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Heinrich Hertz — Die Prinzipien der Mechanik

Heinrich Hertz, Die Prinzipien der Mechanik in neuem Zusammenhange dargestellt. Mit einem Vorworte von H. v. Helmholtz. Leipzig: Johann Ambrosius Barth, 1894. Quelle: resources/Heinrich Hertz - Die Prinzipien der Mechanik.pdf (Google-Books-Scan, 352 Seiten). Konvertierung: tesseract (englisches Sprachmodell, da kein deutsches installiert; Antiqua-Text). Nur PDF-Seiten 1–95 OCR-erfasst — das deckt das gesamte Wittgenstein-relevante Material ab (Helmholtz-Vorwort, Hertz-Vorrede, Einleitung). Der mechanische Hauptteil (PDF-Seiten 95–352) ist nicht erfasst.

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[PDF-PAGE 13] Vorwort von H. v. Helmholtz.

Am 1, Januar 1894 starb Hemwricn Hertz. Fir alle, die den Fortschritt der Menschheit in der miéglichst breiten Ent- wickelung ihrer geistigen Fahigkeiten und in der Herrschaft des Geistes iiber die natiirlichen Leidenschaften wie tiber die widerstrebenden Naturkrafte zu sehen gewohnt sind, war die Nachricht vom Tode dieses bevorzugten Lieblings des Genius eine tief erschiitternde. Durch seltenste Gaben des Geistes und Charakters begiinstigt, hat er in seinem leider so kurzen Leben eine Fiille fast unverhofiter Friichte geerntet, um deren Gewinnung sich wahrend des vorausgehenden Jahrhunderts viele von den begabtesten seiner Fachgenossen vergebens be- miht haben. — In alter, klassischer Zeit wirde man gesagt haben, er sei dem Neide der Gétter zum Opfer gefallen. Hier schienen Natur und Schicksal in ganz ungewéhnlicher Weise die Entwickelung eines Menschengeistes begiinstigt zu haben, der alle zur Lésung der schwierigsten Probleme der Wissen- schaft erforderlichen Anlagen in sich vereinigte. Es war ein Geist, der ebenso der héchsten Scharfe und Klarheit des

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logischen Denkens fahig war, wie der gréfsten Aufmerksamkeit in der Beobachtung unscheinbarer Phainomene. Der unein- geweihte Beobachter geht an solchen leicht vortiber, ohne auf sie zu achten; dem schirferen Blicke aber zeigen sie den Weg an, durch den er in neue unbekannte Tiefen der Natur ein- zudringen vermag.

Hemearico Hurrz schien pridestiniert zu sein, der Mensch- heit solche neue Hinsicht in viele bisher verborgene Tiefen der Natur zu erschliefsen, aber alle diese Hoffnungen scheiterten an der ttickischen Krankheit, die, langsam und unaufhaltsam vorwarts schleichend, dieses der Menschheit so kostbare Leben vernichtete und alle darauf gesetzten Hoffnungen grausam zerstérte. ,

Ich selbst habe diesen Schmerz tief empfunden, denn unter allen Schiilern, die ich gehabt habe, durfte ich Hzetz immer als denjenigen betrachten, der sich am tiefsten in meinen eigenen Kreis von wissenschaftlichen Gedanken eingelebt hatte, ‘und auf den ich die sichersten Hoffnungen fir ihre weitere Entwickelung und Bereicherung glaubte setzen zu diirfen.

Hemeicu Rupotr Hertz ward am 22. Februar 1857 in Hamburg als Altester Sohn des damaligen Rechtsanwalts, spiiteren Senators Dr. Hertz geboren. Nachdem er bis zu seiner Konfirmation den Unterricht in einer der stidtischen Biargerschulen erhalten hatte, trat er nach einem Jahre hius- licher Vorbereitung fiir héher reichende Studien in die Ge- lehrtenschule seiner Vaterstadt, das Johanneum, ein und ver- liefs dieselbe 1875 mit dem Zeugnis der Reife. Er gewann schon als Knabe die Anerkennung seiner Eltern und Lehrer wegen seines ungewdhnlich regen Pflichtgeftihls. Die Art. seiner Begabung zeigte sich schon friith dadurch, dafs er aus eigenem Antriebe neben seinen Schulfaichern mechanische Ar- beiten an der Hobel- und Drehbank betrieb, daneben Sonntags die Gewerbeschule besuchte, um sich im geometrischen Zeichnen zu tiben, und sich mit den einfachsten Hilfsmitteln brauch- bare Instrumente optischer und mechanischer Art zu erbauen bestrebte..

Als er nach Beendigung seines Schulkursus sich zu der

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Wahl eines Berufs entschliefsen mufste, wihlte er den des Ingenieurs. Es scheint, dafs die auch in spiteren Jahren als ein charakteristischer Grundzug seines Wesens hervor- tretende Bescheidenheit ihn an seiner Begabung fir theore- tische Wissenschaft zweifeln liefs, und dafs er sich bei der Beschiftigung mit seinen geliebten mechanischen Arbeiten des Erfolges sicherer fiihlte, weil er. deren Tragweite schon damals ausreichend verstand. Vielleicht hat ihn auch die in seiner Vaterstadt herrschende, mehr dem Praktischen zugeneigte Sinnesweise beeinflufst. Ubrigens beobachtet man nicht selten diese Art zaghafter Bescheidenheit gerade bei jungen Leuten _ von hervorragenden Anlagen. Sie haben wohl eine deutliche Vorstellung von den Schwierigkeiten, die vor der Erreichung des ihnen vorschwebenden hohen Zieles zu tiberwinden sind, und miissen ihre Krafte erst praktisch erprobt haben, ehe sie das zu ihrem schweren Werke nétige Selbstvertrauen ge- winnen. Aber auch in ihrer spateren Entwickelung pflegen reich veranlagte Naturen um so unzufriedener mit ihren eigenen Werken zu sein je héher ihre Fahigkeiten und ihre Ideale reichen. Die Begabtesten erreichen offenbar nur des- halb das Hichste, weil sie am empfindlichsten gegen jede Un- vollkommenheit sind, und am wunermiidlichsten an deren Beseitigung arbeiten.

Volle zwei Jahre dauerte bei Hemeice Hertz dieses Stadium des Zweifels. Dann entschlofs er sich im Herbst 1877 zur akademischen Laufbahn, da er bei reifenden Kenntnissen sich innerlich iiberzeugte, dafs er nur in wissenschaftlicher Ar- beit dauernde Befriedigung finden wirde. Der Herbst 1878 fihrte ihn nach Berlin, wo ich ihn zuerst als Praktikanten in dem von mir geleiteten physikalischen Laboratorium der Uni- versitit kennen lernte. Schon wahrend er die elementaren Ubungsarbeiten durchfihrte, sah ich, dafs ich es hier mit einem Schiller von ganz ungewdhnlicher Begabung zu thun hatte, und da mir am Ende des Sommersemesters die Aufgabe zu- fiel, das Thema zu einer physikalischen Preisarbeit fir die © Studierenden vorzuschlagen, wahlte ich eine Frage aus der Elektrodynamik, in der sicheren, nachher auch bestitigten —

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Voraussetzung, dafs Hertz sich dafiir interessieren und sie mit Erfolg angreifen werde.

