zusammenhangenden Systems
der Mechanik zu geben und alle einzelnen besonderen Gesetze
dieser Wissenschaft aus einem einzigen Grundgesetz abzu-
leiten, welches logisch genommen natiirlich nur als eine plau-
sible Annahme betrachtet werden kann. Er ist dabei zu den
altesten theoretischen Anschauungen zuriickgekehrt, die man
eben deshalb auch wohl als die einfachsten und natirlichsten

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xx Vorwort von H. v. Helmholtz.

ansehen darf, und stellt die Frage, ob diese nicht ausreichen
wirden, alle die neuerdings abgeleiteten allgemeinen Prinzipien
der Mechanik konsequent und in strengen Beweisen herleiten
zu kénnen, auch wo sie bisher nur als induktive Verallge-
meinerungen aufgetreten sind. .

Die erste Entwickelung der wissenschaftlichen Mechanik
kniipfte sich an die Untersuchungen des Gleichgewichts und
der Bewegung fester Kérper, die mit einander in unmittelbarer
Berthrung stehen, woftir die einfachen Maschinen, Hebel, Rollen,
schiefe Ebenen, Flaschenziige die erlauternden Beispiele gaben.
Das Gesetz von den virtuellen Geschwindigkeiten ist die ur-
springlichste, allgemeine Lésung aller dahin gehirigen Auf-
gaben. Spiter entwickelte Gate: die Kenntnis der Trag-
heit und der Bewegungskraft als einer beschleunigenden Kraft,
die freilich von ihm noch dargestellt wird als eine Reihe von
Stéfsen. Erst Newron kam zum Begriff der Fernkraft und
ihrer naheren Bestimmung durch das Prinzip der gleichen
Aktion und Reaktion. Es ist bekannt, wie sehr anfangs ihm
selbst und seinen Zeitgenossen der Begriff unvermittelter Fern-
wirkung widerstrebte.

Von da ab entwickelte sich die Mechanik weiter unter
Benutzung von Newron’s Begriff und Definition der Kraft, und
man lernte allmahlich auch die Probleme behandeln, in denen
sich konservative Fernkrafte mit dem Kinfluls fester Verbin-
dungen kombinieren, deren allgemeinste Lésung in p’ALEMBERT’s
Prinzip gegeben ist. Die allgemeinen prinzipiellen Sitze der
Mechanik (Gesetz von der Bewegung des Schwerpunkts, der
Flachensatz fir rotierende Systeme, das Prinzip von der Er-
haltung der lebendigen Krafte, das Prinzip der kleinsten Aktion)
haben sich alle entwickelt unter der Voraussetzung von NEw-
ton’s Attributen der konstanten, also auch konservativen An-
ziehungskrafte zwischen materiellen Punkten und der Existenz
fester Verbindungen zwischen denselben. Sie sind urspriing-
lich nur unter der Annahme solcher gefunden und bewiesen
worden. Man hat dann spiter durch Beobachtung gefunden,
dafs die so hergeleiteten Sitze eine viel allgemeinere Geltung
in der Natur in Anspruch nehmen durften, als aus ihrem Be-


[PDF-PAGE 27]
Vorwort von H. v. Helmholtz. XXI

weise folgte, und hat demniachst gefolgert, dafs gewisse all-
gemeinere Charaktere der Newrton’schén konservativen An-
ziehungskrifte allen Naturkriften zukommen, vermochte aber
diese Verallgemeinerung aus einer gemeinsamen Grundlage
nicht abzuleiten. Hertz hat sich nun bestrebt, fir die Me-
chanik eine solche Grundanschauung zu finden, welche fihig
wire, eine vollkommene folgerichtige Ableitung aller bisher als
allgemeingtiltig anerkannten Gesetze der mechanischen Vor-
ginge zu geben, und er hat das mit grofsem Scharfsinn und
unter einer sehr bewundernswirdigen Bildung eigentimlich
verallgemeinerter kinematischer Begriffe durchgefihrt. Als
einzigen Ausgangspunkt hat er die Anschauung der Altesten
mechanischen Theorien gewihlt, nimlich die Vorstellung, dafs
alle mechanischen Prozesse so vor sich gehen, als ob alle Ver-
bindungen zwischen den auf einander wirkenden Teilen feste
waren. Freilich mufs er die Hypothese hinzunehmen, dafs es
eine grofse Anzahl unwahrnehmbarer Massen und unsichtbarer
Bewegungen derselben gebe, um dadurch die Existenz der
Krifte zwischen den nicht in unmittelbarer Beriithrung mit ein-
ander befindlichen Kérpern zu erkliren. Einzelne Beispiele, die
erléutern kénnten, wie er sich solche hypothetischen Zwischen-
glieder dachte, hat er aber leider nicht mehr gegeben, und es
wird offenbar noch ein grofses Aufgebot wissenschaftlicher Ein-
bildungskraft dazu gehéren, um auch nur die einfachsten Fille
physikalischer Krafte danach zu erkléren. Er scheint hierbei
hauptsichlich auf die Zwischenschaltung cyklischer Systeme
mit unsichtbaren Bewegungen Hoffnung gesetzt zu haben.
Englische Physiker, wie Lord Kxuvm in seiner Theorie
der Wirbelatome, und Maxwet in seiner Annahme eines
Systems von Zellen mit rotierendem Inhalt, die er seinem
Versuch einer mechanischen Erklarung der elektromagnetischen
Vorginge zu Grunde gelegt hat, haben sich offenbar durch
aihnliche Erklarungen besser befriedigt gefthlt, als durch die
blofse allgemeinste Darstellung der Thatsachen und ibrer Ge-
setze, wie sie durch die Systeme der Differentialgleichungen
der Physik gegeben wird. Ich mufs gestehen, dafs ich selbst
bisher an dieser letzteren Art der Darstellung festgehalten,

[PDF-PAGE 28]
xxII Vorwort von H. v. Helmholix.

und mich dadurch am besten gesichert fihlte; doch miéchte
ich gegen den Weg, den so hervorragende Physiker, wie die
drei genannten, eingeschlagen haben, keine prinzipiellen Ein-
wendungen erheben.

Freilich werden noch grofse Schwierigkeiten zu tiberwinden
sein bei dem Bestreben, aus den von Huertz entwickelten
Grundlagen Erklarungen fiir die eimzelnen Abschnitte der
Physik zu geben. Im ganzen Zusammenhange aber ist die
Darstellung der Grundgesetze der Mechanik von Hurrz ein
Buch, welches im héchsten Grade jeden Leser interessieren
mufs, der an einem folgerichtigen System der Dynamik, dar-
gelegt in héchst vollendeter und geistreicher mathematischer
Fassung, Freude hat. Méglicherweise wird dieses Buch in der
Zukunft nock von hohem heuristischen Wert sein als Leit-
faden zur Entdeckung neuer allgemeiner Charaktere der Natur-
krifte.


[PDF-PAGE 29]
Vorwort des Verfassers.

Alle Physiker sind einstimmig darin, dafs es die Auf-
gabe der Physik sei, die Erscheinungen der Natur auf die
einfachen Gesetze der Mechanik zuriickzufihren. Welches aber
diese einfachen Gesetze sind, dariber herrscht nicht mehr die
gleiche Einstimmigkeit. Die Meisten verstehen unter jener
Bezeichnung wohl schlechthin die Newron’schen Gesetze der
Bewegung. In Wahrheit aber erhalten diese letzteren Gesetze
ihren inneren Sinn und ihre physikalische Bedeutung erst
durch den stillen Nebengedanken, dafs die Krifte, von welchen
sie reden, einfacher Natur sind und einfache Eigenschaften
haben. Was nun aber hier noch einfach und noch zulassig
sei, und was schon nicht mehr, das steht nicht fest; eben
hier ist der Punkt, wo die Berufung auf allgemeine Kinstim-
migkeit aufhért. Daher sehen wir auch wirklich Meinungs-
verschiedenheiten entstehen, ob diese oder jene Annahme noch
der gewéhnlichen Mechanik entspreche, oder ob nicht mehr.
Dafs hier offene Fragen liegen, tritt freilich nur bei neuen
Aufgaben hervor, hier aber als erstes Hindernis der Unter-
suchung. So ist z. B. der Versuch verfriht, die Bewegungs-

[PDF-PAGE 30]
XXIV Vorwort des Verfassers.

gleichungen des Athers auf die Gesetze der Mechanik zuriick-
fihren zu wollen, solange man sich nicht eindeutig dariiber
verstindigt hat, was man mit diesem Namen bezeichnet
haben will.

Die Aufgabe, deren Lisung die folgende Untersuchung
anstrebt, ist diese, die hier vorhandene Liicke auszufillen und
eine vollkommen bestimmte Zusammenstellung der Gesetze
der Mechanik anzugeben, welche mit dem Stande unserer
heutigen Kenntnis vertraglich ist, welche nimlich in Beziehung
auf den Umfang dieser Kenntnis weder zu eng ist, noch zu
weit. Die Zusammenstellung soll nicht zu eng sein, das heifst,
es soll keine natiirliche Bewegung geben, welche ihren Forder-
ungen nicht gehorcht. Die Zusammenstellung aber soll auch
nicht zu weit sein, das heifst, sie soll auch keine Bewegung
zulassen, deren Vorkommen in der Natur schon nach dem
.Stande unserer heutigen Erfahrung ausgeschlossen ist. Ob
die Zusammenstellung, welche ich als Liésung dieser Aufgabe
im Folgenden gebe, die einzig mégliche ist, oder ob es andere,
vielleicht bessere mégliche giebt, bleibt dahingestellt. Dafs
aber die gegebene Zusammenstellung in jeder Hinsicht eine
mégliche ist, beweise ich dadurch, dafs ich ihre Folgen ent-
wickele, und zeige, dafs bei voller Entfaltung sie den Inhalt
der gewohnlichen Mechanik aufzunehmen vermag, sofern sich
der letztere auf die wirklichen Krafte und Zusammenhange
der Natur beschrinkt und sich nicht als Spielplatz mathe-
matischer Ubungsarbeit betrachtet.

Durch diese Entwickelung ist freilich aus einer theore-
tischen Abhandlung ein Buch geworden, welches eine voll-
stindige Ubersicht aller wichtigeren allgemeinen Sitze der
Dynamik enthilt und welches sogar als ein systematisches
Lehrbuch dieser Wissenschaft gelten kann. Zu einer ersten
Einfihrung ist dasselbe freilich aus verschiedenen Griinden
nicht wohl geeignet; mit umsomehr Uberzeugung aber bietet
es sich Demjenigen als Fihrer an, welcher den Inhalt der
Mechanik aus der gewéhnlichen Darstellung schon einiger-
mafsen kennt. Einem Solchen hofft es einen Standpunkt
zeigen zu kénnen, von welchem aus die physikalische Bedeu-


[PDF-PAGE 31]
Vorwort des Verfassers. xxv

tung, die innere Verwandtschaft und die Tragweite der mecha-
nischen Prinzipien in durchsichtiger Klarheit vor Augen liegt;
von welchem aus auch der Begriff der Kraft wie die tbrigen
mechanischen Grundbegriffe des letzten Restes von Dunkelheit
entkleidet erscheinen.

Die Aufgabe, welche sich die vorliegende Untersuchung
stellt, ist in verdeckter Weise bereits behandelt und mit einer
miglichen Lisung beantwortet durch von HenmHo.rz in seiner
Arbeit iiber das Prinzip der kleinsten Wirkung und in der
damit zusammenhangenden Arbeit iber cyklische Systeme’).
In der ersteren wird die These aufgestellt und vertreten, dafs
die Mechanik auch dann noch die samtlichen Vorgange der
Natur zu umfassen vermag, wenn man nicht nur die Nrw-
ton’schen Grundlagen als allgemeingiiltig betrachtet, sondern
auch die besonderen Voraussetzungen, welche neben jenen
dem Hamuiron’schen Prinzip zu Grunde liegen. In der zweit-
genannten Arbeit wird zum ersten Male in allgemeiner Weise
Sinn und Bedeutung der verborgenen Bewegungen behandelt.
Von jenen Arbeiten ist meine eigene Untersuchung im Ganzen
und in ihren Teilen wesentlich beeinflufst und abhingig; der
Abschnitt tiber cyklische Systeme ist ihnen fast unmittelbar
entnommen. Von der Form abgesehen, bestehen die Ab-
weichungen meiner eigenen Lisung hauptsichlich in zwei
Punkten: Einmal suche ich dasjenige von vornherein von den
Elementen der Mechanik fern zu halten, was von HeLMnourz
durch nachtragliche Kinschrankung aus der schon entwickelten
Mechanik wieder entfernt. Zweitens entferne ich aus der
Mechanik in gewissem Sinne weniger, indem ich mich nicht
auf das Hamiiton’sche Prinzip, noch auf ein anderes Integral-
prinzip stiitze. Die Griinde hierfitir und die Folgen hiervon
werden aus der Arbeit selbst erhellen.

Ahnliche Gedankenreihen, wie in den von HzetmHotz’schen
Arbeiten sind angesponnen in der bedeutenden Abhandlung

1) H. von Hetuworrz, Uber die physikalische Bedeutung des Prin-
zips der kleinsten Wirkung, Journal fir die reine und angewandte Mathe-
matik, 100, p. 187—166, 213-222, 1887; Prinzipien der Statik mono-
cyklischer Systeme, ebenda, 97, p. 111—140, 317—336, 1884.

[PDF-PAGE 32]
XXVI Vorwort des Verfassers.

von J. J. THomson iiber die physikalischen Anwendungen der
Dynamik?’). . Ebenfalls entwickelt hier der Verfasser die Folgen
einer Dynamik, welche neben den Newton’schen Gesetzen der
Bewegung noch weitere, besondere, nicht ausdriicklich aus-
gesprochene Voraussetzungen zur Grundlage hat. Auch an
diese Abhandlung also hatte ich mich anlehnen kénnen; that-
sichlich war meine eigene Untersuchung schon ziemlich fort-
geschritten, als ich jene genauer kennen lernte. Das gleiche
darf ich von den in mathematischer Hinsicht verwandten, aber
weit alteren Arbeiten von BeLtRami?) und Liescuirz‘) sagen;
doch konnte ich noch reiche Anregung aus denselben schipfen,
ebenso aus der neueren Darstellung, welche DarBoux*) von
jenen Arbeiten mit eigenen Zusiitzen gegeben hat. Manche
mathematische Abhandlungen, welche ich hatte beriicksichtigen
kénnen und sollen, mégen mir entgangen sein. In allgemeiner
Hinsicht verdanke ich sehr viel dem schénen Buche iiber die
Entwickelung der Mechanik von Mace). Es ist selbstver-
standlich, dafs ich die bekannteren Lehrbiicher der allgemeinen
Mechanik zu Rate zog, nicht am wenigsten die umfassende
Darstellung der Dynamik in dem Lehrbuche von THomson
und Tarr®), Wertvoll war mir auch das Heft einer Vorlesung
iiber analytische Dynamik von Borcuarpt, welches ich im
Winter 1878/79 nachschrieb. Hiermit habe ich die von mir

_ 1) J. J. Taomson, On some Applications of Dynamical Principles
to Physical Phenomena, Philosophical Transactions 176, II, p. 8307—342,
1885.

2) Bertram, Sulla teoria generale dei parametri differenziali; Me-
morie della Reale Accademia di Bologna, 25. Febbrajo 1869.

5) R. Laescuitz, Untersuchung eines Problems der Variationsrech-
nung, in welchem das Problem der Mechanik enthalten ist. Journal fir
die reine und angewandte Mathematik, 74, p. 116—149, 1872. Bemer-
kungen zu dem Prinzip des kleinsten Zwanges. Ebenda, 82, p. 316—842,
1877.

*) G. Darsovux, Legons sur la théorie générale des surfaces, Livre V,
Chapitres 6, 7, 8. Paris 1889.

5) E. Macu, Die Mechanik in ihrer Entwickelung historisch-kritisch
dargestellt. Leipzig 1883.

*) W. Txomson und P. G. Tarr, Handbuch der theoretischen Phy-
_sik, deutsche Ausgabe von Hetmnortz und Werrarm, Braunschweig 1871.

—_ ee 7


[PDF-PAGE 33]
Vorwort des Verfassers. XXVII

benutzten Quellen genannt; im Texte werde ich nur soviel
citieren, als die Sache selbst es verlangt. Im einzelnen habe
ich ja auch nichts vorzutragen, das neu ware und nicht aus
vielen Biichern genommen werden kénnte. Was, wie ich hoffe,
neu ist, und worauf ich einzig Wert lege, ist die Anordnung
und Zusammenstellung des Ganzen, also die logische, oder,
wenn man will, die philosophische Seite des Gegenstandes.
Meine Arbeit hat ihr Ziel erreicht oder verfehlt, jenachdem
in dieser Richtung etwas gewonnen ist oder nicht.

[PDF-PAGE 34]
Inhalt.

Nummer Seite
Vorbemerkung des Herausgebers. . . . . . . +. es. v
Vorwort von H. v. Helmholtz. . . ......2.2.4.. vil
Vorwort des Verfassers . . . ......... ~. ~. #£4xXXTD
Einleitung . . . . . ce ee we ee 1

Erstes Buch. Zur Geometrie und Kinematik
der materiellen Systeme.

Vorbemerkung . . : es an );)
Abschnitt 1. Zeit, Raum, Masse coe 2 58
Abschnitt 2. Lagen und Verriickungen ‘der ‘Punkte

und Systeme. 9 55

Lage; Konfiguration ‘and absolute Lage; End-
liche Verriickungen a) der Punkte, b) der
Systeme; Zusammensetzung der Verriickungen.
Abschnitt 3. Unendlich kleine Verriickungen und
Bahnen der Systeme materieller Punkte . 53 69
Unendlich kleine Verriickungen; Verriickungen
in Richtung der Koordinaten; Benutzung par-
tieller Differentialquotienten; Bahnen der

Systeme.
Abschnitt 4. Mégliche und unmdgliche Verriickun-
gen. Materielle Systeme .. 109 = 88

Zusammenhang; Analytische Darstellung des
Zusammenhanges ;, Bewegungsfreiheit; Ver-
riickungen senkrecht zu den méglichen Ver-

riickungen.
Abschnitt 5. Von den ausgezeichneten Bahnen der
materiellen Systeme . . 151 100

1} Geradeste Bahnen; 2. Kiirzeste ‘und geods-
tische Bahnen; 8. Beziehungen zwischen gerade-
sten und geodatischen Bahnen.

Abschnitt 6. Von der geradesten Entfernung in ho-

lonomen Systemen . . 197 119
1. Flachen von Lagen; 2. Geradeste Entfermung
Abschnitt 7. Kinematische Begriffe coe 237 187

1. Vektorgréfsen in Bezug auf ein " System;
2. Bewegung der Systeme, Geschwindigkeit,
Moment, Beschleunigung, Energie, Benutzung
partieller Differentialquotienten.
Schlufsbemerkung zum ersten Buch . . . . . . . « « 295 “158


[PDF-PAGE 35]
Inhait. XxIx

Zweites Buch. Mechanik der materiellen Systeme.

Numuaier
Vorbemerkung . . . ~~. s+ e+ et ee ee se 296
Abschnitt 1. Zeit, Raum, Masse. ....... . 297
Abschnitt 2. Das Grundgesetz . . . . 808

Das Gesetz; Berechtigung " desselben, Ein-
schrinkung desselben, Zerlegung desselben,
Methode seiner Anwendung, Angentiherte An-
wendung.

Abschnitt 3. Bewegung der freien Systeme. . . 331
Allgemeine Eigenschaften der Bewegung: 1. Be-
stimmtheit der Bewegung, 2. Erhaltung der
Energie, 3. Kleinste Beschleunigung, 4. Kiirzeste
Bahn, 5. Kiirzeste Zeit, 6. Kleinstes Zeitintegral
der Energie. Analytische Darstellung: Diffe-
rentialgleichungen der Bewegung. Innerer
Zwang der Systeme. Holonome Systeme. Dyna-
mische Modelle.

Abschnitt 4. Bewegung der unfreien Systeme. . . 429
I. Geleitetes unfreies System. II. Systeme
durch Kriifte beeinflufst: Einftihrung der Kraft,
Wirkung und Gegenwirkung, Zusammensetzung
der Krifte, Bewegung unter dem Einflufs von

_ Kriiften, Innerer Zwang, Energie und Arbeit,
Gleichgewicht und Statik, Maschinen und innere
Krifte, Messung der Krifte.

Abschnitt 5. Systeme mit verborgenen Massen . . 546
I. Cyklische Bewegung: Cyklische Systeme,
Krafte und Kriftefunktion, Reciproke Eigen-
tiimlichkeiten, Energie und Arbeit, Zeitintegral
der Energie. II. Verborgene cyklische Be-
wegung: Konservative Systeme, Differential-
gleichungen der Bewegung, Integralsiitze far
holonome Systeme, Endliche Bewegungs-
gleichungen fir holonome Systeme; Nicht-
konservative Systeme.