Die Gesetze der Elektrodynamik wurden damals in Deutsch- land noch von der Mehrzahl der Physiker aus der Hypothese von W. Wesee hergeleitet, welche die elektrischen und mag- netischen Erscheinungen auf eine Modifikation der NEwrton’- schen Annahme von unmittelbar und geradlinig in die Ferne wirkenden Krafte zuriickzufiihren suchte. Die Abnahme der betreffenden Krafte in der Ferne sollte demselben Gesetze wie die von NEwron angenommene Gravitationskraft und die von Covutoms zwischen je zwei elektrisierten Massenpunkten gemessene scheinbare Fernkraft folgen, es sollte namlich die Intensitat der Kraft dem Quadrate des Abstandes der auf einander wirkenden elektrischen Quanta umgekehrt, dem Pro- dukte der beiden Quanta aber direkt proportional sein, und zwar mit abstofsender Wirkung zwischen gleichnamigen, an- ziehender zwischen vungleichnamigen Mengen. Ubrigens wurde in Weser’s Hypothese die Ausbreitung dieser Kraft durch den unendlichen Raum als augenblicklich und mit un- endlicher Geschwindigkeit erfolgend vorausgesetzt. Der ein- zige Unterschied zwischen W. Wxsrr’s Annahme und der von Covitoms bestand darin, dafs Wrsrr voraussetzte, auch die Geschwindigkeit, mit der sich die beiden elektrischen Quanta einander naherten oder von einander entfernten, und auch die Beschleunigungen dieser Geschwindigkeiten kénnten einen Einflufs auf die Gréfse der Kraft zwischen den beiden elek- trischen Mengen haben. Neben dieser Wxsur’schen Hypo- these bestanden noch eine Reihe 4hnlicher anderer, die alle das Gemeinsame hatten, dafs sie die Gréfse der CouLoms’schen Kraft noch durch den Kinflufs irgend einer Komponente der Geschwindigkeit der bewegten elektrischen Quanta modifiziert ansahen. Solche Hypothesen waren von F’.E. NevMANN, von dessen Sohne C. Neumann, von Riemann, Grossmann, spiter von Cuavsrus aufgestellt worden. Magnetisierte Molekeln galten als Achsen elektrischer Kreisstréme, nach einer schon von AmM- PrRE aufgefundenen Analogie ihrer nach aufsen gerichteten Wirkungen.

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Diese bunte Blumenlese von Annahmen war in ihren Folger- ungen sehr wenig iibersichtlich und erforderte zu ihrer Ab- leitung verwickelte Rechnungen, Zerlegungen der Einzelkrifte in ihre verschieden gerichteten Komponenten u.s.w. So war! das Gebiet der Elektrodynamik um jene Zeit zu einer un-| wegsamen Wiiste geworden. Beobachtete Thatsachen und | Folgerungen aus hichst zweifelhaften Theorien liefen ohne sichere Grenze durcheinander. In dem Streben, dieses Wirrsal tibersehen zu lernen, hatte ich es tibernommen, das Gebiet der Elektrodynamik, so weit ich sah, zu klaren, und die. unterscheidenden Folgerungen der verschiedenen Theorien auf- zusuchen, um wo mdglich durch passend angestellte Versuche zwischen ihnen zu entscheiden.

Es ergab sich daraus folgendes allgemeine Resultat: Alle Erscheinungen, die vollkommen geschlossene Stréme bei ihrer Zirkulation durch in sich zuriicklaufende metallische Leitungskreise hervorrufen und die die gemeinsame Higentiim- lichkeit haben, dafs es, wahrend sie fliefsen, zu keiner erheb- lichen Verainderung der in einzelnen Teilen des Leiters angesammelten elektrischen Ladungen kommt, liefsen sich aus allen den genannten Hypothesen gleich gut ableiten. Ihre Folgerungen stimmten sowohl mit Ampzre’s Gesetzen der elektromagnetischen Wirkungen, wie mit den von Fanra- pay und Lenz entdeckten und von F. E. Neumann verallge- meinerten Gesetzen der induzierten elektrischen Stréme wohl tiberein. In wunvollstiindig geschlossenen leitenden Kreisen dagegen fihrten die verschiedenen oben genannten Hypothesen zu wesentlich verschiedenen Folgerungen. Die erwahnte gute Ubereinstimmung aller der verschiedenen damaligen Theorien mit den an vollstandig geschlossenen Strémungen beobachteten Thatsachen erklirt sich leicht daraus, dafs man geschlossene Stréme beliebig lange Zeit und in beliebiger Starke unterhalten kann, jedenfalls lange genug, dafs die von ihnen ausgeiibten Krifte volle Zeit haben, ihre Wirkungen sichtbar zu entfalten, dafs deshalb die thatséchlichen Wirkungen solcher Stréme und ihre Gesetze wohlbekannt und genau ermittelt waren. Daher wiirde jede Abweichung einer neu aufgestellten Theorie von

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irgend einer der bekannten Thatsachen dieses wohl durch- gearbeiteten Gebietes schnell aufgefallen und zur Widerlegung der Theorie benutzt worden sein.

Dagegen sammeln sich an den offenen Enden ungeschlossener Leiter, wo sich isolierende Massen zwischen diese Enden ein- schieben, durch jede elektrische Bewegung lings der Linge des Leiters sogleich elektrische Ladungen an, herrihrend von der gegen das Ende des Leiters hindrangenden Elektricitit, die ibrén Weg durch den Isolator nicht fortsetzen kann. Hine aufser- ordentlich kurze Dauer der Strémung geniigt in einem solchen Falle, um die abstofsende Kraft der am Ende angehiuften Elektricitét gegen die gleichnamige nachdringende so hoch zu steigern, dafs diese in ihrer Bewegung vollstandig gehemmt wird, wonach zunichst das weitere Zustrémen aufhért und nach momentaner Ruhe dann ein schnelles Zuriickdriingen der angesammelten Elektricitaét folgt.

Es war fiir jeden Kenner der thats&chlichen Verhiltnisse zu jener Zeit klar, dafs sich das vollkommene Verstaéndnis der Theorie der elektromagnetischen Erscheinungen nur durch die genaue Untersuchung der Vorginge bei diesen sehr schnell voriibergehenden ungeschlossenen Strémen werde gewinnen lassen. W. Weser hatte versucht, gewisse Schwierigkeiten seiner elektrodynamischen Hypothese zu beseitigen oder zu vermindern dadurch, dafs er sich auf die Méglichkeit berufen, die Elektricitit kénne einen gewissen Grad von Beharrungs- vermégen haben, wie es den schweren Kérpern zukomme. Scheinbar zeigen bei Schliefsung und Unterbrechung jedes Stromes sich Wirkungen, die den Anschein eines Beharrungs- vermégens der Elektricitaét vortiuschen. Diese rihren aber von der sogenannten elektrodynamischen Induktion d. h. von einer gegenseitigen Kinwirkung nahe gelegener Stromleiter auf einander her und sind in ihren Gesetzen seit Farapay wohl- bekannt. Wahres Beharrungsvermégen miifste nur der Masse der bewegten Elektricitét proportional sein, ohne von der Lage des Leiters abzuhingen. Wenn etwas derart existierte, miif{ste es sich durch eine Verlangsamung der oscillierenden Bewegungen der Elektricitiét zu erkennen geben, wie sie nach jahen Unter-

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brechungen elektrischer Stréme in gut leitenden Drahten sich zeigen. Auf diesem Wege liefs sich die Bestimmung einer oberen Grenze fiir den Wert dieses Beharrungsvermigens er- warten, und deshalb stellte ich die Aufgabe, iiber die Grilfse von Extrastrémen Versuche auszufihren. Aus diesen sollte wenigstens eine obere Grenze fir die bewegte Masse fest- gestellt werden. Es waren schon in der Aufgabe, als zu diesen Versuchen besonders geeignet erscheinend, Extrastréme aus doppeltdrahtigen Spiralen vorgeschlagen, deren Zweige in ent- gegengesetzter Richtung durchflossen waren. In der Liésung dieser Aufgabe bestand die erste gréfsere Arbeit von Hemricu Hertz. Er giebt darin eine pricise Antwort auf die gestellte Frage und zeigt, dafs hiéchstens 1/,, bis 1/,, des Extrastromes aus einer doppeltdrahtigen Spirale der Wirkung einer Trigheit der Elektricitét zuzuschreiben sei. Diese Arbeit wurde mit dem Preise gekrént.

Aber Hzrrz beschrankte sich nicht auf die vorgeschlagenen Versuche. Er erkannte namlich, dafs bei geradlinig aus- gespannten Drihten die Induktionswirkungen, trotz ihrer sehr viel geringeren Starke, viel genauer zu berechnen waren, als bei Spiralen mit vielen Windungen, weil er hier die Lagerungs- verhaltnisse nicht genau abmessen konnte. Daher beniitzte er zu weiteren Versuchen eine Leitung aus zwei Rechtecken von geraden Drahten und fand hier, dafs der von dem Be- harrungsvermiégen herriihrende Extrastrom héchstens 1/,,, von dem Werte des Induktionsstromes betrage.

Untersuchungen tiber den Hinflufs der Centrifugalkraft in einer schnell rotierenden Platte auf die Bewegung eines sie durchfliefsenden elektrischen Stromes fihrten ihn zu einer noch viel tiefer liegenden oberen Grenze des Beharrungs- vermégens der Elektricitit.

Diese Versuche haben ihm offenbar die ungeheure Be- weglichkeit der Elektricitét eindringlich zur Anschauung ge- bracht und ihm geholfen, die Wege zu finden, um seine wichtigsten Entdeckungen zu machen.

In England waren durch Farapay ganz andere Vor- stellungen tiber das Wesen der Elektricitét verbreitet. Seine

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in schwerverstandlicher abstrakter Sprache vorgetragenen Ideen brachen sich nur langsam Bahn, bis sie in CuanrkK MaxweEuu einen berufenen Interpreten fanden. Farapay’s Hauptbestreben bei der Erklirung der elektrischen Erscheinungen ging dahin, alle Voraussetzungen, bestehend in Annahmen von nicht direkt wahrnehmbaren Vorgaéngen oder Substanzen, auszuschliefsen. Vor allem wies er, wie es einst zu Anfang seiner Laufbahn schon Newron gethan, die Hypothese von der Existenz der Fernkrafte zuriick. Es schien ihm undenkbar, wie die dlteren Theorien annahmen, dafs direkte und unmittelbare Wirkungen zwischen zwei réumlich getrennten Kérpern bestehen sollten, ohne dafs in den zwischenliegenden Medien irgend eine Ver- ainderung vor sich gehe. Daher suchte er zundchst nach Spuren von Veranderungen in Medien, welche zwischen elektri- sierten oder zwischen magnetischen Kérpern lagen. Es gelang ihm der Nachweis von Magnetismus oder Diamagnetismus bei fast allen bisher fiir unmagnetisch geltenden Kérpern. Ebenso wies er nach, dafs unter der Einwirkung elektrischer Kriifte gut isolierende Kérper eine Veranderung erlitten; diese be- zeichnete er als ,dielektrische Polarisation der Iso- latoren“.

Es liefs sich nicht verkennen, dafs die Anziehung zwischen zwei mit Elektricitiét beladenen Leitern oder zwischen zwei entgegengesetzten Magnetpolen in Richtung ihrer Kraftlinien sich wesentlich verstérken mufste, wenn man dielektrisch oder magnetisch polarisierte Medien zwischen sie einschaltete. Quer gegen die Kraftlinien mufste dagegen eine Abstofsung ent- stehen. Nach diesen Entdeckungen konnte nicht mehr ge- leugnet werden, dafs ein Teil der magnetischen und elektrischen Fernwirkung durch Vermittelung der zwischenliegenden polari- sierten Medien zu stande kame, ein anderer konnte freilich immerhin noch iibrig bleiben, der einer direkten Fernkraft angehorte.

Farapay und Maxwstt neigten sich der einfacheren An- nahme zu, dafs iiberhaupt Fernkrifte nicht existierten, und Max- WELL entwickelte die mathematische Fassung dieser Hypothese, welche allerdings eine vollstindige Umkehr der bisherigen An-

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schauungen verlangte. Danach mufste der Sitz der Verinder- ungen, welche die elektrischen Erscheinungen hervorbringen, nur noch in den Isolatoren gesucht werden, Entstehen und Vergehen der Polarisationen in den Isolatoren muiste der Grund der scheinbar in den Leitern stattfindenden elektrischen Bewegungen sein. Ungeschlossene Stréme gab es nicht mehr, denn die Anhaufung elektrischer Ladungen an den Enden der Leitung und die dabei in den sie trennenden Isolatoren auftretende dielektrische Polarisation stellte eine Aquivalente elektrische Bewegung in den zwischenliegenden Isolatoren dar, die die Liicke des Stromes zu erginzen geeignet schien.

Schon Farapay hatte mit seiner sehr sicheren und tief- gehenden inneren Anschauung geometrischer und mechanischer Fragen erkannt, dafs die Verteilung der elektrischen Fern- wirkungen im Raume nach diesen Annahmen genau mit der durch die alte Theorie gefundenen stimmen mulste.

MaxweEt. bestitigte und erweiterte dies mit den Hilfs- mitteln der mathematischen Analysis zu einer vollstindigen Theorie der Elektrodynamik. Ich selbst erkannte sehr wohl das Zwingende in den von Farapay gefundenen Thatsachen und untersuchte zunachst die Frage, ob Fernwirkungen iber- haupt existierten uud in Betracht gezogen werden missten. Der Zweifel schien mir zundchst in einem so verwickelten Ge- biete der wissenschaftlichen Vorsicht gemafs zu sein und konnte zu entscheidenden Versuchen hinleiten.

Das war der Stand der Frage, als Hemerica Hertz nach Beendigung seiner vorgenannten Preisarbeit in die Unter- suchung eintrat.