Abschnitt 6. Von den Unstetigkeiten der Bewegung 668
Stofskraft oder Stofs; Zusammensetzung der
Stésse; Bewegung unter dem Einflufs von
Stéssen; Innerer Zwang beim Stosse; Energie
und Axbeit; Zusammenstofs zweier Systeme

Schlafsbemerkung zum zweiten Buch . . . . . . 184

Nachweis der Definitionen und Bezeichnungen .

Seite
157
157
162

170

199

235

286

306

309
312

[PDF-PAGE 36]

[PDF-PAGE 37]
Kinleitung.

Es ist die nachste und in gewissem Sinne wichtigste Auf-
gabe unserer bewulsten Naturerkenntnis, dafs sie uns befahige,
zukinftige Erfahrungen vorauszusehen, um nach dieser Vor-
aussicht unser gegenwirtiges Handeln einrichten zu kénnen.
Als Grundlage fir die Lésung jener Aufgabe der Erkenntnis
benutzen wir unter allen Umstaénden vorangegangene Erfah-
rungen, gewonnen durch zufallige Beobachtungen oder durch
absichtlichen Versuch. Das Verfahren aber, dessen wir uns
zur Ableitung des Zukiinftigen aus dem Vergangenen und
damit zur Erlangung der erstrebten Voraussicht stets bedienen,
ist dieses: Wir machen uns innere Scheinbilder oder Symbole
der aufseren Gegenstande, und zwar machen wir sie von
solcher Art, dafs die denknotwendigen Folgen der Bilder stets
wieder die Bilder seien von den naturnotwendigen Folgen der
abgebildeten Gegenstinde. Damit diese Forderung iiberhaupt
erfiillbar sei, miissen gewisse Ubereinstimmungen vorhanden
sein zwischen der Natur und unserem Geiste. Die Erfahrung
lehrt uns, dafs die Forderung erfillbar ist und dafs also solche
Ubereinstimmungen in der That bestehen. Ist es uns einmal
gegliickt, aus der angesammelten bisherigen Erfahrung Bilder
von der verlangten Beschaffenheit abzuleiten, so kénnen wir

Hertz, Mechanik. 1


[PDF-PAGE 38]
2 Finleitung.

an ihnen, wie an Modellen, in kurzer Zeit die Folgen ent-
wickeln, welche in der dufseren Welt erst in langerer Zeit
oder als Folgen unseres eigenen Eingreifens auftreten werden;
wir vermégen so den Thatsachen vorauszueilen und kénnen
nach der gewonnenen Hinsicht unsere gegenwirtigen Entschliisse
richten. — Die Bilder, von welchen wir reden, sind unsere
Vorstellungen von den Dingen; sie haben mit den Dingen die
eine wesentliche Ubereinstimmung, welche in der Erfillung
der genannten Forderung liegt, aber es ist fiir ihren Zweck
nicht ndtig, dafs sie irgend eine weitere Ubereinstimmung mit
den Dingen haben. In der That wissen wir auch nicht, und
haben auch kein Mittel 2u erfahren, ob unsere Vorstellungen
von den Dingen mit jenen in irgend etwas anderem iiberein-
stimmen, als allein in eben jener einen fundamentalen Be-
ziehung.

Kindeutig sind die Bilder, welche wir uns von den Dingen
machen wollen, noch nicht bestimmt durch die Forderung,
dafs die Folgen der Bilder wieder die Bilder der Folgen
seien. Verschiedene Bilder derselben Gegenstinde sind még-
lich und diese Bilder kénnen sich nach verschiedenen Rich-
tungen unterscheiden. Als unzulissig sollten wir von vorn-
herein solche Bilder bezeichnen, welche schon einen Wider-
spruch gegen die Gesetze unseres Denkens in sich tragen und
wir fordern also zunichst, dafs alle unsere Bilder logisch zu-
lassige oder kurz zulissige seien. Unrichtig nennen wir zu-
lassige Bilder dann, wenn ihre wesentlichen Beziehungen den
Beziehungen der dulfseren Dinge widersprechen, das heifst
wenn sie jener ersten Grundforderung nicht geniigen. Wir
verlangen demnach zweitens, dafs unsere Bilder richtig seien.
Aber zwei zulissige und richtige Bilder derselben dufseren
Gegenstinde kénnen sich noch unterscheiden nach der Zweck-
mifsigkeit. Von zwei Bildern desselben Gegenstandes wird
dasjenige das zweckmilsigere sein, welches mehr wesentliche
Beziehungen des Gegenstandes wiederspiegelt als das andere;
welches, wie wir sagen wollen, das deutlichere ist. Bei gleicher -
Deutlichkeit wird von zwei Bildern dasjenige zweckm&lsiger
sein, welches neben den wesentlichen Ziigen die geringere Zahl
iiberfliissiger oder leerer Beziehungen enthialt, welches also


[PDF-PAGE 39]
Einleitung. 3

das einfachere ist. Ganz werden sich leere Beziehungen nicht
vermeiden lassen, denn sie kommen den Bildern schon deshalb
zu, weil es eben nur Bilder und zwar Bilder unseres beson-
deren Geistes sind und also von den Eigenschaften seiner
Abbildungsweise mitbestimmt sein miissen.

Wir haben bisher die Anforderungen aufgeziéhlt, welche
wir an die Bilder selbst stellen; etwas ganz anderes sind die
Anforderungen, welche wir an eine wissenschaftliche Darlegung
solcher Bilder stellen. Wir verlangen von der letzteren, dafs
sie uns klar zum Bewulstsein fihre, welche Eigenschaften den
Bildern zugelegt seien um der Zuldssigkeit willen, welche um
der Richtigkeit willen, welche um der Zweckmalsigkeit willen.
Nur so gewinnen wir die Méglichkeit an unsern Bildern zu
andern, zu bessern. Was den Bildern beigelegt wurde um
der Zweckma(sigkeit willen, ist enthalten in den Bezeichnungen,
Definitionen, Abkiirzungen, kurzum in dem, was wir nach
Willkiir hinzuthun oder wegnehmen kénnen. Was den Bildern
zukommt um ihrer Richtigkeit willen, ist enthalten in den Er-
fahrungsthatsachen, welche beim Aufbau der Bilder gedient
haben. Was den Bildern zukommt, damit sie zulissig seien,
ist gegeben durch die Kigenschaften unseres Geistes. Ob ein
Bild zulassig ist oder nicht, kénnen wir eindeutig mit ja und
nein entscheiden und zwar mit Giiltigkeit unserer Entscheidung
fir alle Zeiten. Ob ein Bild richtig ist oder nicht, kann eben-
falls eindeutig mit ja und nein entschieden werden, aber
nur nach dem Stande unserer gegenwartigen Erfahrung und
unter Zulassung der Berufung an spitere reifere Erfahrung.
Ob ein Bild zweckmiafsig sei oder nicht, dafir giebt es
tberhaupt keine eindeutige Entscheidung, sondern es kénnen
Meinungsverschiedenheiten bestehen. Das eine Bild kann
nach der einen, das andere nach der andern Richtung Vor-
teile bieten, und nur durch allmahliches Priifen vieler Bilder
werden im Laufe der Zeit schliefslich die zweckmifsigsten
gewonnen.

Dies sind die Gesichtspunkte, nach welchen man, wie mir
scheint, den Wert physikalischer Theorieen und den Wert der
Darstellung physikalischer Theorieen zu beurteilen hat. Jeden-

1*

[PDF-PAGE 40]
4 Finleitung.

falls sind es die Gesichtspunkte, von welchen aus wir jetzt
die Darstellungen betrachten wollen, welche man von den Prin-
zipien der Mechanik gegeben hat. Dabei ist es freilich zu-
nichst nétig, bestimmt zu erkliren, was wir mit diesem Namen
bezeichnen.

In strengem Sinne verstand man urspriinglich in der
Mechanik unter einem Prinzip jede Aussage, welche man nicht
wieder auf andere Sitze der Mechanik selbst zurickfihrte,
sondern welche man als unmittelbares Ergebnis anderer
Quellen der Erkenntnis angesehen wissen wollte. Es konnte
infolge der geschichtlichen Entwickelung nicht ausbleiben, dafs
S&tze, welche unter besonderen Voraussetzungen einmal mit
Recht als Prinzipien bezeichnet wurden, spater diesen Namen,
wiewohl mit Unrecht, beibehielten. Seit Lacranex ist die Be-
merkung haufig wiederholt worden, dafs die Prinzipien des
Schwerpunktes und der Flaichen im Grunde nur Lehrs&tze
allgemeinen Inhalts seien. Man kann aber mit gleichem Rechte
bemerken, dafs auch die iibrigen sogenannten Prinzipien nicht
unabhingig von einander diesen Namen fihren kénnen, sondern
dafs jedes von ihnen auf den Rang einer Folgerung oder eines
Lehrsatzes herabsteigen mufs, so bald die Darstellung der
Mechanik auf eines oder mehrere der iibrigen gegriindet wird.
‘Der Begriff des mechanischen Prinzipes ist demnach kein
scharf festgehaltener. Wir wollen deshalb zwar jenen Satzen
in Einzelaussagen ihre herkémmliche Benennung belassen;
wenn wir aber schlechthin und allgemein von den Prinzipien
der Mechanik reden, so wollen wir darunter nicht jene einzelnen
konkreten Satze verstanden wissen, sondern jede iibrigens be-
liebige Auswahl unter ihnen und unter ahnlichen Satzen, welche
der Bedingung genitigt, dafs sich aus ihr ohne weitere Be-
rufung auf die Erfahrung die gesamte Mechanik rein deduktiv
entwickeln lifst. Bei dieser Bezeichnungsweise stellen die
Grundbegriffe der Mechanik zusammen mit den sie verkettenden
Prinzipien das einfachste Bild dar, welches die Physik von den
Dingen der sinnlichen Welt und den Vorgingen in ihr her-
zustellen vermag. Und da wir von den Prinzipien der Mechanik
durch verschiedene Auswahl der Satze, welche wir zu Grunde
legen, verschiedene Darstellungen geben kénnen, so erhalten


[PDF-PAGE 41]
Hinleitung. 5

wir verschiedene solche Bilder der Dinge, welche Bilder wir
priifen und mit einander vergleichen kénnen in Bezug auf ihre
Zulassigkeit, ihre Richtigkeit und ihre Zweckmial{sigkeit.

1.

Kin erstes Bild liefert uns die gewdhnliche Darstellung
der Mechanik. Wir verstehen hierunter die in den Einzel-
heiten abweichende, in der Hauptsache tibereinstimmende Dar-
stellung fast aller Lehrbiicher, welche das Ganze der Mechanik
behandeln, fast aller Vorlesungen, welche sich iiber den ge-
samten Inhalt dieser Wissenschaft verbreiten. Diese Dar-
stellung bildet den kéniglichen Weg und die grofse Heerstralse,
auf welcher die Schar der Schiiler in das Innere der Mechanik
eingefihrt wird; sie folgt genau dem Gang der historischen
Entwickelung und der Reihenfolge der Entdeckungen; ihre Haupt-
stationen sind gekennzeichnet durch die Namen eines ARcHI-
MEDES, GALILEI, NEwron, Lacranee. Als gegebene Vorstellungen
legt diese Darstellung zu Grunde die Begriffe des Raumes,
der Zeit, der Kraft und der Masse. Die Kraft ist dabei ein-
gefihrt als die vor der Bewegung und unabhingig von der
Bewegung bestehende Ursache der Bewegung. Zuerst treten
auf nur Raum und Kraft fir sich, und ihre Beziehungen werden
in der Statik behandelt. Die reine Bewegungslehre oder
Kinematik begniigt sich, die beiden Begriffe Raum und Zeit in
Verbindung zu setzen. Die Gaxier’sche Vorstellung von der
Tragheit liefert einen Zusammenhang zwischen Raum, Zeit und
Masse allein. In den Newron’schen Gesetzen der Bewegung
treten zuerst alle vier Grundbegriffe neben einander in Ver-
knipfung auf. Diese Gesetze bilden die eigentliche Wurzel
der weiteren Entwickelung, aber sie geben noch keinen all-
gemeinen Ausdruck fiir den Einflufs starrer riumlicher Ver-
bindungen; hier erweitert das p’ALEMBERT’sche Prinzip das


[PDF-PAGE 42]
allgemeine Ergebnis der Statik auf den Fall der Bewegung
und schliefst als letztes den Reigen der nicht aus einander
ableitbaren, unabhangigen Grundaussagen. Alles weitere da-
gegen ist deduktive Ableitung. In der That sind die auf-
gezahlten Begriffe und Gesetze nicht nur notwendig, sondern
auch hinreichend, um den gesamten Inhalt der Mechanik aus
ihnen mit Denknotwendigkeit zu entwickeln und alle abrigen
sogenannten Prinzipien als Lehrsatze und Folgerungen aus
besonderen Voraussetzungen erscheinen zu lassen. Jene auf-
gezahlten Begriffe und Gesetze geben uns also ein erstes
System der Prinzipien der Mechanik in unserer Ausdrucks-
weise; damit zugleich also auch das erste allgemeine Bild von
den natiirlichen Bewegungen der Kérperwelt.

Es erscheint nun von vornherein sehr fernliegend, dafs
man an der logischen Zulassigkeit dieses Bildes auch nur
zweifeln kénne. Es erscheint fast unmdglich, dafs man daran
denke, logische Unvollkommenheiten aufzufinden in einem
Systeme, welches von unzahligen und von den besten Képfen
immer und immer wieder durchdacht worden ist. Aber ehe
man hierauf hin die Untersuchung abbricht, wird man fragen
miissen, ob auch alle und ob die besten Képfe immer von
dem Systeme befriedigt gewesen sind. In jedem Falle mufs es
billig gleich im Anfang Wunder nehmen, wie leicht es ist,
Betrachtungen an die Grundgesetze anzukniipfen, welche sich
ganz in der iiblichen Redeweise der Mechanik bewegen und
welche doch das klare Denken unzweifelhaft in Verlegenheit
setzen. Versuchen wir dies zunachst an einem Beispiele zu
zeigen. Wir schwingen einen Stein an einer Schnur im Kreise
herum; wir iibén dabei bewufstermafsen eine Kraft auf den Stein
aus; diese Kraft lenkt den Stein bestandig von der geraden
Bahn ab, und wenn wir diese Kraft, die Mafse des Steines
und die Lange der Schnur verandern, so finden wir, dafs die
Bewegung des Steines in der That stets in Ubereinstimmung
mit dem zweiten Newron’schen Gesetze erfolgt. Nun aber ver-
langt das dritte Gesetz eine Gegenkraft zu der Kraft, welche
von unserer Hand auf den Stein ausgetbt wird. Auf die
Frage nach dieser Gegenkraft lautet die jedem gelaufige Ant-
wort: es wirke der Stein auf die Hand zuriick infolge der


[PDF-PAGE 43]
Schwungkraft, und diese Schwungkraft sei der von uns aus-
getibten Kraft in der That genau entgegengesetzt gleich. Ist
nun diese Ausdrucksweise zulissig? Ist das was wir jetzt
Schwungkraft oder Centrifugalkraft nennen, etwas anderes als
die Trigheit des Steines? Durfen wir, ohne die Klarheit
unserer Vorstellungen zu zerstéren, die Wirkung der Trigheit
doppelt in Rechnung stellen, namlich einmal als Mafse, zweitens
als Kraft? In unseren Bewegungsgesetzen war die Kraft die
vor der Bewegung vorhandene Ursache der Bewegung. Diirfen
wir, ohne unsere Begriffe zu verwirren, jetzt auf einmal von
Kraften reden, welche erst durch die Bewegung entstehen,
welche eine Folge der Bewegung sind? Ditrfen wir uns den
Anschein geben, als hitten wir iiber diese neue Art von
Kraften in unseren Gesetzen schon etwas ausgesagt, als kinnten
wir ihnen mit dem Namen ,,Kraft‘‘ auch die Kigenschaften
der Krifte verleihen? Alle diese Fragen sind offenbar zu
verneinen, es bleibt uns nichts iibrig als zu erliutern: die Be-
zeichnung der Schwungkraft als einer Kraft sei eine uneigent-
liche, ihr Name sei wie der Name der lebendigen Kraft als
eine historische Uberlieferung hinzunehmen und die Bei-
behaltung dieses Namens sei aus Niitzlichkeitsgriinden mehr
zu entschuldigen als zu rechtfertigen. Aber wo bleiben als-
dann die Anspriiche des dritten Gesetzes, welches eine Kraft
fordert, die der tote Stein auf die Hand ausiibt und welches
durch eine wirkliche Kraft, nicht durch einen blofsen Namen
befriedigt sein will?

Ich glaube nicht, dafs diese Schwierigkeiten kiinstlich
oder mutwillig heraufbeschworen sind; sie dringen sich uns
von selbst auf. Sollte sich nicht ihr Ursprung bis in die
QGrundgesetze zuriickverfolgen lassen? Die Kraft, von welcher
die Definition und die ersten beiden Gesetze reden, wirkt auf
einen Kérper in einseitig bestimmter Richtung. Der Sinn des
dritten Gesetzes ist, dafs die Krafte stets zwei Kérper verbinden
und ebenso gut vom ersten zum zweiten, wie vom zweiten zum
ersten gerichtet sind. Die Vorstellung der Kraft, welche dieses
Gesetz und die Vorstellung, welche jene Gesetze voraussetzen
und in uns erwecken, scheinen mir um ein Geringes ver-
schieden, dieser geringe Unterschied aber reicht vielleicht aus,

[PDF-PAGE 44]
8 Kealeitung.

um die logische Tribung zu erzeugen, deren Folgen in unserem
Beispiele zum Ausbruch kamen. Doch haben wir nicht nitig,
auf die Untersuchung weiterer Beispiele einzugehen. Wir
kdnnen allgemeine Wahrnehmungen als Zeugen fir die Be-
rechtigung unserer Zweifel aufrufen. Eine erste solche Wahr-
nehmung scheint mir die Erfahrung zu bilden, dafs es sebr
schwer ist, gerade die Einleitung in die Mechanik denkenden
Zuhorern vorzutragen ohne einige Verlegenheit, ohne das Ge-
fihl, sich hier und da entschuldigen zu missen, ohne den
Wunsch, recht schnell aiber die Anfange hinwegzugelangen zu
Beispielen, welche fir sich selbst reden. Ich meine, Newron
selbst mfisse diese Verlegenheit empfunden haben, wenn er die
Masse etwas gewaltthatig definiert als Produkt aus Volumen
und Dichtigkeit. Ich meine, die Herren Taomson und Tarr
miissen ihm nachempfunden haben, wenn sie anmerken, dies
sei eigentlich mehr eine Definition der Dichtigkeit als der
Masse, und sich gleichwohl mit derselben als einzigen Defini-
tion der Masse begniigen. Auch Lacranag, denke ich, miisse
jene Verlegenheit und den Wunsch, um jeden Preis vorwarts-
zukommen, verspiirt haben, als er seine Mechanik kurzer-
hand mit der Erklaérung einleitete, eine Kraft sei eine Ur-
sache, welche einem Kérper eine Bewegung erteilt ,,oder zu
erteilen strebt“‘; gewifs nicht ohne die logische Harte einer
solchen Uberbestimmung zu empfinden. Ein zweites Zeugnis
nehme ich aus der Thatsache, dass wir schon fiir die elemen-
taren Satze der Statik, fiir den Satz vom Parallelogramm der
Krifte, den Satz der virtuellen Geschwindigkeiten, u. s. w. zahl-
reiche Beweise besitzen, welche von ausgezeichneten Mathe-
matikern herritthren, welche den Anspruch machen, streng zu
sein und welche doch wieder nach dem Urteil anderer hervor-
ragender Mathematiker diesem Anspruch keineswegs geniigen.
In einer logisch vollendeten Wissenschaft, in der reinen
Mathematik, ist eine Meinungsverschiedenheit in solcher Frage
schlechterdings undenkbar. Als ein sehr belastendes Zeugnis
aber erscheinen mir auch die iiber Gebiihr oft gehérten Be-
hauptungen: das Wesen der Kraft sei noch riatselhaft, es sei
eine Hauptaufgabe der Physik, das Wesen der Kraft zu er-
forschen, und dhnliche Aussagen mehr. In gleichem Sinne
bestiirmt man den Elektriker immer wieder nach dem Wesen


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Einleitung. 9

der Elektricitat. Warum fragt nun niemand in diesem Sinne
nach dem Wesen des Goldes oder nach dem Wesen der Ge-
schwindigkeit? Ist uns das Wesen des Goldes bekannter als
das der Elektricitit, oder das Wesen der Geschwindigkeit be-
kannter als das der Kraft? Kénnen wir das Wesen irgend
eines Dinges durch unsere Vorstellungen, durch unsere Worte
erschépfend wiedergeben? Gewifs nicht. Ich meine, der Unter-
schied sei dieser: Mit den Zeichen ,,Geschwindigkeit“ und
» Gold“ verbinden wir eine grofse Zahl von Beziehungen zu
anderen Zeichen, und zwischen allen diesen Beziehungen finden
sich keine uns verletzenden Widerspriiche. Das genigt uns
und wir fragen nicht weiter. Auf die Zeichen ,, Kraft“ und
» Hlektricitét“‘ aber hat man mehr Beziehungen gehiuft, als
sich véllig mit einander vertragen; dies fihlen wir dunkel, ver-
langen nach Aufklaérung und 4ufsern unsern unklaren Wunsch
in der unklaren Frage nach dem Wesen von Kraft und Elek-
tricitat. Aber offenbar irrt die Frage in Bezug auf die Ant-
wort, welche sie erwartet. Nicht durch die Erkenntnis von
neuen und mehreren Beziehungen und Verkntipfungen kann
sie befriedigt werden, sondern durch die Entfernung der Wider-
spriiche unter den vorhandenen, vielleicht also durch Ver-
minderung der vorhandenen Beziehungen. Sind diese schmer-
zenden Widerspriiche entfernt, so ist zwar nicht die Frage
nach dem Wesen beantwortet, aber der nicht mehr gequilte
Geist hért auf, die far ihn unberechtigte Frage zu stellen.