Nach Maxwett’s Auffassung war es wesentlich entscheidend fiir seine Theorie, ob das Entstehen und Vergehen dielektrischer Polarisation in einem Isolator dieselben elektrodynamischen Wirkungen in der Umgebung hervorbringt, wie ein galvanischer Strom in einem Leiter. Diesen Nachweis zu erbringen erschien mir als eine ausfiihrbare und hinreichend wichtige Arbeit, um sie zum Gegenstand einer der grofsen Preisaufgaben der Ber- liner Akademie zu machen.

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Wie sich, an diese von den Zeitgenossen vorbereiteten Keime ankniipfend, die Entdeckungen von Herrz weiter ent- wickelten, hat er selbst in der EKinleitung seines interessanten Buches: Untersuchungen iiber die Ausbreitung der elektrischen Kraft so anschaulich und interessant entwickelt, dafs kein Anderer dazu etwas wesentliches oder gar besseres hinzufiigen kénnte. Dieser Bericht ist als eine héchst auf- richtige und eingehende Darstellung einer der wichtigsten und folgenreichsten Entdeckungen von hervorragendem Werte. Leider besitzen wir nicht viel ahnliche Akten iiber die innere psychologische Geschichte der Wissenschaft, und wir sind dem Verfasser auch dafiir den griéfsten Dank schuldig, dafs er uns so tief in das Innere seiner Gedankenwerkstatt und selbst in die Geschichte seiner zeitweiligen Irrtiimer hat schauen lassen.

Nur iiber die Folgen dieser neuen Entdeckungen wire noch einiges hinzuzufiigen.

Die Ansichten, deren Richtigkeit Hertz spiter bestitigt hat, waren allerdings, wie oben bemerkt, vor ihm durch Farapay und Maxwett als méglich oder selbst als héchst wahrscheinlich schon aufgestellt, aber die thatsichlichen Be- weise ihrer Richtigkeit fehlten noch. Hertz hat nun in der That diese Beweise geliefert. Nur einem ungewéhnlich auf- merksamen Beobachter, der die Tragweite jeder unvermuteten und bis dahin unbeachteten Erscheinung sogleich durchschaut, konnten die héchst unscheinbaren Phanomene auffallen, die ihn auf den richtigen Weg geleitet haben. Es wire eine hoffnungs- lose Aufgabe gewesen, schnell wechselnde Stréme mit einer Dauer von Zehntausendteilen oder gar nur Millionteilen einer Sekunde am Galvanometer oder mittels irgend einer anderen damals geiibten experimentellen Methode sichtbar zu machen. Denn alle endlichen Kriafte brauchen eine gewisse Zeit zur Hervorbringung endlicher Geschwindigkeiten und zur Ver- schiebung von Kiérpern von irgend welchem Gewicht, auch so geringem, wie es die Magnetnadeln unserer Galvanometer zu haben pflegen. Aber elektrische Funken kénnen zwischen den Enden einer Leitung sichtbar werden, wenn auch nur fir ein Milliontel Sekunde die elektrische Spannung an den

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Enden einer solchen Leitung hoch genug gesteigert wird, dafs der Funke eine winzige Luftschicht durchbrechen kann. Hertz war durch seine friheren Untersuchungen schon wohl- bekannt mit der Regelmafsigkeit und enormen Geschwindigkeit dieser sehr schnellen Oscillationen der Elektricitét, und seine Versuche, auf diesem Wege die fliichtigsten elektrischen Be- wegungen zu entdecken und sichtbar zu machen, gelangen ihm verhaltnismifsig schnell. Er fand sehr bald die Bedingungen, unter denen er die Oscillationen ungeschlossener Leitungen in solcher Regelmafsigkeit erzielen konnte, dafs er ihre Ab- hangigkeit von den verschiedensten Nebenumstinden ermitteln und dadurch die Gesetze ihres Auftretens und sogar den Wert ihrer Wellenlinge in der Luft und ihre Fortpflanzungs- geschwindigkeit ermitteln konnte. Bei dieser ganzen Unter- suchung mufs man immer wieder den Scharfsinn seiner Uber- legungen und sein experimentelles Geschick bewundern, die sich in der gliicklichsten Weise erganzten,

Herz hat durch diese Arbeiten der Physik neue Anschau- ungen natiirlicher Vorgiinge von dem gréfsten Interesse gegeben. Es kann nicht mehr zweifelhaft sein, dafs die Lichtschwingungen elektrische Schwingungen in dem den Weltraum fillenden Ather sind, dafs dieser selbst die Eigenschaften eines Isolators und eines magnetisierbaren Medium hat. Die elektrischen Oscillationen im Ather bilden eine Zwischenstufe zwischen den verhiltnismafsig langsamen Bewegungen, welche etwa durch elastisch ténende Schwingungen magnetisierter Stimm- gabeln dargestellt werden, und den ungeheuer schnellen Schwingungen des Lichts andererseits; aber es lafst sich nach- weisen, dafs ihre Fortpflanzungsgeschwindigkeit, ihre Natur als Transversalschwingungen, die damit zusammenhingende Moéglichkeit der Polarisationserscheinungen, der Brechung und Reflexion vollstindig denselben Verhiltnissen entsprechen wie bei dem Lichte und bei den Warmestrahlen. Nur fehlt den elektrischen Wellen die Fahigkeit das Auge zu affizieren, wie diese auch den dunklen Warmestrahlen fehlt, deren Schwingungszahl dazu nicht grofs genug ist.

Es ist gewils eine grofse Errungenschaft, die vollstandigen

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Beweise dafir geliefert zu haben, dafs das Licht, eine so ein-
flufsreiche und so geheimnifsvolle Naturkraft, einer zweiten
ebenso geheimnisvollen, und vielleicht noch beziehungsreicheren
Kraft, der Elektricitét, auf das engste verwandt ist. Ftr die
theoretische Wissenschaft ist es vielleicht noch wichtiger, ver-
stehen zu kénnen, wie anscheinende Fernkrafte durch Uber-
tragung der Wirkung von einer Schicht des zwischenliegenden
Medium zur niachsten fortgeleitet werden. Freilich bleibt noch
das Ratsel der Gravitation stehen, die wir noch nicht folge-
richtig anders, denn als eine reine Fernkraft zu erklaren
wissen.
Herricu Hertz hat sich durch seine Entdeckungen einen: bleibenden Ruhm in der Wissenschaft gesichert. Sein Andenken ,wird aber nicht nur durch seine Arbeiten fortleben, auch seine; liebenswiirdigen Charaktereigenschaften, seine sich immer gleich- bleibende Bescheidenheit, die freudige Anerkennung fremden ‘Verdienstes, die treue Dankbarkeit, die er seinen Lehrern be- ;wahrte, wird Allen, die ihn kannten, unverge(slich sein. Ihm ‘selbst war es nur um die Wahrheit zu thun, die er mit Aufser- _stem Ernst und mit aller Anstrengung verfolgte; nie machte sich die geringste Spur. von Ruhmsucht oder persénlichem Interesse bei ihm geltend. Auch da, wo er einiges Recht ge- habt hitte, Entdeckungen fir sich in Anspruch zu nehmen, war er eher geneigt stillschweigend zuriickzutreten. Im ganzen still und schweigsam, konnte er doch heiter an fréhlichem :Freundeskreise teilnehmen und die Unterhaltung durch manches treffende Wort beleben. Er hat wohl nie einen persénlichen :Gegner gehabt, obgleich er gelegentlich tiber nachlissig ge- ‘machte oder renomistisch auftretende Bestrebungen, die sich fir Wissenschaft ausgaben, ein scharfes Urteil fallen konnte. ; Sein dufserer Lebensgang verlief folgendermafsen: Im Jahre \ 1880 trat er als Assistent im Physikalischen Laboratorium der // Berliner Universitét ein; 1883 veranlafste ihn das preulsische \ Kultusministerium, sich in Kiel mit Aussicht auf baldige Be- ‘| forderung zu habilitieren. Zu Ostern 1885 wurde er als ordent- y licher Professor der Physik an die technische Hochschule zu ; Karlsruhe berufen. Hier machte er seine hauptsichlichsten