Wir haben in diesen Ausfiihrungen die Zulassigkeit des
betrachteten Bildes so stark verdachtigt, dafs es scheinen muls,
als sei es unsere Absicht, diese Zuldssigkeit zu bestreiten und
schliefslich zu verneinen. Soweit geht indes unsere Absicht
und unsere Uberzeugung nicht. Mégen die logischen Unbe-
stimmtheiten, welche uns um die Sicherheit der Grundlagen
besorgt machten, auch wirklich bestehen, sie haben sicherlich
keinen einzigen der zahllosen Erfolge verhindert, welche die
Mechanik in ihrer Anwendung auf die Thatsachen errungen
hat. Sie kénnen also auch nicht bestehen in Widerspriichen
zwischen den wesentlichen Zfigen unseres Bildes, also nicht
in Widerspriichen zwischen denjenigen Beziehungen der
Mechanik, welche Beziehungen der Dinge enteprechen. Sie

[PDF-PAGE 46]
10 .- Kinleitung.

miissen sich vielmehr beschriinken auf die unwesentlichen Ziige,
auf alles dasjenige, was wir selbst nach Willkiir dem von der
Natur gegebenen wesentlichen Inhalte hinzugedichtet haben.
Dann aber lassen sich jene Verlegenheiten auch vermeiden.
Vielleicht treffen unsere Einwinde tiberhaupt nicht den Inhalt
des entworfenen Bildes, sondern nur die Form der Darstellung
dieses Inhalts. Wir sind gewiss nicht zu streng, wenn wir
meinen, diese Darstellung sei noch niemals zur wissenschaft-
lichen Vollendung durchgedrungen, es fehle ihr noch durchaus
die hinreichend scharfe Unterscheidung dessen, was in dem
entworfenen Bilde aus Denknotwendigkeit, was aus der Er-
fahrung, was aus unserer Willkiir stammt. In diesem
Urteile treffen wir zusammen mit hervorragenden Physikern,
welche sich mit diesen Fragen beschiftigt und tiber dieselben
geiulsert haben,?) freilich ohne dafs von einer Ubereinstimmung
aller gesprochen werden kénnte.?) Jenes Urteil findet ferner
eine Bestaétigung in der wachsenden Sorgfalt, welche in den
neueren Lehrbiichern der Mechanik der logischen Zergliederung
der Elemente gewidmet wird.’) In Ubereinstimmung mit den
Verfassern dieser Lehrbiicher und mit jenen Physikern sind
wir selbst der Uberzeugung, dafs die vorhandenen Liicken nur
Liicken der Form sind, und durch geeignete Anordnung der
Definitionen, Bezeichnungen und weiter durch vorsichtige Aus-
drucksweise jede Unklarheit und Unsicherheit vermieden werden
kann. In diesem Sinne geben wir, wie Jedermann, die Zu-
lissigkeit des Inhalts der Mechanik zu. Es erfordert aber die
Wirde und Grisse des Gegenstandes durchaus, dafs die logische
Reinheit nicht nur mit gutem Willen zugegeben, sondern dals
sie durch eine vollendete Darstellung auch so erwiesen werde,
dafs es nicht méglich sei, sie auch nur zu verdachtigen.

1) Siehe E. Maca, Die Mechanik in ihrer Entwickelung. Leipzig
1883, 8. 228. Siehe ferner in der ,,Nature“ von 1898 eine neuerdings
von Herrn O. Lopez angeregte und im Schofse der Physical Society in
London fortgefihrte Diskussion iiber die Grundgesetze der Mechanik.

2) Siehe Tsomson & Tarr, Theoretische Physik, § 205 ff.

8) Siehe E. Buppe, Allgemeine Mechanik der Punkte und starren
Systeme, Berlin 1890, S. 111—138. Die daselbst gegebene Darstellung giebt
zugleich ein deutliches Bild von der Gréfse der Schwierigkeiten, welchen
die widerspruchsfreie Anwendung der Elemente begegnet.


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Einleitung. 11

Leichter und der allgemeinen Zustimmung sicherer kénnen
wir das Urteil fallen ttber die Richtigkeit des von uns betrach-
teten Bildes. Niemand wird widersprechen, wenn wir ver-
sichern, dafs diese Richtigkeit nach dem ganzen Umfange
‘unserer bisherigen Erfahrung eine vollkommene sei, dafs alle
diejenigen Ziige unseres Bildes, welche tiberhaupt den Anspruch
machen, beobachtbare Beziehungen der Dinge wiederzugeben,
solchen Beziehungen auch wirklich und richtig entsprechen.
Wir beschranken allerdings unsere Zuversicht auf den Inhalt
der bisherigen Erfahrung; was zukinftige Erfahrungen anlangt,
so werden wir noch Gelegenheit haben, auf die Frage nach
der Richtigkeit zuriickzukommen. Manchem wird freilich diese
Vorsicht nicht nur iibertrieben, sondern geradezu sinnwidrig
diinken; in der Meinung vieler Physiker erscheint es als einfach
undenkbar, dafs auch die spi&teste Erfahrung’ an den fest-
stehenden Grundsitzen der Mechanik noch etwas zu andern
finden kénne. Und doch kann das was aus Erfahrung stammt,
durch Erfahrung wieder vernichtet werden; jene allzuginstige
Meinung von den Grundgesetzen kann also offenbar nur des-
halb entstehen, weil in ihnen die Elemente der Erfahrung
einigermafsen versteckt und mit den unabinderlichen denk-
notwendigen Elementen verschmolzen sind. Die logische Un-
bestimmtheit der Darstellung, welche wir vorher schlechtweg
riigten, bietet also auch einen gewissen Vorteil; sie giebt den
Fundamenten den Schein der’ Unabanderlichkeit; es war viel-
leicht in den Anfangen der Wissenschaft weise, sie einzufiihren
und eine zeitlang bestehen zu lassen. Man stellte die Richtig-
keit des Bildes auf alle Falle sicher dadurch, dafs man sich vor-
behielt im Notfalle aus einer Erfahrungsthatsache eine Definition
zu machen oder umgekehrt. In einer vollendeten Wissenschaft
aber ist solches Tasten, ein solcher Schein der Sicherheit nicht
erlaubt; in der gereiften Erkenntnis ist die logische Reinheit
in erster Linie zu bericksichtigen; nur logisch reine Bilder
sind zu prtifen auf ihre Richtigkeit, nur richtige Bilder zu ver-
gleichen nach ihrer Zweckmafsigkeit. Das dringende Bedirfnis
verfahrt oft umgekehrt: Die Bilder werden erfunden passend
fir einen beabsichtigten Zweck, dann geprift auf ihre Richtig-
keit, endlich und zuletzt gesiubert von inneren Wider-
spriichen.

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12 Kinleitung.

Ist diese letzte Bemerkung nur einigermafsen zutreffend,
so erscheint es uns nur natiirlich, dafs das betrachtete System
der Mechanik hiéchste Zweckmalsigkeit aufweist, sobald es
angewandt wird auf die einfachen Erscheinungen, fiir welche
es zuerst erdacht wurde, also vor allem auf die Wirkang der
Schwerkraft und die Aufgaben der praktischen Mechanik. Wir
diirfen uns aber hierbei nicht beruhigen, wir haben uns zu
erinnern, dafs wir hier nicht die Bediirfnisse des taglichen
Lebens und nicht den Standpunkt vergangener Zeiten vertreten
wollen, dafs wir vielmehr den gesamten Umfang der heutigen
physikalischen Erkenntnis ins Auge fassen und dafs wir iiber-
dies von der Zweckmafsigkeit in einem besonderen Sinne reden,
welchen wir im Kingange genau bestimmt haben. Darnach
haben wir die Pflicht, zunichst zu fragen: Ist das entworfene
Bild vollkommen deutlich? Enthalt es alle Ziige, welche die
heutige Erkenntnis an den natiirlichen Bewegungen zu unter-
scheiden vermag? Diese Frage beantworten wir nun ent-
schieden mit nein. Nicht alle Bewegungen, welche die Grund-
gesetze zulassen und welche die Mechanik als mathematische
Ubungsaufgaben behandelt, kommen in der Natur vor; wir
kénnen von den natiirlichen Bewegungen, Kriften, festen Ver-
bindungen mehr aussagen, als es die angenommenen Grund-
gesetze thun. Seit der Mitte dieses Jahrhunderts sind wir
fest tiberzeugt, dafs keine Krafte in der Natur wirklich vor-
kommen, welche eine Verletzung des Prinzips von der Erhal-
tung der Energje bedingen wiirden. Weit dlter ist die Uber-
zeugung, dafs nur solche Krafte vorkommen, welche sich
darstellen lassen als Summe von Wechselwirkungen zwischen
unendlich kleinen Elementen der Materie. Auch diese Ele-
mentarkrifte sind nicht frei. Als allgemein zugegebene Kigen-
schaften derselben kénnen wir anfiihren, dass sie unabhingig
sind vom absoluten Werte der Zeit und vom absoluten Orte im
Raume. Andere Kigenschaften sind umstritten. Man hat bald
vermutet, bald in Frage gestellt, ob die Klementarkrafte nur
bestehen kénnen in Anziehungen und Abstofsungen nach der
Verbindungslinie der wirkenden Massen; ob ihre Gréfse nur
bedingt sei durch die Entfernung oder ob sie nicht auch ab-
hingen kénne von der absoluten oder der relativen Geschwin-
digkeit und nur von dieser, oder ob nicht auch die Be-


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Finleitung. 13

schleunigung oder noch héhere Differentialquotienten des Wegs
nach der Zeit in Betracht kommen kénnten. So wenig man
sich also einig ist tiber alle bestimmten EKigenschaften, welche
den Elementarkriften beizulegen sind, so sehr stimmt man
doch iiberein in der Meinung,. dafs sich mehr solche allge-
meine Higenschaften angeben und aus der schon vorhandenen
Beobachtung ableiten lassen, als die Grundgesetze enthalten.
Man ist tiberzeugt, dafs die Elementarkrafte, unbestimmt ge-
sprochen, einfacher Natur sein miissen. Was in dieser Hin-
sicht von den Kriften gilt, kann man in gleicher Weise von
den festen Verbindungen der Kérper sagen, welche mathe-
matisch durch Bedingungsgleichungen zwischen den Koordinaten
dargestellt werden und deren Kinflufs durch das p’ ALEMBERT-
sche Prinzip bestimmt ist. Mathematisch kann man jede be-
liebige endliche oder Differentialgleichung zwischen den Ko-
ordinaten hinschreiben und verlangen, dafs sie befriedigt werde;
aber nicht immer la{st sich eine physikalische, eine natiirliche
Verbindung angeben, welche die Wirkung jener Gleichung hat;
oft liegt die Vermutung, bisweilen die Uberzeugung vor, dats
eine solche Verbindung durch die Natur der Dinge ausge-
schlossen sei. In welcher Weise aber sind die zulassigen Be-
dingungsgleichungen einzuschranken? Wo ist die Grenzlinie
zwischen ihnen und den vorstellbaren? Man hat sich hiufig
begniigt, nur endliche Bedingungsgleichungen in Betracht zu
ziehen. Diese Einschrinkung aber geht zu weit, denn nicht
integrierbare Differentialgleichungen kénnen als Bedingungs-
gleichungen bei natirlichen Problemen wirklich auftreten.

Kurzum, sowohl was die Krifte, als was die festen Ver-
bindungen anlangt, enthalt unser System der Prinzipien zwar
alle die natiirlichen Bewegungen, aber es umfingt gleichzeitig
sehr viele Bewegungen, welche nicht natiirliche sind. Ein
System, welches diese letzteren oder doch einen Teil derselben
ausschlésse, wiirde mehr wirkliche Beziehungen der Dinge zu
einander wiederspiegeln und also in diesem Sinne zweckmalsiger
sein. Doch haben wir die Pflicht, auch noch in einer zweiten
Richtung nach der Zweckmia(sigkeit unseres Bildes zu fragen.
Ist unser Bild auch einfach? Ist es sparsam an unwesent-
lichen Ziigen, an Ziigen also, welche von uns zwar zulassiger


[PDF-PAGE 50]
14 Ennleitung.

aber doch willkirlicher Weise den wesentlichen Ziigen der
Natur hinzugefiigt werden? Unsere Bedenken bei Beantwortung
dieser Frage kniipfen sich wiederum an den Begriff der Kraft.
Es kann nicht geleugnet werden, dafs in sebr vielen Fallen
die Krafte, welche unsere Mechanik zur Behandlung physika-
lischer Fragen einfihrt, nur als leergehende Nebenrader mit-
laufen, um itberall da aufser Wirksamkeit zu treten, wo es
gilt, wirkliche Thatsachen darzustellen. In den einfachen Ver-
haltnissen, an welche die Mechanik urspringlich ankniipfte,
ist das freilich nicht der Fall. Die Schwere eines Steines,
die Kraft des Armes scheinen ebenso wirklich, ebenso der
unmittelbaren Wahrnehmung zuginglich, wie die durch sie er-
zeugten Bewegungen. Aber wir brauchen nur etwa zur Bewegung
der Gestirne tiberzugehen, um schon andere Verhiltnisse zu
haben. Hier sind die Krafte niemals Gegenstand der unmittel-
baren Erfahrung gewesen; alle unsere friheren Erfahrungen
beziehen sich nur auf den scheinbaren Ort der Gestirne. Wir
erwarten auch in Zukunft nicht die Krafte wahrzunehmen,
sondern die zukinftigen Erfahrungen, welche wir erwarten,
betreffen wiederum nur die Lage der. leuchtenden Punkte am
Himmel, als welche uns die Gestirne erscheinen. Nur bei der
Ableitung der zuktinftigen Erfahrungen aus den vergangenen
treten als Hilfsgréfsen voriibergehend die Cravitationskrafte
ein, um wieder aus der Uberlegung zu verschwinden. Ganz
allgemein liegt die Sache so bei der Betrachtung der mole-
kularen Krafte, der chemischen, vieler elektrischen und magne-
tischen Wirkungen. Und wenn wir nun nach reiferer Erfahrung
zuriickkehren zu den einfachen Kraften, tiber deren Bestehen
wir keinen Zweifel hatten, so werden wir belehrt, dalfs diese
mit tiberzeugender Gewifsheit von uns wahrgenommenen Krifte
jedenfalls nicht wirkliche waren. Der Trieb jedes Kérpers
gegen die Erde hin, welchen wir mit. Handen zu greifen
glaubten, dieser Trieb, so sagt uns die reifere Mechanik, ist
als solcher nicht wirklich, er ist das als Einzelkraft nur vor-
gestellte Ergebnis einer unfafsbaren Anzahl wirklicher Krifte,
welche die Atome des Kérpers gegen alle Atome des Weltalls
hinziehen. Auch hier sind dann also die wirklichen Krifte
niemals Gegenstand der friitheren Erfahrung gewesen, noch -
erwarten wir sie in zukinftigen Erfahrungen anzutreffen. Nur


[PDF-PAGE 51]
Einleitung. — 15

wihrend des Prozesses, mit welchem wir die zukinftigen Er-
fahrungen aus den vergangenen ableiten, treten sie leise ein
und wieder aus. Doch selbst wenn die Krifte nur von uns
in die Natur hineingetragen waren, dirften wir darum ihre
Kinfihrung noch nicht als unzweckmifsig bezeichnen. Wir
waren uns von vornherein klar dariiber, dafs sich unwesent-
liche Nebenbeziehungen in unsern Bildern nicht ganz wirden
vermeiden lassen. Nur miglichste Kinschrankung dieser Be-
ziehungen, nur weise Besonnenheit in ihrem Gebrauch
durften wir verlangen. Kann man aber behaupten, dalfs die
Physik in dieser Richtung immer mit Sparsamkeit zu Wege
gehen konnte? Mulste sie nicht vielmehr die Welt bis zum
Ubermals erfiillen mit den verschiedensten Arten von Kraften,
mit Kriaften, welche selbst niemals in die Erscheinung treten,
sogar mit solchen, welche nur ganz ausnahmsweise iiberhaupt
eine Wirkung haben? Wir sehen etwa ein Stik Eisen auf
dem Tische ruhen, wir vermuten demnach, dafs keine Bewegungs-
ursachen, keine Krifte daseien. Die Physik, welche auf unserer
- Mechanik aufgebaut und durch dies Fundament notwendig
bestimmt ist, belehrt uns eines anderen. Jedes Atom des
Kisens wird zu jedem anderen Atom des Weltalls durch die
Gravitationskraft hingezogen. Jedes Atom des EHisens ist aber
auch magnetisch und dadurch mit jedem anderen magnetischen
Atom des Weltalls durch neue Krifte verbunden. Aber die
Korper des Alls sind auch erfillt mit bewegter Elektricitat
und von diesen bewegten Elektricitiiten gehen weitere ver-
wickelte Krafte aus, welche an jedem magnetischen Atom des
Eisens ziehen. Und insofern die Teile des Kisens selbst Elek-
tricitaét enthalten, haben wir wieder andere Kriafte in Betracht
zu ziehen; neben diesen dann noch verschiedene Arten von
Molekularkraften. Einige dieser Krafte sind nicht klein; ware
von allen Kraften nur ein Teil wirksam, so kénnte dieser Teil
das Eisen in Sticke reifsen. In Wahrheit aber sind alle
Krafte so gegen einander abgeglichen, dafs die Wirkung der
gewaltigen Zurtistung Null ist; dafs trotz tausend vorhandenen
Bewegungsursachen Bewegung nicht eintritt; dafs das Hisen
eben ruht. Wenn wir nun diese Vorstellungen unbefangen
Denkenden vortragen, wer wird uns glauben? Wen werden wir
tiberzeugen, dafs wir noch von wirklichen Dingen reden und


[PDF-PAGE 52]
16 Finleitung.

nicht von Gebilden einer ausschweifenden Einbildungskraft?
Wir selbst aber werden nachdenklich werden, ob wir wirk-
lich die Ruhe des Eisens und seiner Teile in einfacher Weise
geschildert und abgebildet haben. Ob sich die Verwickelung
tiberhaupt vermeiden lafst, ist zunachst ja fraglich; aber das
ist nicht fraglich, dafs ein System der Mechanik, welches sie
vermeidet oder ausschliefst, einfacher und in diesem Sinne
zweckmiifsiger ist, als das hier betrachtete, welches solche
Vorstellungen nicht nur zulafst, sondern uns geradezu aufzwingt.

Fassen wir noch einmal in kiirzester Form die Bedenken
zusammen, welche uns bei Betrachtung der gewdhnlichen Dar-
stellungsweise der Prinzipien der Mechanik aufstiefsen. Was
die Form anlangt, schien uns, dafs der logische Wert der
einzelnen Aussagen nicht hinreichend klar festgelegt worden
sei. Was die Sache anlangt, schien uns, dafs die von der
Mechanik betrachteten Bewegungen sich nicht véllig mit den
zu betrachtenden natiirlichen Bewegungen decken. Manche
Higenschaften der natiirlichen Bewegungen werden in der
Mechanik nicht beriicksichtigt; viele Beziehungen, welche die
Mechanik betrachtet, fehlen wahrscheinlich in der Natur. Auch
wenn diese Ausstellungen als gerechtfertigt anerkannt werden,
dirfen sie uns freilich nicht zu der Meinung verleiten, dals
die gewdhnliche Darstellung der Mechanik ihren Wert und
ihre bevorzugte Stellung deshalb einbiifsen miisse oder je ein-
biifsen werde; aber sie rechtfertigen es doch hinreichend, dafs wir
uns auch nach anderen Darstellungen umsehen, welche in den
getadelten Beziehungen Vorteile bieten und den darzustellen-
den Dingen noch enger angepalst sind.

2.

Ein zweites Bild der mechanischen Vorginge ist weit
jinmgeren Ursprungs als das erste. Seine Entwickelung aus
und neben jenem ist eng verknipft mit den Fortschritten,


[PDF-PAGE 53]
Einlettung. 17

welche die physikalische Wissenschaft in den letzten Jahr-
zebnten gemacht hat. Noch bis in die Mitte des Jahrhunderts
erschien als letztes Ziel und als letzte anzustrebende Er-
klarung der Naturerscheinungen die Riickfihrung derselben
auf unzahlige Fernkrifte zwischen den Atomen der Materie.
Diese Anschauungsweise entsprach vollstindig dem Systeme der
mechanischen Prinzipien, welches wir als das erste bezeichnet
haben; sie wurde durch jenes bedingt, wie jenes durch sie.
Jetzt, gegen Ende des Jahrhunderts hat die Physik einer
anderen Denkweise ihre Vorliebe zugewandt. Beeinflufst von
dem tiberwiltigenden Eindrucke, welchen die Auffindung des
Prinzipes von der Erhaltung der Energie ihr gemacht hat,
liebt sie es, die in ihr Gebiet fallenden Erscheinungen als
Umsetzungen der Energie in neue Formen zu behandeln, und
die Rickfihrung der Erscheinungen auf die Gesetze der
Energieverwandlung als ihr letztes Ziel zu betrachten. Diese
Behandlungsart kann auch schon von vornherein auf die
elementaren Vorginge der Bewegung selbst angewandt
werden; alsdann entsteht eine neue, von der ersten ver-
schiedene Darstellung der Mechanik, in welcher von An-
fang an der Begriff der Kraft zuricktritt zu Gunsten des
Begriffs der Energie. Eben dieses so entstandene neue
Bild der elementaren Bewegungsvorgange ist es, welches
wir als das zweite bezeichnen und welchem wir jetzt
unsere Aufmerksamkeit widmen wollen. Wenn wir bei Be-
sprechung des ersten Bildes den Vorteil hatten, dafs wir
das Bild selbst als deutlich vor dem Auge aller Physiker
stehend voraussetzen konnten, so ist das bei diesem zweiten
Bilde nun freilich nicht der Fall. Dasselbe ist sogar wohl noch
niemals in allen seinen EKinzelheiten ausgemalt worden, es giebt
meines Wissens kein Lehrbuch der Mechanik, welches sich
von vornherein auf den Standpunkt der Energielehre stellte,
und den Begriff der Energie vor dem Begriff der Kraft ein-
fahrte. Vielleicht ist auch noch niemals eine Vorlesung tber
Mechanik nach diesem Plane eingerichtet worden. Aber die
Méglichkeit eines solchen Planes hat schon den Begriindern
der Energielehre eingeleuchtet; die Bemerkung, dafs man auf
diese Weise den Begriff der Kraft mit seinen Schwierigkeiten

vermeiden kénne, ist dfters gemacht; in einzelnen besonderen
Hertz, Mechanik. 2

[PDF-PAGE 54]
18 Einleitung.

Anwendungen treten in der Wissenschaft immer hiufiger
Schlussreihen auf, welche ganz dieser Denkweise angehéren.
Wir kénnen daher recht wohl eine Skizze entwerfen, welche
uns die groben Umrisse des Bildes vorfihrt; wir kénnen im
allgemeinen den Plan angeben, nach welchem die beabsichtigte
Darstellung der Mechanik geordnet werden miifste. Wie im
ersten Bilde, so gehen wir auch hier aus von vier von einander
unabhiangigen Grundbegriffen, deren Beziehungen zu einander
den Inhalt der Mechanik bilden sollen. Zwei derselben haben
einen mathematischen Charakter: Raum und Zeit; die beiden
anderen: Masse und Energie, werden eingefithrt als in ge-
gebener Menge vorhandene, unzerstérbare und unvermehrbare
physikalische Wesenheiten. Freilich wird es nétig sein, neben
dieser Erklirung auch deutlich anzugeben, durch welche kon-
kreten Erfahrungen wir in letzter Instanz das Vorhandensein
von Masse und Energie feststellen wollen. Hier nehmen wir
an, dass dies méglich und dass es geschehen sei. Dass die
Menge der Energie, welche mit bestimmten Massen verbunden
ist, von dem Zustande dieser Massen abhangig ist, ist selbst-
verstandlich. Es ist aber als eine erste allgemeine Erfahrung
einzufihren, dafs die vorhandene Energie sich stets in zwei
Teile zerfillen lafst, von welchen der eine allein durch die
gegenseitige Lage der Massen bedingt ist, der andere aber
von ihrer absoluten Geschwindigkeit abhangt. Der erste Teil
wird als potentielle Energie, der zweite Teil als kinetische
Energie definiert. Die Form fir die Abhingigkeit der kine-
tischen Energie von der Geschwindigkeit der bewegten Kérper
ist in allen Fallen die gleiche und bekannt; die Form fur die
Abhiangigkeit der potentiellen Energie von der Lage der Kérper
kann nicht allgemein angegeben werden, sie bildet vielmehr
die besondere Natur und die charakteristische Higentiimlich-
keit der gerade betrachteten Massen. Es ist die Aufgabe der
Physik, diese Form fir die uns umgebenden Naturkérper aus
friheren Erfahrungen zu ermitteln. Bis hierher treten in den
Betrachtungen im wesentlichen nur drei Elemente, namlich
Raum, Masse und Energie in Beziehung. Um die Beziehungen
aller vier Grundbegriffe und damit den zeitlichen Ablauf der
Erscheinungen festzulegen, bedienen wir uns eines der Inte-
gralprinzipien der gewdhnlichen Mechanik, welche sich zu ihren


[PDF-PAGE 55]
Finleitung. 19

Aussagen des Energiebegrifis bedienen. Welches derselben
wir anwenden, ist ziemlich gleichgiltig; wir kénnen und wir
wollen etwa das Hammiron’sche Princip wahlen. Wir wiirden
dann also als einziges erfahrungsmifsiges Grundgesetz der
Mechanik den Satz aufstellen, dafs jedes System natiirlicher
Massen sich so bewegt, als sei ihm die Aufgabe gestellt, ge-
gebene Lagen in gegebener Zeit zu erreichen und zwar in
solcher Weise, dafs die Differenz zwischen kinetischer und
potentieller Energie im Mittel tiber die ganze Zeit so klein
ausfalle wie miéglich. Ist dieses Gesetz auch in der Form
nicht einfach, so giebt es doch durch eine einzige Bestimmung
die natirlichen Umwandlungen der Energie zwischen ihren
Formen in eindeutiger Weise wieder, es gestattet daher den
Ablauf der wirklichen Erscheinungen fiir die Zukunft voll-
stindig vorauszubestimmen. Mit der Aufstellung dieses neuen
Gesetzes sind die unentbehrlichen Grundlagen der Mechanik
abgeschlossen. Was wir noch hinzufigen kénnen, sind nur
mathematische Ableitungen und etwa. Vereinfachungen oder
Hilfsbezeichnungen, welche vielleicht zweckmalsig, aber jeden-
falls nicht notwendig sind. Zu diesen letzteren gehért dann
auch der Begriff der Kraft, welcher in den Grundlagen selbst
nicht auftrat. Seine Hinfihrung ist zweckmafsig, sobald wir
nicht nur Massen in Betracht ziehen, welche mit konstanten
Mengen von Energie verbunden sind, sondern auch solche
Massen, welche Energie an andere Massen abgeben oder von
ihnen empfangen. Aber die Hinfitthrung geschieht nicht durch
neue Erfahrung, sondern durch eine Definition, welche in mehr
als einer Weise gefafst werden kann. Dementsprechend sind
auch die Higenschaften der so definierten Krifte nicht aus
der Erfahrung zu ermitteln, sondern lassen sich aus der De-
finition und dem Grundgesetz ableiten und selbst die Be-
stitigung dieser Higenschaften durch die Erfahrung ist iiber-
flissig, es wire denn, dafs man noch an der Richtigkeit des
ganzen Systems zweifelte. Der Kraftbegriff als solcher kann
also in diesem System keine logischen Schwierigkeiten mehr
bereiten; auch fir die Beurteilung der Richtigkeit des Systems
kann er nicht in Frage kommen, nur auf die grifsere oder
kleinere Zweckmifsigkeit desselben kann er Hinflufs haben.

Q*


[PDF-PAGE 56]
20 . Einleitung.

In der angedeuteten Weise also hatten wir etwa die
Prinzipien der Mechanik zu ordnen, um sie der Anschauungs-
weise der Energielehre anzupassen. Es fragt sich nun aber,
ob das entstandene zweite Bild vor dem erstbetrachteten etwas
voraus habe, und wir wollen deshalb seine Vorziige und Nach-
teile naher ins Auge fassen.

Diesmal liegt es in unserem Interesse, dafs wir uns zu-
erst an die Zweckmilsigkeit halten, weil in Bezug auf diese
ein Fortschritt am unzweifelhaftesten hervortritt. Denn unser
zweites Bild der natirlichen Bewegungen ist zunachst ent-
schieden deutlicher; es giebt mehr Kigentiimlichkeiten derselben
wieder als das erste. Wenn wir das Hammron’sche Prinzip
aus den allgemeinen Grundlagen der Mechanik ableiten wollen,
miissen wir den letzteren gewisse Voraussetzungen fiber die
wirkenden Krafte und iiber die Beschaffenheit etwaiger fester
Verbindungen hinzufigen. Diese Voraussetzungen sind hidchst
allgemeiner Art, aber sie bedeuten darum doch ebenso viele
wichtige Einschrinkungen der durch das Prinzip dargestellten
Bewegungen. Und umgekehrt lassen sich daher auch aus dem
Prinzip eine ganze Reihe von Beziehungen, insbesondere von
Wechselbeziehungen zwischen jeder Art von méglichen Kraften
ableiten, welche in den Prinzipien des ersten Bildes fehlen,
welche aber in dem zweiten Bilde, und gleichzeitig, worauf es
ankommt, in der Natur sich finden. Der Nachweis, dafs dem
so sei, bildet den eigentlichen Inhalt und das Ziel der Arbeiten,
welche von Hetmnonrz unter dem Titel: ,,Uber die physi-
kalische Bedeutung des Prinzips der kleinsten Wirkung“ ver-
éffentlicht hat. Wir treffen aber die Sachlage wohl genauer,
wenn wir sagen, die Thatsache selbst, welche bewiesen werden
soll, bilde die Entdeckung, welche in jener Arbeit mitgeteilt
und dargelegt wird. Denn einer Entdeckung bedurfte in der
That die Erkenntnis, dafs aus so allgemeinen Voraussetzungen
sich so besondere, wichtige und zutreffende Folgerungen
ziehen lassen. Auf jene Abhandlung kénnen wir uns daher
auch berufen zur Erhartung unserer Behauptung im einzelnen,
und insofern jene Abhandlung zur Zeit den Aufsersten Fort-
schritt der Physik bezeichnet, kinnen wir uns der Frage aber-
hoben halten, ob ein noch engerer Anschlufs an die Natur


[PDF-PAGE 57]
Hinleitung. 21

erreichbar sei, etwa durch Einschrinkung der fir die poten-
tielle Energie zulassigen Formen. Lieber wollen wir betonen,
dafs unser jetziges Bild auch in Hinsicht der Einfachheit die
Klippen vermeidet, an welchen die Zweckmalsigkeit unseres
ersten Bildes sich gefahrdet fand. Denn fragen wir nach dem
eigentlichen Grunde, aus welchem die Physik es heutzutage
liebt, ihre Betrachtungen in der Ausdrucksweise der Energie-
lehre zu halten, so diirfen wir antworten: weil sie es auf diese
Weise am besten vermeidet, von Dingen zu reden, von welchen
sie sehr wenig weifs und welche auf die wesentlich beabsich-
tigten Aussagen auch keinen Hinflufs haben. Wir bemerkten
schon gelegentlich, dafs die Riickfiihrung der Erscheinungen
auf die Kraft uns zwingt, unsere Uberlegung bestindig an die
Betrachtung der einzelnen Atome und Molekiile anzukniipfen.
Nun sind wir ja allerdings gegenwiartig tiberzeugt davon, dals
die wigbare Materie aus Atomen besteht; auch haben wir von
der Gréfse dieser Atome und ihren Bewegungen in gewissen
Fallen einigermafsen bestimmte Vorstellungen. Aber die Ge-
stalt der Atome, ihr Zusammenhang, ihre Bewegungen in den
meisten Fallen, alles dies ist uns ganzlich verborgen; ihre
Zahl ist in allen Fallen uniibersehbar grofs. Unsere Vor-
stellung von den Atomen ist daher selbst ein wichtiges und
interessantes Ziel weiterer Forschung, keineswegs aber ist sie
besonders geeignet, als bekannte und gesicherte Grundlage
mathematischer Theorieen zu dienen. Einen so streng den-
kenden Forscher, wie es Gustav KracuHorr war, berihrte
es daher fast peinlich, die Atome und ihre Schwingungen ohne
zwingende Notwendigkeit in den Mittelpunkt einer theoretischen
Ableitung gestellt zu sehen. Die willkirlich angenommenen
Eigenschaften der Atome mégen ohne Hinflufs auf das End-
resultat sein, das letztere mag richtig sein. Gleichwohl sind
die Kinzelheiten der Ableitung selbst zum grofsen Teile mut-
mafslich falsch, die Ableitung ist ein Scheinbeweis. Die Altere
Denkweise der Physik lafst hier kaum eine Wahl, einen Aus-
weg zu. Dagegen bietet die Auffassung der Energielehre und
damit unser zweites Bild der Mechanik den Vorteil, dafs in
die Voraussetzungen der Probleme nur die der Erfahrung un-
mittelbar zuganglichen Merkmale, Parameter, oder willkiirlichen
Koordinaten der betrachteten Kérper eintreten; dafs die Be-

[PDF-PAGE 58]
22 Hinlettung.

trachtungen mit Hiilfe dieser Merkmale in endlicher und ge-
schlossener Form fortschreiten und dafs auch das Endresultat
unmittelbar wieder in greifbare Erfahrung kann iibersetzt
werden. Aufser der Energie selbst in ihren wenigen Formen
treten keine Hilfskonstruktionen in die Betrachtung ein. Unsere
Aussagen kénnen sich auf die bekannten Kigentiimlichkeiten
der betrachteten Kirpersysteme beschrinken, ohne dals wir
unsere Unkenntnis der Einzelheiten durch willkiirliche und ein-
flufslose Hypothesen verdecken miifsten. Nicht nur das End-
resultat, sondern auch alle Schritte der Ableitung desselben
kénnen als richtig und sinnvoll vertreten werden. Dies sind die
Vorziige, welche diese Methode der heutigen Physik lieb gemacht
haben, welche also auch unserem zweiten Bilde der Mechanik
eigen sind, und welche wir in unserer Bezeichnungsweise als Vor-
ztige der Hinfachheit, also der Zweckmafsigkeit aufzufassen haben.

Leider werden wir wieder unsicherer tiber den Wert
unseres Systems, wenn wir seine Richtigkeit und seine logische
Zulassigkeit priifen. Schon die Frage nach der Richtigkeit
giebt zu gerechtfertigten Zweifeln Anlafs. Keineswegs diirfen
wir der Ubereinstimmung mit der Natur schon deshalb sicher
sein, weil sich das Hamiuton’sche Prinzip ja auch aus den
zugegebenen Grundlagen der NewrTon’schen Mechanik ableiten
lafst. Wir haben zu bedenken, dafs diese Ableitung nur dann
stattfindet, wenn gewisse Voraussetzungen zutreffen, und dafs
anderseits unser System nicht nur den Anspruch macht,
einige Bewegungen der Natur richtig zu beschreiben, sondern
dafs es behauptet, alle Bewegungen der Natur zu umfassen.
Wir haben also zu untersuchen, ob auch wirklich neben den
Newton’schen Gesetzen jene besondern Voraussetzungen All-
gemeingiltigkeit haben, und ein einziges Beispiel der Natur,
welches widerspriche, wiirde die Richtigkeit des Systems als
solches umwerfen, wenn es auch die Giiltigkeit des Hammron-
schen Prinzips als allgemeinen Lehrsatzes nicht im mindesten
erschitterte. Hier entsteht nun das Bedenken nicht sowohl
ob unser Bild die gesamte Mannigfaltigkeit der Krifte, sondern
ob es auch wirklich die gesamte Mannigfaltigkeit der starren
Verbindungen enthielte, welche zwischen den Kérpern der
Natur auftreten kénnen. Die Anwendung des Hamiiron’schen


[PDF-PAGE 59]
Hinleitung. 23

Prinzips auf ein materielles System schliesst nicht aus, dafs
zwischen den gewahiten Koordinaten desselben feste Zusammen-
hinge bestehen, aber es verlangt immerhin, dafs diese Zu-
sammenhinge sich mathematisch ausdriicken lassen durch
endliche Gleichungen zwischen den Koordinaten; es gestattet
nicht das Auftreten solcher Zusammenhiange, welche mathe-
matisch nur durch Differentialgleichungen wiedergegeben werden
kénnen. Die Natur selbst aber scheint Zusammenhinge der
letzteren Art nicht einfach auszuschliessen. Denn dieselben
treten zum Beispiel auf, sobald dreidimensionale Kérper mit
ihren Oberflichen ohne Gleitung auf einander rollen. Durch
diese Verbindung, welche wir in unserer Umgebung oft vor-
finden, ist die Lage beider Kérper zu einander nur insofern
beschrankt, als sie stets einen Punkt der Oberfliche gemein
haben miissen; die Bewegungsfreiheit der Kérper aber ist noch
um einen Grad weiter beschrankt. Es lassen sich also aus
der Verbindung mehr Gleichungen zwischen den Anderungen
der Koordinaten herleiten als zwischen den Koordinaten selbst,
unter jenen muss daher mindestens eine sein, welche mathe-
matisch als eine nicht integrabele Differentialgleichung zu
bezeichnen ist. Auf derartige Fille nun gestattet das Hamm-
ton’sche Prinzip keine Anwendung mehr, oder genau ge-
sprochen: Die mathematisch mégliche Anwendung des Prinzips
fihrt zu physikalisch falschen Resultaten. Man beschrinke
die Betrachtung auf den einfachen Fall einer Kugel, welche
allein ihrer Trigheit folgend auf einer festen horizontalen
Ebene ohne Gleitung rollt; man kann hier ganz wohl durch
blofse Betrachtung ohne Rechnung sowohl die Bewegungen
tibersehen, welche die Kugel wirklich ausfihren kann, als auch
die Bewegungen, welche dem Hammrton’schen Prinzip ent-
sprechen wiirden und welche so ausfallen miifsten, dafs die
Kugel bei konstanter lebendiger Kraft gegebene Ziele in kiir-
zester Zeit erreicht. Man kann sich daher auch ohne Rechnung
tiberzeugen, dafs beide Arten von Bewegungen sehr verschiedene
Eigentiimlichkeiten aufweisen. Wahlen wir Anfangs- und
Endlage der Kugel beliebig aus, so giebt es doch offenbar
stets einen bestimmten Ubergang aus einer zur andern, auf
welchem die Zeit des Ubergangs, also das Hamiuron’sche
Integral ein Minimum wird. In Wahrheit ist aber gar nicht

[PDF-PAGE 60]
24 Evnleitung.