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Entdeckungen, und hier verheiratete er sich mit Fraulein Elisabeth Doll, der Tochter eines Kollegen. Schon nach zwei Jahren erhielt er einen Ruf als Ordinarius der Physik an die Universitit Bonn, dem er zu Ostern 1889 folgte.

In den nun folgenden leider so kurzen Jahren seines Lebens brachten ihm seine Zeitgenossen alle dufseren Zeichen | der Ehre und Anerkennung entgegen. Im Jahre 1888 wurde/ ihm die Matteucci-Medaille von der italienischen Gesellschaft der Wissenschaften, 1889 von der Academie des Sciences in Paris der Preis La Caze und von der K. K. Akademie zu Wien, der Baumgartner-Preis, 1890 die Rumford-Medaille von der Royal Society in London, 1891 der Bressa-Preis von der Kénig-: lichen Akademie in Turin verlichen. \

Die Akademien von Berlin, Miinchen, Wien, Gottingen, , Rom, Turin und Bologna, sowie viele andere gelehrte Gesell-. schaften wahlten ihn zum korrespondierenden Mitglied, und . die preufsische Regierung verlich ihm den Kronenorden.

Er sollte sich seines steigenden Ruhmes nicht lange er- freuen. Eine qualvolle Knochenkrankheit fing an sich zu ent- wickeln; im November 1892 schon trat das Ubel drohend auf. Kine damals ausgefithrte Operation schien das Leiden fiir kurze Zeit zuriickzudringen. Hertz konnte seine Vorlesungen, wenn | auch mit grofser Anstrengung, bis zum 7. Dezember 1893 fort- ; setzen; am 1. Januar 1894 erldste ihn der Tod von seinen } Leiden.

Wie sehr das Nachsinnen von Herrz auf die allgemeinsten Gesichtspunkte der Wissenschaft gerichtet war, zeigt auch wieder das letzte Denkmal seiner irdischen Thitigkeit, das vorliegende Buch tiber die Prinzipien der Mechanik.

Er hat versucht, darin eine konsequent durchgefiihrte Dar- stellung eines vollstindig in sich zusammenhangenden Systems der Mechanik zu geben und alle einzelnen besonderen Gesetze dieser Wissenschaft aus einem einzigen Grundgesetz abzu- leiten, welches logisch genommen natiirlich nur als eine plau- sible Annahme betrachtet werden kann. Er ist dabei zu den altesten theoretischen Anschauungen zuriickgekehrt, die man eben deshalb auch wohl als die einfachsten und natirlichsten

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ansehen darf, und stellt die Frage, ob diese nicht ausreichen wirden, alle die neuerdings abgeleiteten allgemeinen Prinzipien der Mechanik konsequent und in strengen Beweisen herleiten zu kénnen, auch wo sie bisher nur als induktive Verallge- meinerungen aufgetreten sind. .

Die erste Entwickelung der wissenschaftlichen Mechanik kniipfte sich an die Untersuchungen des Gleichgewichts und der Bewegung fester Kérper, die mit einander in unmittelbarer Berthrung stehen, woftir die einfachen Maschinen, Hebel, Rollen, schiefe Ebenen, Flaschenziige die erlauternden Beispiele gaben. Das Gesetz von den virtuellen Geschwindigkeiten ist die ur- springlichste, allgemeine Lésung aller dahin gehirigen Auf- gaben. Spiter entwickelte Gate: die Kenntnis der Trag- heit und der Bewegungskraft als einer beschleunigenden Kraft, die freilich von ihm noch dargestellt wird als eine Reihe von Stéfsen. Erst Newron kam zum Begriff der Fernkraft und ihrer naheren Bestimmung durch das Prinzip der gleichen Aktion und Reaktion. Es ist bekannt, wie sehr anfangs ihm selbst und seinen Zeitgenossen der Begriff unvermittelter Fern- wirkung widerstrebte.

Von da ab entwickelte sich die Mechanik weiter unter Benutzung von Newron’s Begriff und Definition der Kraft, und man lernte allmahlich auch die Probleme behandeln, in denen sich konservative Fernkrafte mit dem Kinfluls fester Verbin- dungen kombinieren, deren allgemeinste Lésung in p’ALEMBERT’s Prinzip gegeben ist. Die allgemeinen prinzipiellen Sitze der Mechanik (Gesetz von der Bewegung des Schwerpunkts, der Flachensatz fir rotierende Systeme, das Prinzip von der Er- haltung der lebendigen Krafte, das Prinzip der kleinsten Aktion) haben sich alle entwickelt unter der Voraussetzung von NEw- ton’s Attributen der konstanten, also auch konservativen An- ziehungskrafte zwischen materiellen Punkten und der Existenz fester Verbindungen zwischen denselben. Sie sind urspriing- lich nur unter der Annahme solcher gefunden und bewiesen worden. Man hat dann spiter durch Beobachtung gefunden, dafs die so hergeleiteten Sitze eine viel allgemeinere Geltung in der Natur in Anspruch nehmen durften, als aus ihrem Be-