aus jeder Lage in jede andere ohne die Mitwirkung von Kriften
ein natiirlicher Ubergang méglich, wenn auch die Wahl der
Anfangsgeschwindigkeit vollkommen frei steht. Aber selbst
dann, wenn wir Anfangs- und Endlage so wihlen, dafs eine
natiirliche freie Bewegung zwischen beiden méglich ist, so ist
dies gleichwohl nicht diejenige, welche dem Minimum der Zeit
entspricht. Bei gewissen Anfangs- und Endlagen kann der
Unterschied sehr auffallend sein. In diesem Falle wiirde eine
Kugel, welche dem Prinzip gemiifs sich bewegte, entschieden
den Schein eines belebten Wesens annehmen, welches ziel-
bewulst einer bestimmten Lage zusteuert, wihrend neben ihr
die Kugel, welche dem Gesetze der Natur folgt, den Hindruck
einer toten, gleichférmig dahinkreiselnden Masse hervorrufen
wiirde. Es wiirde nichts helfen, wollten wir an Stelle des
Hamiuton’schen Prinzips das Prinzip der kleinsten Wirkungen
oder ein anderes Integralprinzip in den Vordergrund ricken,
da alle diese Prinzipien nur einen geringen Unterschied der
Bedeutung aufweisen und sich in der hier betrachteten Hin-
‘sicht ganz gleich verhalten. Ubrigens ist der Weg vorgezeichnet,
auf welchem allein wir das System verteidigen und gegen den
Vorwurf der Unrichtigkeit in Schutz nehmen kénnen. Wir
haben zu leugnen, dafs starre Verbindungen der angefthrten
Art mit Strenge in der Natur wirklich vorkommen. Wir
haben auszufiihren, dafs jedes sogenannte Rollen ohne Gleitung
in Wahrheit ein Rollen mit geringer Gleitung, also ein Vor-
gang der Reibung sei. Wir haben uns darauf zu berufen, dafs
ganz allgemein die Vorginge in reibenden Flachen zu den-
jenigen gehéren, welche noch nicht auf klar verstandene Ur-
sachen zuriickgefihrt werden kénnen, sondern fiir welche nur
gerade empirisch die erzeugten Krafte ermittelt sind; daher
gehére das ganze Problem zu denjenigen, zu deren Behandlung
zur Zeit die Beniitzung der Krafte und damit der Umweg
tiber die gewéhnlichen Methoden der Mechanik noch nicht
vermieden werden kénne. Uberzeugend wirkt freilich diese
Verteidigung nicht. Denn ein Rollen ohne Gleiten widerspricht
weder dem Energieprinzipe noch einem anderen allgemein an-
erkannten Grundsatze der Physik; der Vorgang ist in der
sichtbaren Welt mit so grofser Ann&herung verwirklicht, dafs
man sogar Integrationsmaschinen auf die Voraussetzung seines


[PDF-PAGE 61]
Einleitung. 25

genauen Eintretens gegriindet hat; wir haben daher kaum ein
Recht, sein Vorkommen als unméglich auszuschliefsen, am
wenigsten aus der Mechanik noch unbekannter Systeme, wie
es die Atome oder die Teile des Athers sind. Aber selbst:
wenn wir zugeben, dass die fraglichen Verbindungen in der
Natur nur angendhert verwirklicht sind, selbst dann bereitet
uns das Versagen des Hamiuron’schen Prinzips in diesen
Fallen Schwierigkeiten. Von jedem Grundgesetze unseres
mechanischen Systems werden wir verlangen miissen, dafs es
angewandt auf angenahert richtige Verhiltnisse immer noch
angenahert richtige Resultate gebe, nicht aber ganzlich falsche.
Denn da schliesslich alle starren Zusammenhinge, welche wir
der Natur entnehmen und in die Rechnung einfiithren, den
wirklichen Verhaltnissen nur angenihert entsprechen, so ge-
raten wir sonst in ginzliche Unsicherheit, auf welche unter
ihnen wir das Gesetz iiberhaupt noch anwenden diirfen, auf
welche nicht mehr. Doch wollen wir die vorgetragene Ver-
teidigung auch nicht ginzlich verwerfen; wir wollen entgegen-
kommend zugeben, dafs die aufgeworfenen Zweifel nur die
Zweckmilsigkeit des Systems, nicht aber seine Richtigkeit
betreffen, so dafs die aus ihnen entspringenden Nachteile durch
andere Vorteile aufgewogen werden kénnen.

Die wahren Schwierigkeiten erwarten uns nun aber erst,
sobald wir versuchen, die Grundlagen des Systems so zu
ordnen, dafs den Anforderungen der logischen Zulassigkeit mit
aller Strenge geniigt werde. Wir diirfen bei der Kinfihrung
der Energie nicht dem gewdhnlichen Wege folgend von den
Kraften ausgehen, von diesen zur Kriftefunktion, zur poten-
tiellen Energie, zur Energie tberhaupt fortschreiten. Hine
solche Anordnung wiirde der ersten Darstellung der Mechanik
angehéren. Vielmehr haben wir, ohne eigentlich mechanische
Entwickelungen schon vorauszusetzen, diejenigen einfachen
unmittelbaren Erfahrungen anzugeben, durch welche wir all-
gemein das Vorhandensein eines Vorrats von Energie und
die Bestimmung seiner Menge definiert wissen wollen. Wir
haben oben nur angenommen, nicht aber bewiesen, dals eine
solche Bestimmung miéglich sei. Mehrere ausgezeichnete
Physiker versuchen heutzutage, der Energie so sehr die Higen-

[PDF-PAGE 62]
26 Fanleitung.

schaften der Substanz zu leihen, dafs sie annehmen, jede
kleinste Menge derselben sei zu jeder Zeit an einen bestimmten
Ort des Raumes geknipft und bewahre bei allem Wechsel
desselben und bei aller Verwandlung der Energie in neue
Formen dennoch ihre Identitat. Diese Physiker missen
notwendig die Uberzeugung vertreten, dafs sich Definitionen
der verlangten Art wirklich geben lassen, und es war daher
wohl erlaubt, die Méglichkeit derselben anzunehmen. Sollen
wir selbst aber eine konkrete Form dafir aufweisen, welche
uns geniigt und welche allgemeiner Zustimmung sicher ist, so
geraten wir in Verlegenheit; zu einem befriedigenden und
abschliefsenden Ergebnis scheint diese ganze Anschauungs-
weise noch nicht gelangt. Eine besondere Schwierigkeit mufs
auch von vornherein der Umstand bereiten, dafs die angeblich
substanzartige Energie in zwei so ganzlich verschiedenen
Formen auftritt, wie es die kinetische und die potentielle
Form sind. Die kinetische Energie bedarf im Grunde an
sich keiner neuen Grundbestimmung, da sie aus den Begriffen
der Geschwindigkeit und der Masse abgeleitet werden kann;
die potentielle Energie hingegen, welche eine selbstandige
Feststellung fordert, widerstrebt zugleich jeder Definition,
welche ihr die Higenschaften einer Substanz beilegt. Die
Menge einer Substanz ist eine notwendig positive Grisse; die
in einem System enthaltene potentielle Energie scheuen wir
uns nicht, als negativ anzunehmen. Bedeutet ein analytischer
Ausdruck die Menge einer Substanz, so hat eine additive
Konstante in dem Ausdruck dieselbe Wichtigkeit wie der Rest;
in dem Ausdruck fir die potentielle Energie eines Systems
hat eine additive Konstante niemals eine Bedeutung. Endlich
kann der Inhalt eines physikalischen Systems an einer Sub-
stanz nur abhingen von dem Zustande des Systems selbst,
der Inhalt gegebener Materie an potentieller Energie aber
hangt ab von dem Vorhandensein entfernter Massen, welche
vielleicht niemals Einflufs auf das System hatten. Ist das
Weltall und damit die Menge jener entfernten Massen unendlich,
so wird der Inhalt auch endlicher Mengen von Materie an
vielen Formen potentieller Energie unendlich gross. Dies
sind alles Schwierigkeiten, welche durch die gesuchte Definition
der Energie beseitigt oder umgangen werden miifsten. Obwohl


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Einleitung. 27

wir nun auch nicht behaupten wollen, dafs eine solche Umgehung
unméglich sei, so kénnen wir sie doch gegenwirtig noch nicht als
geleistet ansehen, und es wird am vorsichtigsten sein, wenn wir
es einstweilen noch als eine offene Frage betrachten, ob sich das
System tiberhaupt in logisch einwurfsfreier Form entwickeln lafst.

Es ist vielleicht der Mihe wert, an dieser Stelle auch
die Frage zu erértern, ob ein anderer Kinwurf gerechtfertigt
sei, den man vielleicht gegen die Zulissigkeit des hier be-
trachteten Systems richten kénnte. Soll ein Bild gewisser
aufserer Dinge in unserem Sinne zulassig sein, so miissen die
Zige desselben nicht allein unter sich in Kinklang stehen,
sondern sie diirfen auch nicht den Ziigen anderer in unserer
Erkenntnis schon feststehender Bilder widersprechen. Darauf-
hin kénnte man nun behaupten: Es sei nicht denkbar, dafs
das Haminron’sche Prinzip oder ein Satz von verwandten
Eigenschaften in Wahrheit ein Grundgesetz der Mechanik und
damit ein Grundgesetz der Natur vorstelle, denn von einem
Grundgesetze sei von vornherein Hinfachheit und Schlichtheit
za erwarten, das Hamiiron’sche Prinzip aber stelle, wenn
man es analysiere, eine Aaufserst verwickelte Aussage dar.
Nicht allein mache es die gegenw&rtige Bewegung abhingig
von Folgen, welche erst in der Zukunft hervortreten kénnen
und mute dadurch der leblosen Natur Absichten zu, sondern,
was schlimmer sei, es mute der Natur sinnlose Absichten zu.
Denn das Integral, dessen Minimum das Hammron’ sche Prinzip
fordert, habe keine einfache physikalische Bedeutung; es sei
aber fir die Natur ein unverst&indliches Ziel, einen mathe-
matischen Ausdruck zum Minimum zu machen oder seine
Variation zum Verschwinden zu bringen. Die gewdhnliche
Antwort, welche die heutige Physik auf derartige Angriffe
bereit hilt, ist diese, dafs die Voraussetzungen, von welchen
die Betrachtungen ausgehen, metaphysischen Ursprungs seien,
dafs aber die Physik darauf verzichtet habe und es nicht mehr
als Pflicht anerkenne, den Anspriichen der Metaphysik gerecht
zu werden. Sie lege kein Gewicht mehr auf die Griinde,
welche von metaphysischer Seite einst zu Gunsten der Prin-
zipien vorgebracht seien, welche einen Zweck in der Natur
andeuten; ebensowenig aber kénne sie jetzt Hinwinden meta-

[PDF-PAGE 64]
28 Exnleitung.

physischen Charakters gegen ebendieselben Prinzipien ihr Ohr
leihen. Wenn wir bei solchem Rechten zu entscheiden hatten,
so wirden wir nicht unbillig denken, wenn wir uns mehr auf
Seiten des Angreifers, als des Verteidigers stellten. Kein Be-
denken, welches tiberhaupt Eindruck auf unsern Geist macht,
kann dadurch erledigt werden, dafs es als metaphysisch be-
zeichnet wird; jeder denkende Geist hat als solcher Bedirf-
nisse, welche der Naturforscher metaphysische zu nennen ge-
wohnt ist. Uberdies lafst sich in dem vorliegenden Falle, wie
wohl in allen ahnlichen, die gesunde und berechtigte Quelle
unseres Bedirfnisses ganz wohl aufweisen. Freilich konnen
wir von der Natur nicht a priori Einfachheit fordern, noch
auch urteilen, was in ihrem Sinne einfach sei. Aber den Bil-
dern, welche wir uns von ihr machen, konnen wir als unsern
eigenen Schopfungen Vorschriften machen. Wir urteilen nun
mit Recht, dafs, wenn unsere Bilder den Dingen gut angepalst
sind, dafs dann die wirklichen Beziehungen der Dinge durch
einfache Beziehungen zwischen den Bildern miissen wieder-
gegeben werden. Wenn aber die wirklichen Beziehungen
zwischen den Dingen nur durch verwickelte, ja dem unvor-
bereiteten Geiste sogar unverstandliche Beziehungen zwischen
den Bildern sich wiedergeben lassen, so urteilen wir, dafs
diese Bilder den Dingen nur ungeniigend angepalfst sind. Unsere
Forderung der Einfachheit geht also nicht an die Natur, son-
dern an die Bilder, welche wir uns von ihr machen, und unser
Widerspruch gegen eine verwickelte Aussage als Grundgesetz
driickt nur die Uberzeugung aus. dafs, wenn der Inhalt der
Aussage richtig und umfassend sei, er sich durch zweck-
mifsigere Wahl der Grundvorstellungen auch in einfacherer
Form miisse aussprechen lassen. Kine andere Aufserung der-
selben Uberzeugung ist der in uns erwachende Wunsch, von dem
aufseren Verstandnisse eines derartigen Gesetzes zu seinem tieferen
und eigentlichen Sinn vorzudringen, von dessen Vorhandensein
wir iiberzeugt sind. Ist diese Auffassung richtig, so bildet in
der That der vorgebrachte Einwurf ein berechtigtes Bedenken
gegen das System, aber er trifft dann nicht sowohl seine Zulassig-
keit, als vielmehr seine Zweckmafsigkeit und er kime bei der
Beurteilung der letzteren in Betracht. Es ist indessen nicht
notig, deshalb nochmals zur Besprechung jener zurickzukehren.


[PDF-PAGE 65]
Finleitung. 29

Uberblicken wir noch einmal dasjenige, was wir tiber die
Vorziige des zweiten Bildes vorzubringen hatten, so kénnen
wir von der Gesamtheit desselben nicht allzu befriedigt sein.
Obgleich die ganze Richtung der neueren Physik uns anlockt,
den Begriff der Energie in den Vordergrund zu stellen und
ihn auch in der Mechanik als Grund- und Eckstein unseres
Aufbaues zu benutzen, so bleibt es doch mehr als zweifelhaft,
ob wir bei diesem Vorgehen die Hiarten und Rauhigkeiten
vermeiden kénnen, welche uns in dem ersten Bilde der Mechanik
anstéfsig waren. In der That habe ich auch diesem zweiten
Wege der Darstellung nicht deshalb eine langere Besprechung
gewidmet, um zur Beschreitung desselben zu ermutigen, son-
dern vielmehr um anzudeuten, aus welchen Griinden ich selbst
ibn aufgegeben habe, nachdem ich zuerst ihn zu verfolgen
versucht hatte.

3.

Eine dritte Anordnung der Prinzipien der Mechanik ist
diejenige, welche in dem Hauptteil des Buches ausfihrlich
dargelegt werden soll, deren Hauptziige wir aber schon hier
in der Einleitung vorfithren wollen, um sie in demselben Sinne
einer Kritik zu unterwerfen, wie es mit den beiden ersten
geschehen ist. Von jenen unterscheidet sie sich wesentlich
dadurch, dafs sie von nur drei unabhingigen Grundvor-
stellungen ausgeht; denen der Zeit, des Raumes und der
Masse. Sie betrachtet daher als ihre Aufgabe, die natiirlichen
Beziehungen zwischen diesen dreien und allein zwischen diesen
dreien darzustellen. Ein vierter Begriff, wie der Begriff der
Kraft oder der Energie, an welchen sich vorhin die Schwierig-
keiten kniipften, ist als selbstandige Grundvorstellung beseitigt.
Die Bemerkung, dafs drei von einander unabhangige Vor-
stellungen nétig, aber auch hinreichend seien zur Entwicklung

[PDF-PAGE 66]
30 Kinleitung.

der Mechanik, hat schon G. Krzcuuorr seinem Lehrbuche der
Mechanik vorangestellt. Ganz ohne Ersatz kann freilich die
so in den Grundvorstellungen ausfallende Mannigfaltigkeit nicht
bleiben. In unserer Darstellung suchen wir die entstehende
Liicke auszufillen durch Beniitzung einer Hypothese, welche
hier nicht zum ersten Male aufgestellt wird, welche man aber
nicht in die Elemente der Mechanik selbst einzufihren gewohnt
ist, und deren Wesen wir etwa in der folgenden Weise
erlautern kénnen.

Versuchen wir die Bewegungen der uns umgebenden
K6rper zu verstehen und auf einfache und durchsichtige
Regeln zuriickzufihren, indem wir aber nur dasjenige beriick-
sichtigen, was wir unmittelbar vor Augen haben, so schlagt
unser Versuch im allgemeinen fehl. Wir werden bald gewahr,
dafs die Gesamtheit dessen, was wir sehen und greifen kénnen
noch keine gesetzmifsige Welt bildet, in welcher gleiche Zu-
stande stets gleiche Folgen haben. Wir iiberzeugen uns, dafs
die Mannigfaltigkeit der wirklichen Welt gréfser sein mufs
als die Mannigfaltigkeit der Welt, welche sich unseren Sinnen
unmittelbar offenbart. Wollen wir ein abgerundetes, in sich
geschlossenes, gesetzmifsiges Weltbild erhalten, so miissen wir
hinter den Dingen, welche wir sehen, noch andere, unsichtbare
Dinge vermuten, hinter den Schranken unserer Sinne noch
heimliche Mitspieler suchen. Diese tieferliegenden Linflisse
erkannten wir in den ersten beiden Darstellungen an und wir
dachten sie uns als Wesen einer eigenen und besonderen Art,
deshalb schufen wir zu ihrer Wiedergabe in unserem Bilde
die Begriffe der Kraft und der Energie. Es steht uns aber
noch ein anderer Weg offen. Wir kénnen zugeben, dafs ein
verborgenes Etwas mitwirke und doch leugnen, dafs dieses
Etwas einer besonderen Kategorie angehére. Es steht uns
frei anzunehmen, dafs auch das Verborgene nichts anderes sei
als wiederum Bewegung und Masse, und zwar solche Bewegung
und Masse, welche sich von der sichtbaren nicht an sich
unterscheidet, sondern nur in Beziehung auf uns und auf
unsere gewoéhnlichen Mittel der Wahrnehmung. Diese Auf-
fassungsweise ist nun eben unsere Hypothese. Wir nehmen
also an, dafs es méglich sei, den sichtbaren Massen des


[PDF-PAGE 67]
Einlettung. 31

Weltalls andere denselben Gesetzen gehorchende Massen hinzu-
zudichten von solcher Art, dafs dadurch das Ganze Gesetz-
mifsigkeit und Verstindlichkeit gewinnt, und zwar nehmen
wir an, dafs dies ganz allgemein und in allen Fallen miglich
sei, und dafs es daher andere Ursachen der Erscheinungen
auch gar nicht gebe, als die hierdurch zugelassenen. Was
wir gewohnt sind als Kraft und als Energie zu bezeichnen ist
dann fir uns nichts weiter als eine Wirkung von Masse und
Bewegung, nur braucht es nicht immer die Wirkung grob-
sinnlich nachweisbarer Masse und grobsinnlich nachweisbarer
Bewegung zu sein. Eine derartige Erklarung einer Kraft aus
Bewegungsvorgingen pflegt man eine dynamische zu nennen,
und man kann wohl sagen, dafs die Physik gegenwartig der-
artigen Erklarungen in hohem Grade hold ist. Die Krifte
der Warme hat man mit Sicherheit auf die verborgenen Be-
wegungen greifbarer Massen zuriickgefihrt. Durch Maxwx1’s
Verdienst ist die Vermutung fast zur Uberzeugung geworden,
dafs wir in den elektrodynamischen Kriften die Wirkung der
Bewegung verborgener Massen vor uns haben. Lord Kevin
rickt die Méglichkeit dynamischer Erklarungen der Krifte
mit Vorliebe in den Vordergrund seiner Betrachtungen; in
seiner Theorie von der Wirbelnatur der Atome hat er ein
dieser Anschauung entsprechendes Bild des Weltganzen zu
geben versucht. von Heumaoutz hat in der Untersuchung
fiber die cyklischen Systeme die wichtigste Form der verbor-
genen Bewegung ausfihrlich und zum Zwecke allgemeiner An-
wendung behandeilt; durch ihn ist den Ausdriicken ,,verborgene“
Masse, ,,verborgene“ Bewegung die Geltung technischer Aus-
driicke im Deutschen verliehen. Hat aber jene Hypothese die
Fahigkeit, die geheimnisvollen Krifte allmahlich aus der Mechanik
wieder zu eliminieren, so kann sie auch verhindern, dafs die-
selben iiberhaupt in die Mechanik eintreten. Und entspricht
die Verwertung der Hypothese zu ersterem Zwecke der Denk-
weise der heutigen Physik, so mufs das Gleiche von ihrer
Benutzung zu letzterem Zwecke gelten. Dies ist der leitende
Gedanke, von welchem wir ausgehen und durch dessen Ver-
folgung dasjenige Bild entsteht, welches wir als das dritte
bezeichneten, und dessen allgemeine Umrisse wir nun um-
fahren wollen.

[PDF-PAGE 68]
82 Einleitung.

Zuerst fithren wir also ein die drei unabhingigen Grund-
begriffe Zeit, Raum und Masse als Gegenstinde der Erfahrung,
indem wir angeben, durch welche konkreten sinnlichen Erfah-
rungen wir uns Zeiten, Massen, riumliche Gréfsen bestimmt
denken wollen. Was die Massen anbelangt, so behalten wir
uns vor, neben den sinnlich wahrnehmbaren Massen durch
Hypothese verborgene Massen einzufihren. Wir stellen sodann
die Beziehungen zusammen, welche zwischen jenen konkreten
Erfahrungen stets obwalten und welche wir als die wesent-
lichen Beziehungen zwischen den Grundbegriffen festzuhalten
haben. Es ist naturgemafs, dafs wir die Grundbegriffe zu-
nichst zu je zweien verbinden. Die Beziehungen, welche
Raum und Zeit allein betreffen, kénnen wir als Kinematik
voraussenden. Zwischen Masse und Zeit allein besteht keine
Verknitipfung. Masse und Raum dagegen treten wieder zu-
sammen zu einer Reihe wichtiger erfahrungsmifsiger Bezie-
hungen. Wir finden nimlich zwischen den Massen der Natur
gewisse rein raumliche Zusammenhinge, welche darin bestehen,
dafs von Anbeginn an fir alle Zeiten, und also unabhangig
von der Zeit, jenen Massen gewisse Lagen und gewisse Ande-
rungen der Lage als mégliche, alle anderen aber als unmiégliche
vorgeschrieben und zugeordnet sind. Wir kénnen iiber diese
Zusammenhinge ferner allgemein aussagen, dafs sie nur die
relative Lage der Massen unter einander betreffen und weiter-
gehend, dafs sie gewissen Bedingungen der Stetigkeit gentigen,
welche ihren mathematischen Ausdruck darin finden, dafs sich
die Zusammenhinge selbst stets durch homogene lineare Glei-
chungen zwischen den ersten Differentialen derjenigen Gréfsen
wiedergeben lassen, durch welche wir die Lage der Massen
bezeichnet haben. Die Zusammenhinge bestimmter materieller
Systeme im einzelnen zu erforschen ist nicht Sache der
Mechanik, sondern der experimentellen Physik; die bezeich-
nenden Merkmale, durch welche sich die verschiedenen mate-
riellen Systeme der Natur unterscheiden, sind nach unserer
Vorstellung eben einzig und allein die Zusammenhange ihrer
Massen. In den bisherigen Erérterungen haben wir nur je
zwei der Grundbegriffe fir sich verbunden, nunmehr wenden
wir uns der eigentlichen Mechanik im engeren Sinne zu, in
welcher alle drei zusammenzutreten haben. Es gelingt uns


[PDF-PAGE 69]
Hinleitung. 83

ihre erfahrungsmalsige allgemeine Verknitipfung zusammen-
zufassen in ein einziges Grundgesetz, welches eine sehr nahe
Analogie mit dem gewéhnlichen Tragheitsgesetz zieht. In der
That lafst es sich in der Ausdrucksweise, welche wir benutzen,
wiedergeben in der Aussage: jede nattirliche Bewegung eines
selbstindigen materiellen Systems bestehe darin, dafs das
System mit gleichbleibender Geschwindigkeit eine seiner ge-
radesten Bahnen verfolge. Diese Aussage ist allerdings nur
verstandlich, nachdem die benutzte mathematische Redeweise
gehirig erértert ist; der Sinn des Satzes aber lafst sich auch
in der gewdhnlichen Sprache der Mechanik wiedergeben. Jener
Satz fafst namlich einfach das gewodhnliche Trigheitsgesetz
und das Gavss’sche Prinzip des kleinsten Zwanges in eine
einzige Behauptung zusammen. Er sagt also aus, dafs, wenn
die Zusammenhinge des Systems einen Augenblick geldést
werden kénnten, dafs sich dann seine Massen in geradliniger
und gleichférmiger Bewegung zerstreuen wiirden, dafs aber,
da solche Auflésung nicht méglich ist, sie jener angestrebten
Bewegung wenigstens so nahe bleiben als méglich. Wie jenes
Grundgesetz in unserem Bilde der erste Erfahrungssatz der
eigentlichen Mechanik ist, so ist er auch der letzte. Aus ihm
zusammen mit der zugelassenen Hypothese verborgener Massen
und gesetzmilsiger Zusammenhinge leiten wir den tbrigen
Inhalt der Mechanik rein deduktiv ab. Um ihn gruppieren
wir die iibrigen allgemeinen Prinzipien nach ihrer Verwandt-
schaft zu ihm und untereinander, als Folgerungen oder als
Teilaussagen. Wir bemithen uns zu zeigen, dafs bei dieser
Anordnung der Inhalt unserer Wissenschaft nicht weniger reich
und mannigfaltig ausfillt, als der Inhalt einer Mechanik, welche
von vier Grundvorstellungen ausgeht, jedenfalls nicht weniger
reich und mannigfaltig als es die Darstellung der Natur ver-
langt. Ubrigens erweist es sich auch hier bald als zweck-
mafsig, den Begriff der Kraft einzufihren. Aber die Kraft
tritt nun nicht auf als etwas von uns unabhiangiges und uns
fremdes, sondern als eine mathematische Hilfskonstruktion,
deren Eigenschaften wir véllig in unserer Gewalt haben, und
welche also auch fiir uns nichts Ratselhaftes an sich haben
kann. Nach dem Grundgesetze mufs namlich tberall da, wo

zwei Kérper demselben System angehéren, die Bewegung des
Hertz, Mechanik. 83

[PDF-PAGE 70]
34 Exnleitung.

einen durch die Bewegung des anderen mitbestimmt sein. Der
Begriff der Kraft entsteht nun dadurch, dafs wir es aus an-
gebbaren Griinden zweckmifsig finden, diese Bestimmung
der einen Bewegung durch die andere in zwei Stadien zu zer-
legen und uns zu sagen: die Bewegung des ersten Kérpers
bestimme zunichst eine Kraft, diese Kraft erst bestimme die
Bewegung des zweiten Kérpers. Auf diese Weise wird jede
Kraft zwar stets Ursache einer Bewegung, mit gleichem Rechte
aber zugleich auch stets Folge einer Bewegung; sie wird, genau
gesprochen, das nur gedachte Mittelglied zwischen zwei Be-
wegungen. Hs ist klar, dafs bei dieser Auffassung die allge-
meinen. Higenschaften der Krifte mit Denknotwendigkeit aus
dem Grundgesetze folgen mtissen und wenn wir in méglichen
Erfahrungen diese Higenschaften bestitigt sehen, so kann uns
dies nicht einmal verwundern, wenn anders wir an unserm
Grundgesetz nicht zweifeln. Mit dem Begriffe der Energie und
mit allen anderen einzufitthrenden Hilfskonstruktionen liegt die
Sache ganz ebenso.

Was wir bisher gesagt haben, betraf den physikalischen
Inhalt des vorzufithrenden Bildes und erschépfte denselben im
Rahmen dieser Einleitung; es wird zweckmafsig sein, nun
auch eine kurze Erérterung der besonderen mathematischen
Form zu widmen, in welcher wir denselben wiedergeben wer-
den. Jener Inhalt ist von dieser Form ganz unabhingig und
es ist vielleicht nicht ganz klug gehandelt, dafs wir einen von
dem Herkémmlichen abweichenden Inhalt sogleich in einer
ungewohnten Form darbieten. Indessen weichen ja sowohl
Form als Inhalt ein jedes fir sich nur sehr wenig von wohl-
bekannten Dingen ab, aufserdem passen eben dieser Inhalt und
diese Form so zu einander, dafs ihre Vorziige sich gegenseitig
stiitzen. Das wesentliche Merkmal der benutzten Terminologie
besteht nun darin, dafs sie gleich von vornherein ganze
Systeme von Punkten vorstellt und in Betracht zieht, nicht
aber jedesmal von den einzelnen -Punkten ausgeht. Hinem
jeden sind die Ausdricke ,Lage eines Systems von Punkten“
und ,,Bewegung eines Systems von Punkten“ geliufig. Es ist
eine nicht unnatirliche Fortsetzung dieser Redeweise, wenn
wir die Gesamtheit der bei der Bewegung durchlaufenen Lagen


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Einleitung. 35

eines Systems als seine Bahn bezeichnen. Jeder kleinste Teil
dieser Bahn ist alsdann ein Bahnelement. Von zwei Bahn-
elementen kann das eine ein Teil des andern sein, sie unter-
scheiden sich alsdann noch nach der Gréfse und nur nach
dieser. Zwei Bahnelemente, welche von derselben Lage aus-
gehen, kénnen aber auch verschiedenen Bahnen angehdren,
alsdann ist keines von beiden ein Teil des anderen und sie
unterscheiden sich nicht nur hinsichtlich der Gréfse; wir sagen
deshalb, dafs sie auch verschiedene Richtung haben. Durch diese
Aussagen sind freilich die Merkmale ,,Gréfse“ und ,,Richtung“
fir die Bewegung eines Systems noch nicht eindeutig bestimmt;
wir kénnen aber unsere Definition geometrisch oder analytisch
so vervollstindigen, dafs ihre Folgen weder mit sich selbst
noch mit dem Gesagten in Widerspruch geraten und dafs
zugleich die definierten Grdfsen in der Geometrie des Systems
genau den Gréfsen entsprechen, welche wir in der Geometrie
des Punktes mit den gleichen Namen bezeichnen, mit welchen
bekannten Gréfsen sie auch stets zusammenfallen, sobald das
System sich auf einen Punkt reduziert. Sind aber einmal die
Merkmale Grifse und Richtung bestimmt, so liegt es nahe
genug, die Bahn eines Systems gerade zu nennen, wenn alle
ihre Elemente die gleiche Richtung haben; und krumm, sobald
die Richtung der Elemente sich von Lage zu Lage 4&ndert.
Als Mafs der Kriimmung bietet sich wie in der Geometrie des
Punktes die Anderungsgeschwindigkeit der Richtung mit der
Lage von selber dar. Durch diese Definition sind nun aber
schon eine ganze Reihe von Beziehungen gegeben und die Zahl
derselben wichst, sobald die Bewegungsfreiheit des betrachteten
Systems durch seine Zusammenhinge eingeschrankt ist. Ins-
besondere lenken alsdann gewisse Klassen von Bahnen die
Aufmerksamkeit auf sich, welche sich unter den méglichen
durch besondere einfache Eigenschaften auszeichnen. Hierher
gehéren vor allen Dingen diejenigen Bahnen, welche in jeder
ihrer Lagen so wenig wie méglich gekriimmt sind und welche
wir als die geradesten Bahnen des Systems bezeichnen. Sie
sind es, von welchen in dem Grundgesetz die Rede ist und
welche wir schon oben bei Anfiihrung desselben erw&hnt haben.
Hierher gehéren ferner diejenigen Bahnen, welche die kiirzeste
Verbindung zwischen irgend zweien ihrer Lagen bilden, und
3*

[PDF-PAGE 72]
36 Finleitung.

welche wir als kirzeste Bahnen des Systems bezeichnen.
Unter gewissen Bedingungen fallen die Begriffe der geradesten
und der kirzesten Bahnen zusammen. Dies Verhiltnis ist
uns durch Erinnerung an die Theorie der krummen Ober-
flachen sogar hichst geliufig, aber allgemein und unter allen
Umstinden hat es gleichwohl nicht statt. Die Sammlung und
Ordnung aller hier auftretenden -Beziehungen gehért in die
Geometrie der Punktsysteme und die Entwickelung dieser Geo-
metrie hat eigenen mathematischen Reiz; wir verfolgen dieselbe
aber nur soweit als es der augenblickliche Zweck der physi-
kalischen Anwendung erfordert. Da ein System von x Punkten
eine 3nfache Mannigfaltigkeit der Bewegung darbietet, welche
aber durch die Zusammenhinge des Systems auch auf jede
beliebige Zahl vermindert werden kann, so entstehen viele
Analogien mit der Geometrie eines mehrdimensionalen Raumes,
welche zum Teil so weit gehen, dafs dieselben Satze und Be-
zeichnungen hier und dort Bedeutung haben kénnen. Es ist
aber in unserem Interesse zu betonen, dafs diese Analogien
nur formale sind, und dals trotz eines gelegentlich fremdartigen
Klanges sich unsere Betrachtung ausnahmslos auf konkrete Ge-
bilde des Raumes unserer Sinnenwelt beziehen, dafs also auch
alle unsere Aussagen migliche Erfahrungen darstellen und
wenn es ndtig ware, durch unmittelbare Versuche, namlich
durch Messung an Modellen bestitigt werden kénnten. Den
Vorwurf, dafs wir beim Aufbau einer Erfahrungswissenschaft
die Welt der Erfahrung verlassen, diesen Vorwurf haben wir
also nicht zu fiirchten. Dagegen haben wir Rede zu stehen
auf die Frage, ob sich denn die Weitliufigkeit einer neuen
und ungewohnten .Ausdrucksweise lohne, und welchen ent-
sprechenden Nutzen wir von der Anwendung derselben erwarten?
Als Antwort nennen wir darauf als ersten Nutzen die grofse
Hinfachheit und Kiirze, mit welcher sich die meisten allgemeinen
und umfassenden Aussagen wiedergeben lassen. In der That
erfordern Si&tze, welche ganze Systeme behandeln hier nicht
mehr Worte und nicht mehr Begriffe, als wenn sie unter
Benutzung der gewdhnlichen Ausdrucksweise in Bezug auf
einen einzelnen Punkt ausgesagt wiirden. Die Mechanik des
materiellen Systems erscheint hier nicht mehr als eine Er-
weiterung und Verwickelung der Mechanik des einzelnen Punktes,


[PDF-PAGE 73]
Etinleitung. 37

sondern die letztere fallt als selbstiindige Untersuchung fort
oder tritt doch nur gelegentlich als Vereinfachung und beson-
derer Fall der ersteren auf. Wendet man etwa ein, diese
Einfachheit sei kinstlich erzeugt, so antworten wir, dals es
gar keine andere Methode’ gebe, einfache Beziehungen zu
schaffen, als die kiinstliche und wohlerwogene Anpassung
unserer Begriffe an die darzustellenden Verhiltnisse. Will man
aber in jenem Vorwurf des Kiinstlichen den Nebensinn des
Gesuchten und Unnatiirlichen hervorheben, so dtrfen wir dem
entgegenhalten, dafs man vielleicht mit mehr Recht die Be-
trachtung ganzer Systeme fiir das Natiirliche und Naheliegende
halten kénne, als die Betrachtung einzelner Punkte. Denn in
Wahrheit ist uns das materielle System unmittelbar gegeben,
der einzelne Massenpunkt eine Abstraktion; alle wirkliche Er-
fahrung wird unmittelbar nur an Systemen gewonnen und die
an einfachen Punkten méglichen Erfahrungen sind daraus durch
Verstandesschliisse abgezogen. Als einen zweiten, allerdings
nicht sehr wesentlichen Nutzen heben wir die Vorziige der
Form hervor, welche durch unsere mathematische Hinkleidung
dem Grundgesetz gegeben werden kann. Ohne jene Einklei-
dung miifsten wir es zerlegen in das erste Newron’sche Ge-
setz und das Gavuss’sche Prinzip des kleinsten Zwanges. Beide
zusammen wiirden nun zwar genau dieselbe Thatsache dar-
stellen, aber sie wiirden neben dieser Thatsache andeutungs-
weise noch ein wenig mehr enthalten und dieses Mehr ware
ein Zuviel. Erstens rufen sie die unserer Mechanik fremde
Vorstellung wach, dafs die Zusammenhinge der materiellen
Systeme doch auch gelést werden kénnten, obwohl wir die-
selben als von Anbeginn an bestehende und als ginzlich un-
lésbare bezeichnet haben. Zweitens kann man bei Benutzung
des Gavss’schen Prinzips nicht vermeiden, die Nebenvorstellung
zu erwecken, dafs man nicht nur eine Thatsache, sondern zu-
gleich auch den Grund dieser Thatsache mitteilen wolle. Man
kann nicht aussagen, dafs die Natur eine Gréfse, welche man
Zwang nennt, bestandig so klein als méglich halt, ohne anzu-
deuten, dafs dies geschehe, eben weil jene Grifse fir die Natur
einen Zwang, das heifst ein Unlustgefithl bedeute. Man kann
nicht aussagen, dafs die Natur verfahre wie ein verstindiger
Rechner, der seine Beobachtung ausgleicht, ohne nahezulegen,

[PDF-PAGE 74]
38 Einleitung.

dafs hier wie dort wohltiberlegte Absicht der Grund des Ver-
fahrens sei. Gewifs liegt gerade ein besonderer Reiz in der-
artigen Seitenblicken und dies hat Gauss selbst in gerechter
Freude an seiner schénen und fiir unsere Mechanik grund-
legenden Entdeckung hervorgehoben. Aber doch miissen wir
uns gestehen, dafs dieser Reiz nur ein Spiel mit dem Geheimnis-
vollen ist; im Ernste glauben wir selbst nicht an unser Ver-
mégen, durch derartige Andeutungen halb schweigend das Welt-
ratsel zu lésen. Unser eigenes Grundgesetz vermeidet solche
Winke ginzlich. Indem es genau die Form des gewéhnlichen
Trigheitsgesetzes annimmt, giebt es so gut wie dieses eine
nackte Thatsache ohne jeden Schein einer Begriindung der-
selben. In demselben Mafse, in welchem es dadurch Armer
und ungeschmiickter erscheint, in demselben Mafse ist es ehr-
licher und wahrer. . Doch vielleicht verfiihrt mich die Vorliebe
fur die kleine Abinderung, welche ich selbst an dem Gavss’-
schen Prinzip angebracht habe, dafs ich Vorziige in ihr er-
blicke, welche fremden Augen notwendig verborgen sind. Sicher
aber wird man, denke ich, dagegen zustimmen, wenn ich als
dritten Nutzen unserer Methode anftihre, dafs dieselbe ein
helles Licht auf die von Hamrron erfundene Behandlungs-
weise mechanischer Probleme mit Hilfe charakteristischer
Funktionen wirft. Diese Behandlungsweise hat in den sechzig
Jahren ihres Bestehens Anerkennung und Ruhm genug gefunden,
aber sie ist doch mehr aufgefafst und behandelt worden wie
ein neuer Seitenzweig der Mechanik, dessen Wachstum und
Weiterbildung neben der gewéhnlichen Methode und unab-
hangig von derselben vor sich zu gehen habe. In unserer
Form der mathematischen Darstellung aber trigt die Ha»n-
ton’sche Methode nicht den Charakter eines Seitenzweiges, son-
dern sie erscheint als die gerade, naturgemifse und sozusagen
selbstverstiindliche Fortsetzung der elementaren Aussagen in
allen den Fallen, in welchen sie tiberhaupt anwendbar ist.
Auch das lafst unsere Darstellungsweise klar hervortreten,
dafs die Hammron’sche Behandlungsweise nicht in den be-
sonderen physikalischen Grundlagen der Mechanik ihre Wurzeln
hat, wie man wohl gewéhnlich annimmt, sondern dafs sie im
Grunde genommen eine rein geometrische Methode ist, welche
begriindet und ausgebildet werden kann, ganz unabhingig von


[PDF-PAGE 75]
Einleitung. 39

der Mechanik, und welche mit dieser in keiner engeren Be-
ziehung steht, als alle andere von der Mechanik benutzte
geometrische Erkenntnis auch. Ubrigens ist es von den Mathe-
matikern seit lange bemerkt worden, dafs die Hammmron’sche
Methode rein geometrische Wahrheiten enthiélt und zum klaren
Ausdruck derselben eine eigentiimliche, ihr angepafste Aus-
drucksweise geradezu fordert. Nur ist diese Thatsache in
etwas verwirrender Form zu Tage getreten, namlich in den
Analogieen, welche man beim Verfolg der Hamuinron’schen
Gedanken zwischen der gewdhnlichen Mechanik und der Geome-
trie eines vieldimensionalen Raumes gefunden hat. Unsere
Ausdrucksweise giebt eine einfache und verstindliche Erklirung
dieser Analogieen; sie gestattet auch die Vorteile derselben zu
geniefsen und sie vermeidet doch die Unnatiirlichkeit, welche
in der Verquickung eines Zweiges der Physik mit aufsersinn-
lichen Abstraktionen liegt.