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weise folgte, und hat demniachst gefolgert, dafs gewisse all- gemeinere Charaktere der Newrton’schén konservativen An- ziehungskrifte allen Naturkriften zukommen, vermochte aber diese Verallgemeinerung aus einer gemeinsamen Grundlage nicht abzuleiten. Hertz hat sich nun bestrebt, fir die Me- chanik eine solche Grundanschauung zu finden, welche fihig wire, eine vollkommene folgerichtige Ableitung aller bisher als allgemeingtiltig anerkannten Gesetze der mechanischen Vor- ginge zu geben, und er hat das mit grofsem Scharfsinn und unter einer sehr bewundernswirdigen Bildung eigentimlich verallgemeinerter kinematischer Begriffe durchgefihrt. Als einzigen Ausgangspunkt hat er die Anschauung der Altesten mechanischen Theorien gewihlt, nimlich die Vorstellung, dafs alle mechanischen Prozesse so vor sich gehen, als ob alle Ver- bindungen zwischen den auf einander wirkenden Teilen feste waren. Freilich mufs er die Hypothese hinzunehmen, dafs es eine grofse Anzahl unwahrnehmbarer Massen und unsichtbarer Bewegungen derselben gebe, um dadurch die Existenz der Krifte zwischen den nicht in unmittelbarer Beriithrung mit ein- ander befindlichen Kérpern zu erkliren. Einzelne Beispiele, die erléutern kénnten, wie er sich solche hypothetischen Zwischen- glieder dachte, hat er aber leider nicht mehr gegeben, und es wird offenbar noch ein grofses Aufgebot wissenschaftlicher Ein- bildungskraft dazu gehéren, um auch nur die einfachsten Fille physikalischer Krafte danach zu erkléren. Er scheint hierbei hauptsichlich auf die Zwischenschaltung cyklischer Systeme mit unsichtbaren Bewegungen Hoffnung gesetzt zu haben. Englische Physiker, wie Lord Kxuvm in seiner Theorie der Wirbelatome, und Maxwet in seiner Annahme eines Systems von Zellen mit rotierendem Inhalt, die er seinem Versuch einer mechanischen Erklarung der elektromagnetischen Vorginge zu Grunde gelegt hat, haben sich offenbar durch aihnliche Erklarungen besser befriedigt gefthlt, als durch die blofse allgemeinste Darstellung der Thatsachen und ibrer Ge- setze, wie sie durch die Systeme der Differentialgleichungen der Physik gegeben wird. Ich mufs gestehen, dafs ich selbst bisher an dieser letzteren Art der Darstellung festgehalten,

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und mich dadurch am besten gesichert fihlte; doch miéchte ich gegen den Weg, den so hervorragende Physiker, wie die drei genannten, eingeschlagen haben, keine prinzipiellen Ein- wendungen erheben.

Freilich werden noch grofse Schwierigkeiten zu tiberwinden sein bei dem Bestreben, aus den von Huertz entwickelten Grundlagen Erklarungen fiir die eimzelnen Abschnitte der Physik zu geben. Im ganzen Zusammenhange aber ist die Darstellung der Grundgesetze der Mechanik von Hurrz ein Buch, welches im héchsten Grade jeden Leser interessieren mufs, der an einem folgerichtigen System der Dynamik, dar- gelegt in héchst vollendeter und geistreicher mathematischer Fassung, Freude hat. Méglicherweise wird dieses Buch in der Zukunft nock von hohem heuristischen Wert sein als Leit- faden zur Entdeckung neuer allgemeiner Charaktere der Natur- krifte.

[PDF-PAGE 29] Vorwort des Verfassers.

Alle Physiker sind einstimmig darin, dafs es die Auf- gabe der Physik sei, die Erscheinungen der Natur auf die einfachen Gesetze der Mechanik zuriickzufihren. Welches aber diese einfachen Gesetze sind, dariber herrscht nicht mehr die gleiche Einstimmigkeit. Die Meisten verstehen unter jener Bezeichnung wohl schlechthin die Newron’schen Gesetze der Bewegung. In Wahrheit aber erhalten diese letzteren Gesetze ihren inneren Sinn und ihre physikalische Bedeutung erst durch den stillen Nebengedanken, dafs die Krifte, von welchen sie reden, einfacher Natur sind und einfache Eigenschaften haben. Was nun aber hier noch einfach und noch zulassig sei, und was schon nicht mehr, das steht nicht fest; eben hier ist der Punkt, wo die Berufung auf allgemeine Kinstim- migkeit aufhért. Daher sehen wir auch wirklich Meinungs- verschiedenheiten entstehen, ob diese oder jene Annahme noch der gewéhnlichen Mechanik entspreche, oder ob nicht mehr. Dafs hier offene Fragen liegen, tritt freilich nur bei neuen Aufgaben hervor, hier aber als erstes Hindernis der Unter- suchung. So ist z. B. der Versuch verfriht, die Bewegungs-

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gleichungen des Athers auf die Gesetze der Mechanik zuriick- fihren zu wollen, solange man sich nicht eindeutig dariiber verstindigt hat, was man mit diesem Namen bezeichnet haben will.

Die Aufgabe, deren Lisung die folgende Untersuchung anstrebt, ist diese, die hier vorhandene Liicke auszufillen und eine vollkommen bestimmte Zusammenstellung der Gesetze der Mechanik anzugeben, welche mit dem Stande unserer heutigen Kenntnis vertraglich ist, welche nimlich in Beziehung auf den Umfang dieser Kenntnis weder zu eng ist, noch zu weit. Die Zusammenstellung soll nicht zu eng sein, das heifst, es soll keine natiirliche Bewegung geben, welche ihren Forder- ungen nicht gehorcht. Die Zusammenstellung aber soll auch nicht zu weit sein, das heifst, sie soll auch keine Bewegung zulassen, deren Vorkommen in der Natur schon nach dem .Stande unserer heutigen Erfahrung ausgeschlossen ist. Ob die Zusammenstellung, welche ich als Liésung dieser Aufgabe im Folgenden gebe, die einzig mégliche ist, oder ob es andere, vielleicht bessere mégliche giebt, bleibt dahingestellt. Dafs aber die gegebene Zusammenstellung in jeder Hinsicht eine mégliche ist, beweise ich dadurch, dafs ich ihre Folgen ent- wickele, und zeige, dafs bei voller Entfaltung sie den Inhalt der gewohnlichen Mechanik aufzunehmen vermag, sofern sich der letztere auf die wirklichen Krafte und Zusammenhange der Natur beschrinkt und sich nicht als Spielplatz mathe- matischer Ubungsarbeit betrachtet.

Durch diese Entwickelung ist freilich aus einer theore- tischen Abhandlung ein Buch geworden, welches eine voll- stindige Ubersicht aller wichtigeren allgemeinen Sitze der Dynamik enthilt und welches sogar als ein systematisches Lehrbuch dieser Wissenschaft gelten kann. Zu einer ersten Einfihrung ist dasselbe freilich aus verschiedenen Griinden nicht wohl geeignet; mit umsomehr Uberzeugung aber bietet es sich Demjenigen als Fihrer an, welcher den Inhalt der Mechanik aus der gewéhnlichen Darstellung schon einiger- mafsen kennt. Einem Solchen hofft es einen Standpunkt zeigen zu kénnen, von welchem aus die physikalische Bedeu-

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tung, die innere Verwandtschaft und die Tragweite der mecha- nischen Prinzipien in durchsichtiger Klarheit vor Augen liegt; von welchem aus auch der Begriff der Kraft wie die tbrigen mechanischen Grundbegriffe des letzten Restes von Dunkelheit entkleidet erscheinen.