Wir haben nunmebr unser drittes Bild der Mechanik nach
Inhalt und Form soweit geschildert, als es angeht ohne dem
Buche selbst vorzugreifen; zugleich hinreichend, um es den
beabsichtigten Fragen nach seiner Zulassigkeit, seiner Richtig-
keit und seiner Zweckmilfsigkeit unterwerfen zu kénnen. Was
zunichst die logische Zulissigkeit des entworfenen Bildes
anlangt, so denke ich, dafs dieselbe selbst strengen Anforde-
rungen geniigen kénne, und hoffe, dafs diese Meinung der Zu-
stimmung begegnen mige. Ich lege auf diesen Vorzug der
Darstellung das grifste Gewicht, ja einzig Gewicht. Ob das
entworfene Bild zweckmifsiger ist, als ein anderes, ob es fahig
ist alle zukinftige Erfahrung zu umfassen, ja ob es auch
nur alle gegenwirtige Erfahrung umfafst, alles dies ist mir
fast nichts gegen die Frage, ob es in sich abgeschlossen, rein
und widerspruchsfrei ist. Denn nicht deshalb habe ich es zu
zeichnen versucht, weil die Mechanik nicht bereits fir ihre
Anwendungen geniigend Zweckmilsigkeit zeigte, noch weil
dieselbe mit der Erfahrung irgend in Widerstreit geraten
ware, sondern allein um mich von dem driickenden Gefihle
zu befreien, dafs ihre Elemente nicht frei seien von Dunkel-
heiten und Unverstindlichkeiten fir mich. Nicht das einzig
mogliche Bild der mechanischen Vorginge, noch auch das

[PDF-PAGE 76]
40 Exnleitung.

beste Bild, sondern itberhaupt nur ein begreifbares Bild wollte
ich suchen und an einem Beispiel zeigen, dafs ein solches
moglich sei und wie es etwa aussehen miisse. Die Voll-
kommenheit ist uns freilich in jeder Richtung unerreichbar,
und ich mulfs mir gestehen, dafs trotz vieler Mithe das erlangte
Bild nicht in allen Punkten von so tiberzeugender Klarheit
ist, dafs es nicht dem Zweifel ausgesetzt und der Verteidigung
bedirftig ware. Doch scheint mir von Einwinden allgemeiner
Art nur ein einziger hinreichend nahe zu liegen, dafs es sich
lohnt, ihn vorwegzunehmen und abzuschneiden. Er betrifft die
Natur der starren Verbindungen, welche wir zwischen den
Massen annehmen, und welche wir auch in unserem System
auf keine Weise entbehren kénnen. Viele Physiker werden
zunichst der Ansicht sein, dafs mit diesen Verbindungen doch
schon Krifte in die Elemente der Mechanik eingefiihrt und zwar in
heimlicher und deshalb unerlaubter Weise eingefihrt seien. Denn
— so werden sie sagen — starre Verbindungen sind nicht denkbar
ohne Krafte; starre Verbindungen kénnen nicht auf andere Weise
zu stande kommen, als indem sie durch Kriafte erzwungen werden.
Wir antworten darauf: Kure Behauptung ist allerdings richtig fir
die Denkweise der gewéhnlichen Mechanik, aber sie ist nicht richtig
unabhangig von dieser Denkweise; sie erscheint nicht zwingend
dem Geist, welcher die Sache unbefangen und wie zum erstenmal
betrachtet. Gesetzt wir finden, auf welche Weise auch immer,
dafs der Abstand zweier bestimmter punktformiger Massen zu
allen Zeiten und unter allen Umstinden derselbe bleibt, so
kénnen wir dieser Thatsache Ausdruck verleihen, ohne andere
als réumliche Vorstellungen zu benutzen und die ausgesagte
Thatsache hat als Thatsache fir die Voraussicht zukinftiger
Erfahrung und fir alle andern Zwecke ihren Wert unabhingig
von einer etwaigen Erklarung, welche wir besitzen oder nicht
besitzen. Auf keinen Fall wird der Wert der Thatsache
erhéht oder unser Verstindnis von ihr verbessert dadurch, dafs
wir sie in der Form mitteilen: Zwischen jenen Massen wirke
eine Kraft, welche ihren Abstand konstant halt, oder: Zwischen
ihnen sei eine Kraft thitig, welche verhindert, dafs sich ihr
Abstand von seinem festen Wert entferne. Aber — so wird
man uns wieder einwenden — wir sehen ja, dafs die letztere
Erklarung, obwohl scheinbar nur eine lacherliche Umschreibung,

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Einleitung. 41
gleichwohl richtig ist. Denn alle Verbindungen der wirklichen
Welt sind nur angenihert starr und der Schein der Starrheit
wird nur dadurch hervorgebracht, dafs die elastischen Krifte
die kleinen Abweichungen von der Ruhelage bestindig wieder
vernichten. Wir antworten: Von solchen starren Verbindungen
der greifbaren Kérper, welche nur angenahert verwirklicht
sind, wird unsere Mechanik selbstverstindlich als Thatsache
auch nur aussagen, dafs ihnen angendhert geniigt werde und
zu dieser Aussage, auf welche es ankommt, bedarf sie wiederum
des Begriffs der Kraft nicht. Will unsere Mechanik aber in
zweiter Annaherung die Abweichungen und damit die elastischen
Kriafte beriicksichtigen, so wird sie fir diese wie fur alle
Krafte eine dynamische Erklirung annehmen; bei der Suche
nach den wirklich starren Verbindungen wird sie vielleicht zur
Welt der Atome hinabzusteigen haben, aber diese Erérterungen
sind hier nicht am Platze, sie bertihren nicht mehr die Frage,
ob es logisch zulaissig sei, feste Verbindungen unabhingig
von und vor den Kriften zu behandeln. Dafs diese Frage zu |
bejahen sei und nur dies wiinschten wir zu erweisen und
glauben wir erwiesen zu haben. Steht aber dies fest, so
kénnen wir aus der Natur der festen Verbindungen die Eigen-
schaften der Krifte und ihr Verhalten ableiten ohne uns
damit einer petitio principii schuldig gemacht zu haben.
Andere Einwinde &hnlicher Art sind méglich, kénnen aber,
wie ich glaube, in &bnlicher Art erledigt werden.

Dem Wunsche, die logische Reinheit des Systems auch
in allen Einzelheiten zu erweisen, habe ich dadurch Ausdruck
gegeben, dafs ich fir die Darstellung die altere synthetische
Form benutzt habe. Diese Form bietet fiir jenen Zweck schon
darin einen gewissen Vorteil, dafs sie uns zwingt, jeder wesent-
lichen Aussage den beabsichtigten logischen Wert in abwechs-
lungsarmer aber bestimmter Angabe vorauszuschicken. Dadurch
werden die bequemen Vorbehalte und Vieldeutigkeiten unméglich
gemacht, zu welchen die gewéhnliche Sprache durch den Reich-
tum ihrer Verkniipfung verlockt. Der wichtigste Vorteil der
gewahliten Form ist aber dieser, dafs sie stets nur auf Vor-
bewiesenes sich beruft, niemals auf spiter zu erweisendes,
so dafs man der ganzen Kette sicher ist, wenn man beim Vor-

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42 Einleitung.

wartsschreiten nur jedes einzelne Glied geniigend prift. In
dieser Hinsicht habe ich den Pflichten dieser Art der Dar-
stellung mit Strenge zu geniigen gesucht. Im ibrigen ist es
selbstverstandlich, dafs die Form allein vor Irrtum und Uber-
sehen keinen Schutz gewahren kann und bitteich etwa eingeflossene
' Fehler nicht um des etwas anspruchsvollen Vortrags willen
strenger zu beurteilen. Ich hoffe, solche Fehler werden stets
verbesserungsfahig sein und daher keinen wesentlichen Punkt
betreffen. Bisweilen bin ich itbrigens bewulster Weise zur
Vermeidung allzu grofser Weitliufigkeit hinter der vollen
Scharfe zurtickgeblieben, welche die Darstellungsweise eigentlich
fordert. Es bedarf keiner besonderen Begriindung, dafs ich
den Betrachtungen der eigentlichen Mechanik, welche von
physikalischer Erfahrung abhingt, diejenigen Beziehungen
vorausgeschickt habe, welche allein Folge der gewahliten De-
finitionen und mathematischer Notwendigkeit sind, und welche,
wenn tiberhaupt, so doch jedenfalls in anderm Sinne als jene
mit der Erfahrung zusammenhingen. Nichts hindert tibrigens
den Leser, mit dem zweiten Buche zu beginnen. Die durch-
sichtige Analogie mit der Mechanik des einzelnen Punktes und
der bekannte Stoff werden ihn den Sinn der vorgetragenen
Satze leicht erraten lassen. Hat er der benutzten Redeweise
Zweckmilsigkeit zugebilligt, so ist immer noch Zeit, dafs er
sich aus dem ersten Buche von ihrer Zulissigkeit iiberzeuge.

Wenden wir uns jetzt der zweiten wesentlichen Forderung
zu, welcher unser Bild zu geniigen hat, so ist es zundchst
unzweifelhaft, dafs das System sehr viele natirliche Bewegungen
richtig darstellt. Allein nach den Anspriichen des Systems
geniigt dies nicht; es mufs als notwendige Erginzung die Be-
hauptung dahin erweitert werden, dafs das System alle natiir-
lichen Bewegungen ohne Ausnahme umfasse. Auch dies kann
man, denke ich, behaupten, wenigstens in dem Sinne, dafs
sich zur Zeit keine bestimmten Erscheinungen angeben lassen,
welche dem System nachweislich widersprachen. Es ist frei-
lich klar, dafs die Ausdehnung auf alle Erscheinungen einer
scharfen Priifung nicht zuginglich ist, dafs daher das System
tiber das Ergebnis sicherer Erfahrung ein wenig hinausgeht
und also den Charakter einer Hypothese trigt, welche ver-


[PDF-PAGE 79]
Finlettung. 48

suchsweise angenommen wird und auf plétzliche Widerlegung
durch ein einziges Beispiel oder allm&hliche Bestitigung durch
sehr viele Beispiele wartet. Vornehmlich sind es zwei Stellen,
an welchen ein Hinausgehen iiber sichere Erfahrung statt-
findet: Die eine betrifft unsere Beschrinkung der miglichen
Zusammenhinge, die andere betrifft die dynamische Erklérung
der Krafte. Mit welchem Rechte kénnen wir versichern, dafs
alle Zusammenhinge der Natur durch lineare Differential-
gleichungen erster Ordnung sich ausdriicken lassen? Diese
Annahme ist fiir uns nicht eine nebensichliche, welche wir
auch fallen lassen kénnten; mit ihr fiele unsere Mechanik;
denn es fragt sich, ob auf Verbindungen allgemeinster Art
unser Grundgesetz anwendbar bliebe. Und doch sind Ver-
bindungen allgemeinerer Art nicht nur vorstellbar, sie werden
auch in der gewéhnlichen Mechanik ohne Bedenken zugelassen.
Dort hindert uns nichts, die Bewegung eines Punktes zu unter-
suchen, dessen Bahn der einzigen Beschrinkung unterworfen
ist, dafs sie mit einer gegebenen Ebene einen gegebenen Winkel
bilde, oder dafs ihr Kriimmungshalbmesser bestandig einer
gegebenen anderen Linge proportional sei. Diese Bedingungen
fallen schon nicht mehr unter diejenigen, welche unsere Mechanik
zulifst. Woher nehmen wir aber die Gewifsheit, dafs sie auch
durch die Natur der Dinge ausgeschlossen seien? Wir kénnen
erwidern, dafs man vergeblich versuche, diese und &hnliche
Verbindungen durch ausfihrbare Mechanismen zu verwirk-
lichen und wir kénnen uns in dieser Ansicht auf die gewaltige
Autoritit von He~muoitz’s berufen. Aber in jedem Beispiel
kénnen Méglichkeiten tibersehen worden sein, und noch so
viele Beispiele wiirden nicht hinreichen, die allgemeine Be-
hauptung zu erweisen. Mit mehr Recht kénnen wir, wie mir
scheint, als Grund unserer Uberzeugung anfihren, dafs alle
Verbindungen eines Systems, welche aus dem Rahmen unserer
Mechanik heraustreten, in dem einen oder in dem andern
Sinne eine unstetige Aneinanderreihung seiner miglichen Be-
wegungen bedeuten wiirden, dafs es aber in der That eine
Erfahrung allgemeinster Art sei, dafs die Natur im Unendlich-
kleinen tiberall und in jedem Sinne Stetigkeit aufweise, eine
Erfahrung, die sich in dem alten Satze ,,natura non facit
saltus“, zu fester Uberzeugung verdichtet hat. Ich habe des-

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44 Einleitung.

halb auch im Texte Wert darauf gelegt, die zugelassenen Ver-
bindungen allein durch ihre Stetigkeit zu definieren, und ihre
Kigenschaft, sich durch Gleichungen bestimmter Form dar-
stellen zu lassen, erst aus jener abzuleiten. Eigentliche Sicher-
heit wird indessen auch so nicht erlangt. Denn die Unbestimmt-
heit jenes alten Satzes lifst es zweifelhaft erscheinen, ob die
Grenzen seiner berechtigten Tragweite hinreichend feststehen
und wieweit er tiberhaupt das Ergebnis wirklicher Erfahrung,
wieweit das Ergebnis willkiirlicher Voraussetzung ist. Am ge-
wissenhaftesten wird es daher sein, zuzugeben, dafs unsere
Annahme iiber die zulassigen Verbindungen den Charakter
einer versuchsweise angenommenen Hypothese trage. Ganz
ihnlich liegen die Dinge in betreff der dynamischen Erklirung
der Krafte. Wir kénnen allerdings zeigen, dafs gewisse Klassen
verborgener Bewegungen Krafte erzeugen, welche, wie die Fern-
krafte der Natur, sich mit beliebiger Annaherung als Ablei-
tungen von Kraftefunktionen darstellen lassen. Es stellt sich
auch heraus, dafs die Formen dieser Kriftefunktionen sehr
allgemeiner Natur sein kénnen und wir leiten in der That gar
keine Einschrinkungen derselben ab. Aber auf der anderen
Seite bleiben wir auch den Beweis schuldig, dafs sich jede
' beliebige Form der Kraftefunktionen erzielen lafst und es bleibt
daher die Frage offen, ob nicht etwa gerade eine der in der
Natur vorkommenden Formen einer solchen Erklérungsweise
sich entzieht. Es bleibt auch hier abzuwarten, ob die Zeit
unsere Annahme widerlegen oder durch das Ausbleiben einer
Widerlegung mehr und mehr wahrscheinlich machen wird. Ein
gutes Vorzeichen kénnen wir darin sehen, dafs die Ansicht
vieler ausgezeichneter Physiker sich der Hypothese immer
mehr zuneigt. Ich erinnere nochmals an die Wirbeltheorie
der Atome von Lord Kxtvin, welche uns ein Bild des mate-
riellen Weltganzen vorfihrt, wie es mit den Prinzipien unserer
Mechanik in vollem Kinklange ist. Und doch verlangt unsere
Mechanik keineswegs eine so grofse Hinfachheit und Beschran-
kung der Voraussetzungen, wie sie sich Lord Krnvin auferlegt
hat. Wir wirden unsere Grundsitze noch nicht verlassen,
wenn wir anniéhmen, dafs die Wirbel um starre oder um bieg-
same, aber unausdehnbare Kerne kreisten und auch das welt-
erfillende Medium kénnten wir anstatt der blofsen Inkom-


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Einleitung. 45

pressibilitat viel verwickelteren Bedingungen unterwerfen, deren
allgemeinste Form noch zu untersuchen wire. Es erscheint
also keineswegs ausgeschlossen, dafs wir mit den von unserer
Mechanik zugelassenen Hypothesen zur Erklarung der Er-
scheinungen auch ausreichen.

Einen Vorbehalt miissen wir indessen hier einschalten.
Es ist gewils eine gerechtfertigte Vorsicht, wenn wir im Texte
das Gebiet unserer Mechanik ausdriicklich beschranken auf die
unbelebte Natur und die Frage vollkommen offen lassen, wie
weit sich ihre Gesetze dariiber hinaus erstrecken. In Wahr-
heit liegt die Sache ja so, dafs wir weder behaupten kénnen,
dafs die inneren Vorgiinge der Lebewesen denselben Gesetzen
folgen, wie die Bewegungen der leblosen Kérper, noch auch
behaupten kénnen, dafs sie andern Gesetzen folgen. Der An-
schein aber und die gewdhnliche Meinung spricht fir einen
grundsatzlichen Unterschied. Und dasselbe Gefithl, welches
uns antreibt, aus der Mechanik der leblosen Welt jede An-
deutung einer Absicht, einer Empfindung, der Lust und des
Schmerzes, als fremdartig auszuscheiden, dasselbe Gefthl lafst
uns Bedenken tragen, unser Bild der belebten Welt dieser
reicheren und bunteren Vorstellungen zu berauben. Unser
Grundgesetz, vielleicht ausreichend die Bewegung der toten
Materie darzustellen, erscheint wenigstens der flichtigen
Schatzung zu einfach und zu beschriinkt, um die Mannigfaltig-
keit selbst des niedrigsten Lebensvorganges wiederzugeben.
Dafs dem so ist, scheint mir nicht ein Nachteil, sondern eher
ein Vorzug unseres Gesetzes. Eben weil es uns gestattet das
Ganze der Mechanik umfassend zu iiberblicken, zeigt es uns
auch die Grenzen dieses Ganzen. Eben weil es uns nur eine
Thatsache giebt, ohne derselben den Schein der Notwendigkeit
beizulegen, lafst es uns erkennen, dafs alles auch anders sein
kénnte. Vielleicht wird man solche Erérterungen an dieser
Stelle fir iiberfliissig halten. In der That ist man auch nicht
gewohnt, sie in der gewéhnlichen Darstellung der Mechanik
bei den Elementen behandelt zu sehen. Aber dort gewahrt
die véllige Unbestimmtheit der eingefithrten Krifte noch einen
weiten Spielraum. Man behilt sich stillschweigend vor, spiter
etwa, einen Gegensatz zwischen den Kriften der belebten und

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46 Einleitung.

‘der unbelebten Natur festzustellen. In unserer Darstellung
ist das betrachtete Bild von vornherein so scharf umrissen,
dafs sich nachtriglich kaum mehr tief eingreifende Einteilungen
werden vornehmen lassen. Wollen wir daher die aufgeworfene
Frage nicht tiberhaupt ignorieren, so miissen wir gleich im
Eingang Stellung zu derselben nehmen.

Uber die Zweckmilsigkeit unseres dritten Bildes kénnen
wir uns ziemlich kurz fassen. Wir kénnen aussagen, dals
dieselbe, wie der Inhalt des Buches zeigen soll, nach Deut-
lichkeit und Einfachheit etwa derjenigen gleichkommt, welche
wir dem zweiten Bilde zusprachen, und dafs wir dieselben
Vorziige, welche wir dort rihmten, auch hier hervorheben
kénnen. Allerdings ist der Umkreis der zugelassenen Méglich-
keiten hier nicht ganz so eng gezogen wie dort, da diejenigen
starren Verbindungen, deren Fehlen wir dort hervorhoben,
hier durch die Grundannahmen nicht ausgeschlossen sind.
Aber diese Erweiterung entspricht der Natur und ist daher
ein Vorzug; auch hindert sie nicht, die allgemeinen Kigen-
schaften der natiirlichen Krifte herzuleiten, in welchen die
Bedeutung des zweiten Bildes lag. Hinfachheit besteht hier
wie dort zunichst im Sinne der physikalischen Anwendung.
Auch hier kénnen wir unsere Betrachtung auf beliebige der
Beobachtung zugangliche Merkmale der materiellen Systeme
beschrénken, und aus ihren vergangenen Veriinderungen durch
Anwendung des Grundgesetzes die zukiinftigen ableiten, ohne
dafs wir ndtig hatten, die Lagen aller Einzelmassen des
Systems zu kennen und ohne dafs wir nétig hiatten, diese
Unkenntnis durch willkirliche, einflufslose und wahrscheinlich
falsche Hypothesen zu itiberdecken und zu bemanteln. Im
Gegensatz zum zweiten Bilde besitzt aber unser drittes Hin-
fachheit auch in dem Sinne, dafs sich seine Vorstellungen der
Natur so anschmiegen, dafs die wesentlichen Beziehungen der
Natur durch einfache Beziehungen zwischen den Begriffen
wiedergegeben werden. Das zeigt sich nicht nur im Grund-
gesetze selbst, sondern auch in den zahlreichen allgemeinen
Folgerungen desselben, welche den sogenannten Prinzipien
der Mechanik entsprechen. Es mufs allerdings zugegeben
werden, dafs diese Einfachheit nur eintritt, so lange wir es


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Einleitung. 47

mit vollstindig bekannten Systemen zu thun haben, und dafs
sie wieder verschwindet, sobald verborgene Massen sich ein-
mischen. Aber auch in diesen Fallen liegt dann der Grund
der Verwickelung klar auf der Hand; wir verstehen, dafs der
Verlust der Einfachheit nicht in der Natur, sondern in unserer
mangelhaften Kenntnis derselben beruht; wir begreifen, dafs
die eintretenden Komplikationen nicht allein eine migliche,
sondern die notwendige Folge unserer besonderen Voraus-
setzungen sind. Auch das mufs zugegeben werden, dafs die
Mitwirkung verborgener Massen, welche vom Standpunkte
unserer Mechanik aus der entlegene und besondere Fall ist,
dafs diese Mitwirkung gerade der gewéhnliche Fall der Pro-
bleme des taglichen Lebens und der Technik ist. Daher ist
es auch niitzlich, hier nochmals zu betonen, dafs wir von einer
Zweckmialsigkeit tiberhaupt nur geredet haben in einem beson-
deren Sinne, nimlich im Sinne eines Geistes, welcher ohne
Ricksicht auf die zufillige Stellung des Menschen in der Natur
das Ganze unserer physikalischen Erkenntnis objectiv zu um-
fassen und in einfacher Weise darzustellen sucht; dafs wir
aber keineswegs redeten von einer Zweckmilsigkeit im Sinne
der praktischen Anwendung und der Bediirfnisse des Menschen.
In betreff dieser letzteren kann die fir sie ausdricklich
erdachte gewohnliche Darstellung der Mechanik wohl niemals
durch eine zweckmilsigere ersetzt werden. Zu dieser Dar-
stellung verhalt sich die von uns hier vorgefiihrte etwa wie
die systematische Grammatik einer Sprache zu einer Gram-
matik, welche den Lernenden méglichst bald erlauben soll,
sich tiber die Notwendigkeiten des tiglichen Lebens zu ver-
standigen. Man weifs wie verschieden die Anforderungen an
beide sind und wie verschieden ihre Anordnungen ausfallen
miissen, wenn beide ihrem Zweck so genau wie miglich ent-
sprechen sollen.

[PDF-PAGE 84]
48 Finleitung.

Blicken wir zum Schlusse noch einmal zuriick auf die
drei Bilder der Mechanik, welche wir vorgefthrt haben und
suchen wir einen letzten uud endgiiltigen Vergleich zwischen
ihnen anzustellen. Das zweite Bild lassen wir nach dem, was
wir gesagt haben, fallen. Das erste und dritte Bild wollen
wir gleichstellen in Bezug auf die Zulissigkeit, indem wir an-
nehmen, dafs dem ersten Bilde eine in logischer Hinsicht voll-
standig befriedigende Gestalt gegeben sei, wie wir ange-
nommen haben, dafs sie gegeben werden kénne. Wir wollen
beide Bilder auch gleichstellen in Bezug auf die Zweckmalsig-
keit, indem wir annehmen, dafs man das erste Bild durch
geeignete Zusatze erginzt habe und indem wir annehmen, dafs
die nach verschiedener Richtung gehenden Vorziige einander
das Gleichgewicht halten. Dann bleibt als einziger Wert-
mafsstab die Richtigkeit der Bilder, welche durch die Gewalt
der Dinge bestimmt ist, und welche nicht in unserer Willkir
liegt. Und hier machen wir nun die wichtige Bemerkung, dafs
nur das eine oder das andere jener Bilder, nicht aber beide
gleichzeitig richtig sem kénnen. Denn suchen wir die wesent-
lichen Beziehungen beider Darstellungen auf ihren kirzesten
Ausdruck zu bringen, so kénnen wir sagen: Das erste Bild
nehme als letzte konstante Elemente in der Natur die relativen
Beschleunigungen der Massen gegen einander an, aus diesen
leite sie gelegentlich angenihert, aber auch nur angenihert feste
Verhiltnisse zwischen den Lagen ab. Das dritte Bild aber
nehme als die streng unverinderlichen Elemente der Natur
feste Verhiltnisse zwischen den Lagen an, aus diesen leite sie,
wo die Erscheinungen es erfordern, angenahert, aber auch nur
angenihert unverinderliche relative Beschleunigungen zwischen
den Massen her. Kénnten wir nun die Bewegungen der Natur
nur genau genug erkennen, so wiifsten wir sogleich, ob in
ihnen die relative Beschleunigung oder ob die relativen Lagen-
verhiltnisse der Massen oder ob beide nur angenihert unver-
anderlich sind. Wir wiifsten dann auch sogleich, welche von
unseren beiden Annahmen falsch ist oder ob beide falsch
sind, denn richtig kénnen nicht beide gleichzeitig sein. Die
gréfste Einfachheit steht auf seiten des dritten Bildes. Was
uns zwingt, gleichwohl zunichst zu Gunsten des ersten zu


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Einleitung. 49

entscheiden, igt der Umstand, dafs wir wirklich in den Fern-
kraften relative Beschleunigungen aufweisen kénnen, welche
bis an die Grenze unserer Beobachtung unverinderlich scheinen,
wahrend alle festen Verbindungen zwischen den Lagen der
greifbaren Kérper schon innerhalb der Wahrnehmung unserer
Sinne sich schnell nur angendhert als konstant erweisen. Aber
dies Verhiltnis andert sich zu Gunsten des dritten Bildes,
sobald die verfeinerte Erkenntnis uns etwa zeigt, dafs die
Annahme unveranderlicher Fernkriéfte nur eine erste An-
naherung an die Wahrheit liefert, welcher Fall in dem Ge-
biete der elektrischen und magnetischen Krafte bereits ein-
getreten ist. Und die Wage schlagt vollends fiber zu Gunsten
des dritten Bildes, sobald eine zweite Annaherung an die
Wahrheit dadurch erzielt werden kann, dafs man die vermeint-
liche Wirkung der Fernkrafte zuriickfihrt auf Bewegungsvor-
gange in einem raumerfillenden Mittel, dessen kleinste Teile
starren Verbindungen unterliegen, ein Fall der gleichfalls in
dem erwihnten Gebiete nahezu verwirklicht erscheint. Hier
also liegt das Feld, auf welchem auch der Entscheidungskampf
zwischen den verschiedenen von uns betrachteten Grund-
annahmen der Mechanik ausgefochten werden muls. Die
Entscheidung selbst aber setzt voraus, dafs vorher die vor-
handenen Méglichkeiten nach allen Richtungen hin griindlich
erwogen seien. Sie nach einer besonderen Richtung zu ent-
wickeln, ist der Zweck der vorliegenden Arbeit. Diese Arbeit
ist also notwendig gewesen, auch wenn es noch lange dauern
sollte, bis eine Entscheidung miglich ist, und auch dann, wenn
diese Entscheidung schliefslich zu Ungunsten des hier ausfihr-
lich entwickelten Bildes ausfallen sollte.

Hertz, Mechanik. 4

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ERSTES BUCH.

ZUR GEOMETRIE UND KINEMATIK
DER MATERTELLEN SYSTEME.

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Vorbemerkung. Den Uberlegungen des ersten Buches 1
bleibt die Erfahrung véllig fremd. Alle vorgetragenen Aus-
sagen sind Urteile a priori im Sinne Kant’s. Sie beruhen auf
den Gesetzen der inneren Anschauung und den Formen der
eigenen Logik des Aussagenden und haben mit der dufseren
Erfahrung desselben keinen anderen Zusammenhang, als ihn
diese Anschauungen und Formen etwa haben.

Abschnitt 1. Zeit, Raum, Masse.

Erlauterung. Die Zeit des ersten Buches ist die Zeit 2
unserer inneren Anschauung. Sie ist daher eine Grifse, von
deren Anderung die Anderungen der iibrigen betrachteten
Gréfsen abhingig gedacht werden kénnen, wahrend sie selbst
stets unabhingig verinderlich ist.

Der Raum des ersten Buches ist der Raum unserer Vor-
stellung. Er ist also der Raum der Evuxim’schen Geometrie
mit allen Higenschaften, welche diese Geometrie ihm zuspricht.
Es ist gleichgiiltig fir uns, ob man diese Higenschaften an-
sieht als gegeben durch die Gesetze der inneren Anschauung,
oder als denknotwendige’ Folgen willkirlicher Definitionen.

Die Masse des ersten Buches wird eingefihrt durch eine
Definition.

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54 Erstes Buch.

Definition 1. Ein Massenteilchen ist ein Merkmal, durch
welches wir einen bestimmten Punkt des Raumes zu einer
gegebenen Zeit eindeutig zuordnen einem bestimmten Punkte
des Raumes zu jeder anderen Zeit.

Jedes Massenteilchen ist unverinderlich und unzerstir-
bar. Die durch dasselbe Massenteilchen gekennzeichneten
Punkte des Raumes zu zwei verschiedenen Zeiten fallen zu-
sammen, wenn die Zeiten zusammenfallen. Diese Bestim-
mungen sind bereits in der Definition enthalten, wenn deren
Wortlaut richtig gefafst wird.

Definition 2. Die Zahl der Massenteilchen in einem
beliebigen Raume, verglichen mit der Zahl der Massenteilchen,
welche sich in einem festgesetzten Raume zu festgesetzter Zeit
finden, heifst die in dem ersteren Raume enthaltene Masse.

Die Zahl der Massenteilchen in dem Vergleichsraume kann
und soll unendlich grofs gewihlt werden. Die Masse des ein-
zelnen Massenteilchens wird alsdann nach der Definition un-
endlich klein. Die Masse in einem beliebigen Raume kann
daher jeden rationalen oder irrationalen Wert annehmen.

Definition 3. Eine endliche oder unendlich kleine Masse,
vorgestellt in einem unendlich kleinen Raume, heifst ein mate-
rieller Punkt.

Ein materieller Punkt besteht also aus einer beliebigen
Anzahl mit einander verbundener Massenteilchen. Diese Zahl
soll stets unendlich grofs sein, was dadurch erreicht werden
kann, dafs wir uns die Massenteilchen von héherer Ordnung
unendlich klein denken, als die etwa betrachteten materiellen
Punkte von verschwindender Masse. Die Massen der mate-
riellen Punkte, insbesondere auch die Massen der unendlich
kleinen materiellen Punkte kénnen darnach in jedem beliebigen
rationalen oder irrationalen Verhdltnis zu einander stehen.

Definition 4. Eine Anzahl gleichzeitig betrachteter ma-
terieller Punkte heifst ein System materieller Punkte, oder
kurz ein System. Die Summe der Massen der einzelnen Punkte
ist nach 4 die Masse des Systems.

Ein endliches System besteht also aus einer endlichen
Zahl endlicher oder aus einer unendlichen Anzahl unendlich


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Lage der Punkte und Systeme. 55

kleiner materieller Punkte oder aus beiden. Stets ist es er-
laubt, das System materieller Punkte anzusehen als zusammen-
gesetzt aus einer unendlichen Anzahl von Massenteilchen.

Anmerkung 1. Im folgenden werden wir das endliche
System stets behandeln als bestehend aus einer endlichen Zahl
endlicher materieller Punkte. Da wir aber keine obere Grenze
festsetzen fiir die Zahl derselben und keine untere fir ihre
Masse, so umfassen unsere allgemeinen Aussagen als besonderen
Fall auch den Fall, dafs das System unendlich viele unendlich
kleine materielle Punkte enthalt. Auf die Besonderheiten,
welche die analytische Behandlung dieses Falles nétig macht,
werden wir indessen nicht eingehen.

Anmerkung 2. Der materielle Punkt kann angesehen
werden als ein besonderer Fall und als das einfachste Bei-
spiel eines Systems materieller Punkte.

Abschnitt 2. Lagen und Verrtickungen der Punkte
und Systeme.

Lage.

Definition 1. Der Punkt des Raumes, welcher durch
ein gewisses Massenteilchen zu einer gewissen Zeit gekenn-
zeichnet ist, wird die Lage des Massenteilchens zu jener Zeit
genannt. Lage eines materiellen Punktes heifst die gemein-
same Lage seiner Massenteilchen.

Definition 2. Die gleichzeitig vorgestellte Gesamtheit
der Lagen aller Punkte eines Systems heifst die Lage des
Systems.

Definition 3. Jede beliebige Lage eines materiellen
Punktes im unendlichen Raume heifst eine geometrisch denk-

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56 ‘ Erstes Buch.

bare oder kurz eine denkbare Lage des Punktes. Die Gesamt-
heit irgend welcher denkbaren Lagen der Punkte eines Systems
heifst eine denkbare Lage des Systems.

Zu einer jeden Zeit kénnen sich unterscheiden zwei Massen-
teilchen durch ihre Lage, zwei materielle Punkte durch ihre
Masse und ihre Lage, zwei Systeme materieller Punkte durch
Zahl, Masse und Lage ihrer Punkte. Nach anderen Rich-
tungen als diesen aber kénnen sich auf Grund unserer bis-
herigen Definitionen Massenteilchen, materielle Punkte, Systeme
materieller Punkte nicht unterscheiden.

Analytische Darstellung der Lage. a) des Punktes.
Die Lage eines materiellen Punktes kann analytisch dargestellt

’ werden durch die Angabe der drei rechtwinklig-geradlinigen

cartesischen Koordinaten desselben in Bezug auf ein ruhendes,
festes Axensystem. Diese Koordinaten sollen dauernd mit
2,2,2x, bezeichnet werden. Jeder denkbaren Lage des Punktes
entspricht ein eindeutig bestimmtes Wertsystem dieser Koordi-
naten, und umgekehrt jedem willktrlich gewahlten Wertsystem
der Koordinaten eine eindeutig bestimmte denkbare Lage des
Punktes.

Anstatt durch seine rechtwinkligen Koordinaten kann die
Lage eines Punktes auch bestimmt werden durch irgend welche
rGréfsen p,...pp--+Pr, sobald durch Ubereinkunft bestimmte
Wertsysteme dieser Griéfsen bestimmten Lagen stetig zuge-
ordnet sind und umgekehrt. Die rechtwinkligen Koordinaten
sind alsdann Funktionen dieser Gréfsen, und umgekehrt. Die
Gréfsen p, bezeichnen wir als allgemeine Koordinaten des
Punktes. Ist r > 3, so miissen zwischen den p, aus geome-
trischen Griinden r — 3 Gleichungen bestehen, welche gestatten,
die p, als Funktionen dreier unabhangiger Groéfsen, z. B. der
2,2,2,, darzustellen. Es soll indessen eine Abhingigkeit der
Koordinaten von einander aus rein geometrischen Griinden aus-
geschlossen sein, und deshalb stets vorausgesetzt werden, dafs
r=8 sei. Ist r < 3, so werden nicht alle denkbaren Lagen
des Punktes durch Wertsysteme der p, dargestellt, sondern
nur ein Teil derselben. Die durch die p, nicht dargestellten
Lagen sollen bei Benutzung der p, dadurch selbst als von der
Betrachtung ausgeschlossen gelten.


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Konfiguration und absolute Lage. 57

Analytische Darstellung. b) des Systems. Die Lage
eines Systems von  materiellen Punkten kann analytisch dar-
gestellt werden durch Angabe der 3n rechtwinkligen Koor-
dinaten der Punkte des Systems. Diese Koordinaten sollen
dauernd bezeichnet werden mit z,...2,...2g,, wobei 2, 2,2,
die Koordinaten des ersten Punktes, 23,2 23,1 23, die ent-
sprechend gerichteten Koordinaten des uten Punktes bedeuten
mégen. Diese 3n Koordinaten x, bezeichnen wir auch kurz
als die rechtwinkligen Koordinaten des Systems. Jeder denk-
baren Lage des Systems entspricht ein eindeutig bestimmtes
Wertsystem seiner rechtwinkligen Koordinaten, und umgekehrt
jedem willkirlich gewahlten Wertsystem der z, eine eindeutig
bestimmte denkbare Lage des Systems. _

Anstatt durch die rechtwinkligen Koordinaten kénnen wir
die Lage eines Systems auch bestimmen durch irgendwelche
rGréfsen p,...po...pr, sobald durch Ubereinkunft bestimmte
Wertsysteme dieser Gréfsen bestimmten Lagen stetig zuge-
ordnet sind und umgekehrt. Die rechtwinkligen Koordinaten
sind dadurch Funktionen dieser Gréfsen, und umgekehrt. Die
Gréfsen p, bezeichnen wir als allgemeine Koordinaten des
Systems. Ist r > 3n, so miissen zwischen den p, ‘aus geome-
trischen Griinden r— 3n Gleichungen bestehen. Wir wollen
indessen ausschliefsen, dafs zwischen den Koordinaten aus
rein geometrischen Griinden eine Abhingigkeit bestehe, und
es sei daher stets r=3n. Ist r< 3n, so werden nicht alle
denkbaren Lagen des Systems durch Wertsysteme der p, dar-
gestellt, sondern nur ein Teil derselben. Die durch die p,
nicht dargestellten Lagen sollen bei Benutzung der Koordi-
naten p, dadurch selbst als von der Betrachtung ausgeschlossen
gelten.

Konfiguration und absolute Lage.

Definition 1. Die.Gesamtheit der gegenseitigen Lagen
der Punkte eines Systems heifst die Konfiguration des Systems.

Die Konfiguration des Systems und die absolute Lage der
Konfiguration im Raume bestimmen zusammen die Lage des
Systems.

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58 Prstes Buch.

Definition 2. Konfigurationskoordinate nennen wir jede
Koordinate des Systems, deren Wert nicht gedndert werden
kann, ohne dafs dadurch die Konfiguration des Systems sich
anderte.

Ob eine bestimmte Koordinate Konfigurationskoordinate
ist oder nicht, hingt also nicht ab von der Wahl der iibrigen
gleichzeitig benutzten Koordinaten.

Definition 8. Koordinate der absoluten Lage heifst jede
Koordinate des Systems, durch deren Anderung die Kon-
figuration nicht geéndert werden kann, solange die ibrigen
Koordinaten des Systems sich nicht andern.

Ob eine bestimmte Koordinate Koordinate der absoluten
Lage ist oder nicht, hangt also ab von der Wahl der iibrigen
gleichzeitig benutzten Koordinaten.

Folgerungen.

1. Kine Koordinate kann nicht zugleich Konfigurations-
koordinate und Koordinate der absoluten Lage sein. Dagegen
kann und wird im allgemeinen eine beliebig herausgegriffene
Koordinate weder Konfigurationskoordinate noch auch Koor-
dinate der absoluten Lage sein.

2. Sobald n> 8, kénnen 3n von einander unabhingige
Koordinaten aller Lagen auf mannigfaltige Art so gewahlt
werden, dafs sich unter ihnen bis zu 3n—6 Konfigurations-
koordinaten finden, aber auf keine Weise so, dafs sich mehr
als 3n—6 Konfigurationskoordinaten unter ihnen finden.

Denn wihlen wir unter die Koordinaten die 3 Abstiinde
dreier beliebiger Punkte des Systems von einander und die
3(n— 38) Abstiinde der iibrigen von jenen, so haben wir
bereits 3n— 6 Konfigurationskoordinaten, und je 3n— 6 ver-
schiedene Funktionen jener Abstinde werden ebenfalls 3n —6
Konfigurationskoordinaten des Systems sein. Weniger Kon-
figurationskoordinaten kénnen vorhanden sein; denn es sind
z. B. gar keine vorhanden, wenn wir die 3n rechtwinkligen
Koordinaten benutzen. Mehr Konfigurationskoordinaten aber
kénnen sich unter unabhangigen Koordinaten nicht finden;


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Konfiguration und absolute Lage. 59

denn wiren unter beliebigen Koordinaten mehr als 3n—6
Konfigurationskoordinaten vorhanden, so liefsen sich die letz-
teren als Funktionen jener 3n—6 Abstinde darstellen, waren
also nicht von einander unabhingig.

8. Sobald n> 8, kénnen 3n unabhangige Koordinaten
aller denkbaren Lagen eines Systems auf mannigfaltige Art
so gewahlt werden, dafs sich unter ihnen bis zu 6, aber nicht
mehr als 6 Koordinaten der absoluten Lage finden.

Denn wahlen wir die Koordinaten so, dafs sich unter
ihnen 3n—6 Konfigurationskoordinaten finden, und figen
hinzu 6 beliebige Koordinaten, etwa 6 der rechtwinkligen
Koordinaten des Systems, so sind die letzteren eo ipso Koor-
dinaten der absoluten Lage, da keine Anderung derselben die
Konfiguration andert, solange die iibrigen festgehalten werden.
Weniger als 6 Koordinaten der absoluten Lage kénnen vor-
handen sein; denn es sind z. B. keine vorhanden, wenn wir
die rechtwinkligen Koordinaten des Systems benutzen. Mehr
als 6 aber kénnen nicht vorhanden sein; denn waren fir eine
bestimmte Wahl der Koordinaten mehr vorhanden, so waren
alle denkbaren Konfigurationen bestimmt durch die ibrigen
weniger als 3n—6 Koordinaten, es liefsen sich also fir das
System iiberhaupt nicht 3n—6 von einander unabhingige Kon-
figurationskoordinaten angeben, was gegen Folgerung 2 wire.

4. Sind 8n unabhingige Koordinaten eines Systems
von nz Punkten so gewdhlt, dafs sich unter ihnen 3x — 6 Kon-
figurationskoordinaten finden, so sind die ibrigen 6 notwendig
Koordinaten der absoluten Lage. Sind jene 3n Koordinaten
so gewahlt, dafs sich unter ihnen 6 Koordinaten der absoluten
Lage finden, so sind die tibrigen 3n— 6 notwendig Konfigu-
rationskoordinaten.

Denn fande sich unter den letzteren 3n — 6 Koordinaten
auch nur eine, welche gedndert werden kénnte ohne die Kon-
figuration zu andern, so wire die absolute Lage der Konfigu-
ration bestimmt durch mehr als 6 unabhiangige Koordinaten,
was nicht méglich.

5. Als Koordinate der absoluten Lage kann jede Grifse
benutzt werden, deren Anderung eine Anderung in der Lage

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