Die Aufgabe, welche sich die vorliegende Untersuchung stellt, ist in verdeckter Weise bereits behandelt und mit einer miglichen Lisung beantwortet durch von HenmHo.rz in seiner Arbeit iiber das Prinzip der kleinsten Wirkung und in der damit zusammenhangenden Arbeit iber cyklische Systeme’). In der ersteren wird die These aufgestellt und vertreten, dafs die Mechanik auch dann noch die samtlichen Vorgange der Natur zu umfassen vermag, wenn man nicht nur die Nrw- ton’schen Grundlagen als allgemeingiiltig betrachtet, sondern auch die besonderen Voraussetzungen, welche neben jenen dem Hamuiron’schen Prinzip zu Grunde liegen. In der zweit- genannten Arbeit wird zum ersten Male in allgemeiner Weise Sinn und Bedeutung der verborgenen Bewegungen behandelt. Von jenen Arbeiten ist meine eigene Untersuchung im Ganzen und in ihren Teilen wesentlich beeinflufst und abhingig; der Abschnitt tiber cyklische Systeme ist ihnen fast unmittelbar entnommen. Von der Form abgesehen, bestehen die Ab- weichungen meiner eigenen Lisung hauptsichlich in zwei Punkten: Einmal suche ich dasjenige von vornherein von den Elementen der Mechanik fern zu halten, was von HeLMnourz durch nachtragliche Kinschrankung aus der schon entwickelten Mechanik wieder entfernt. Zweitens entferne ich aus der Mechanik in gewissem Sinne weniger, indem ich mich nicht auf das Hamiiton’sche Prinzip, noch auf ein anderes Integral- prinzip stiitze. Die Griinde hierfitir und die Folgen hiervon werden aus der Arbeit selbst erhellen.

Ahnliche Gedankenreihen, wie in den von HzetmHotz’schen Arbeiten sind angesponnen in der bedeutenden Abhandlung

H. von Hetuworrz, Uber die physikalische Bedeutung des Prin- zips der kleinsten Wirkung, Journal fir die reine und angewandte Mathe- matik, 100, p. 187—166, 213-222, 1887; Prinzipien der Statik mono- cyklischer Systeme, ebenda, 97, p. 111—140, 317—336, 1884.

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von J. J. THomson iiber die physikalischen Anwendungen der Dynamik?’). . Ebenfalls entwickelt hier der Verfasser die Folgen einer Dynamik, welche neben den Newton’schen Gesetzen der Bewegung noch weitere, besondere, nicht ausdriicklich aus- gesprochene Voraussetzungen zur Grundlage hat. Auch an diese Abhandlung also hatte ich mich anlehnen kénnen; that- sichlich war meine eigene Untersuchung schon ziemlich fort- geschritten, als ich jene genauer kennen lernte. Das gleiche darf ich von den in mathematischer Hinsicht verwandten, aber weit alteren Arbeiten von BeLtRami?) und Liescuirz‘) sagen; doch konnte ich noch reiche Anregung aus denselben schipfen, ebenso aus der neueren Darstellung, welche DarBoux*) von jenen Arbeiten mit eigenen Zusiitzen gegeben hat. Manche mathematische Abhandlungen, welche ich hatte beriicksichtigen kénnen und sollen, mégen mir entgangen sein. In allgemeiner Hinsicht verdanke ich sehr viel dem schénen Buche iiber die Entwickelung der Mechanik von Mace). Es ist selbstver- standlich, dafs ich die bekannteren Lehrbiicher der allgemeinen Mechanik zu Rate zog, nicht am wenigsten die umfassende Darstellung der Dynamik in dem Lehrbuche von THomson und Tarr®), Wertvoll war mir auch das Heft einer Vorlesung iiber analytische Dynamik von Borcuarpt, welches ich im Winter 1878/79 nachschrieb. Hiermit habe ich die von mir

_ 1) J. J. Taomson, On some Applications of Dynamical Principles to Physical Phenomena, Philosophical Transactions 176, II, p. 8307—342, 1885.

Bertram, Sulla teoria generale dei parametri differenziali; Me- morie della Reale Accademia di Bologna, 25. Febbrajo 1869.
R. Laescuitz, Untersuchung eines Problems der Variationsrech- nung, in welchem das Problem der Mechanik enthalten ist. Journal fir die reine und angewandte Mathematik, 74, p. 116—149, 1872. Bemer- kungen zu dem Prinzip des kleinsten Zwanges. Ebenda, 82, p. 316—842,

*) G. Darsovux, Legons sur la théorie générale des surfaces, Livre V, Chapitres 6, 7, 8. Paris 1889.

E. Macu, Die Mechanik in ihrer Entwickelung historisch-kritisch dargestellt. Leipzig 1883.

*) W. Txomson und P. G. Tarr, Handbuch der theoretischen Phy- _sik, deutsche Ausgabe von Hetmnortz und Werrarm, Braunschweig 1871.

—_ ee 7

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benutzten Quellen genannt; im Texte werde ich nur soviel citieren, als die Sache selbst es verlangt. Im einzelnen habe ich ja auch nichts vorzutragen, das neu ware und nicht aus vielen Biichern genommen werden kénnte. Was, wie ich hoffe, neu ist, und worauf ich einzig Wert lege, ist die Anordnung und Zusammenstellung des Ganzen, also die logische, oder, wenn man will, die philosophische Seite des Gegenstandes. Meine Arbeit hat ihr Ziel erreicht oder verfehlt, jenachdem in dieser Richtung etwas gewonnen ist oder nicht.

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Nummer Seite Vorbemerkung des Herausgebers. . . . . . . +. es. v Vorwort von H. v. Helmholtz. . . ......2.2.4.. vil Vorwort des Verfassers . . . ......... ~. ~. #£4xXXTD Einleitung . . . . . ce ee we ee 1

Erstes Buch. Zur Geometrie und Kinematik der materiellen Systeme.

Vorbemerkung . . : es an );) Abschnitt 1. Zeit, Raum, Masse coe 2 58 Abschnitt 2. Lagen und Verriickungen ‘der ‘Punkte

und Systeme. 9 55

Lage; Konfiguration ‘and absolute Lage; End- liche Verriickungen a) der Punkte, b) der Systeme; Zusammensetzung der Verriickungen. Abschnitt 3. Unendlich kleine Verriickungen und Bahnen der Systeme materieller Punkte . 53 69 Unendlich kleine Verriickungen; Verriickungen in Richtung der Koordinaten; Benutzung par- tieller Differentialquotienten; Bahnen der

Systeme. Abschnitt 4. Mégliche und unmdgliche Verriickun- gen. Materielle Systeme .. 109 = 88

Zusammenhang; Analytische Darstellung des Zusammenhanges ;, Bewegungsfreiheit; Ver- riickungen senkrecht zu den méglichen Ver-

riickungen. Abschnitt 5. Von den ausgezeichneten Bahnen der materiellen Systeme . . 151 100

1} Geradeste Bahnen; 2. Kiirzeste ‘und geods- tische Bahnen; 8. Beziehungen zwischen gerade- sten und geodatischen Bahnen.

Abschnitt 6. Von der geradesten Entfernung in ho-

lonomen Systemen . . 197 119

Flachen von Lagen; 2. Geradeste Entfermung Abschnitt 7. Kinematische Begriffe coe 237 187
Vektorgréfsen in Bezug auf ein " System;
Bewegung der Systeme, Geschwindigkeit, Moment, Beschleunigung, Energie, Benutzung partieller Differentialquotienten. Schlufsbemerkung zum ersten Buch . . . . . . . « « 295 “158

[PDF-PAGE 35] Inhait. XxIx

Zweites Buch. Mechanik der materiellen Systeme.

Numuaier Vorbemerkung . . . ~~. s+ e+ et ee ee se 296 Abschnitt 1. Zeit, Raum, Masse. ....... . 297 Abschnitt 2. Das Grundgesetz . . . . 808

Das Gesetz; Berechtigung " desselben, Ein- schrinkung desselben, Zerlegung desselben, Methode seiner Anwendung, Angentiherte An- wendung.

Abschnitt 3. Bewegung der freien Systeme. . . 331 Allgemeine Eigenschaften der Bewegung: 1. Be- stimmtheit der Bewegung, 2. Erhaltung der Energie, 3. Kleinste Beschleunigung, 4. Kiirzeste Bahn, 5. Kiirzeste Zeit, 6. Kleinstes Zeitintegral der Energie. Analytische Darstellung: Diffe- rentialgleichungen der Bewegung. Innerer Zwang der Systeme. Holonome Systeme. Dyna- mische Modelle.

Abschnitt 4. Bewegung der unfreien Systeme. . . 429 I. Geleitetes unfreies System. II. Systeme durch Kriifte beeinflufst: Einftihrung der Kraft, Wirkung und Gegenwirkung, Zusammensetzung der Krifte, Bewegung unter dem Einflufs von

_ Kriiften, Innerer Zwang, Energie und Arbeit, Gleichgewicht und Statik, Maschinen und innere Krifte, Messung der Krifte.

Abschnitt 5. Systeme mit verborgenen Massen . . 546 I. Cyklische Bewegung: Cyklische Systeme, Krafte und Kriftefunktion, Reciproke Eigen- tiimlichkeiten, Energie und Arbeit, Zeitintegral der Energie. II. Verborgene cyklische Be- wegung: Konservative Systeme, Differential- gleichungen der Bewegung, Integralsiitze far holonome Systeme, Endliche Bewegungs- gleichungen fir holonome Systeme; Nicht- konservative Systeme.

Abschnitt 6. Von den Unstetigkeiten der Bewegung 668 Stofskraft oder Stofs; Zusammensetzung der Stésse; Bewegung unter dem Einflufs von Stéssen; Innerer Zwang beim Stosse; Energie und Axbeit; Zusammenstofs zweier Systeme

Schlafsbemerkung zum zweiten Buch . . . . . . 184

Nachweis der Definitionen und Bezeichnungen .

Seite 157 157 162

170

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306

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[PDF-PAGE 36]

[PDF-PAGE 37] Kinleitung.

Es ist die nachste und in gewissem Sinne wichtigste Auf- gabe unserer bewulsten Naturerkenntnis, dafs sie uns befahige, zukinftige Erfahrungen vorauszusehen, um nach dieser Vor- aussicht unser gegenwirtiges Handeln einrichten zu kénnen. Als Grundlage fir die Lésung jener Aufgabe der Erkenntnis benutzen wir unter allen Umstaénden vorangegangene Erfah- rungen, gewonnen durch zufallige Beobachtungen oder durch absichtlichen Versuch. Das Verfahren aber, dessen wir uns zur Ableitung des Zukiinftigen aus dem Vergangenen und damit zur Erlangung der erstrebten Voraussicht stets bedienen, ist dieses: Wir machen uns innere Scheinbilder oder Symbole der aufseren Gegenstande, und zwar machen wir sie von solcher Art, dafs die denknotwendigen Folgen der Bilder stets wieder die Bilder seien von den naturnotwendigen Folgen der abgebildeten Gegenstinde. Damit diese Forderung iiberhaupt erfiillbar sei, miissen gewisse Ubereinstimmungen vorhanden sein zwischen der Natur und unserem Geiste. Die Erfahrung lehrt uns, dafs die Forderung erfillbar ist und dafs also solche Ubereinstimmungen in der That bestehen. Ist es uns einmal gegliickt, aus der angesammelten bisherigen Erfahrung Bilder von der verlangten Beschaffenheit abzuleiten, so kénnen wir

Hertz, Mechanik. 1

[PDF-PAGE 38] 2 Finleitung.

an ihnen, wie an Modellen, in kurzer Zeit die Folgen ent- wickeln, welche in der dufseren Welt erst in langerer Zeit oder als Folgen unseres eigenen Eingreifens auftreten werden; wir vermégen so den Thatsachen vorauszueilen und kénnen nach der gewonnenen Hinsicht unsere gegenwirtigen Entschliisse richten. — Die Bilder, von welchen wir reden, sind unsere Vorstellungen von den Dingen; sie haben mit den Dingen die eine wesentliche Ubereinstimmung, welche in der Erfillung der genannten Forderung liegt, aber es ist fiir ihren Zweck nicht ndtig, dafs sie irgend eine weitere Ubereinstimmung mit den Dingen haben. In der That wissen wir auch nicht, und haben auch kein Mittel 2u erfahren, ob unsere Vorstellungen von den Dingen mit jenen in irgend etwas anderem iiberein- stimmen, als allein in eben jener einen fundamentalen Be- ziehung.

Kindeutig sind die Bilder, welche wir uns von den Dingen machen wollen, noch nicht bestimmt durch die Forderung, dafs die Folgen der Bilder wieder die Bilder der Folgen seien. Verschiedene Bilder derselben Gegenstinde sind még- lich und diese Bilder kénnen sich nach verschiedenen Rich- tungen unterscheiden. Als unzulissig sollten wir von vorn- herein solche Bilder bezeichnen, welche schon einen Wider- spruch gegen die Gesetze unseres Denkens in sich tragen und wir fordern also zunichst, dafs alle unsere Bilder logisch zu- lassige oder kurz zulissige seien. Unrichtig nennen wir zu- lassige Bilder dann, wenn ihre wesentlichen Beziehungen den Beziehungen der dulfseren Dinge widersprechen, das heifst wenn sie jener ersten Grundforderung nicht geniigen. Wir verlangen demnach zweitens, dafs unsere Bilder richtig seien. Aber zwei zulissige und richtige Bilder derselben dufseren Gegenstinde kénnen sich noch unterscheiden nach der Zweck- mifsigkeit. Von zwei Bildern desselben Gegenstandes wird dasjenige das zweckmilsigere sein, welches mehr wesentliche Beziehungen des Gegenstandes wiederspiegelt als das andere; welches, wie wir sagen wollen, das deutlichere ist. Bei gleicher - Deutlichkeit wird von zwei Bildern dasjenige zweckm&lsiger sein, welches neben den wesentlichen Ziigen die geringere Zahl iiberfliissiger oder leerer Beziehungen enthialt, welches also

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das einfachere ist. Ganz werden sich leere Beziehungen nicht vermeiden lassen, denn sie kommen den Bildern schon deshalb zu, weil es eben nur Bilder und zwar Bilder unseres beson- deren Geistes sind und also von den Eigenschaften seiner Abbildungsweise mitbestimmt sein miissen.

Wir haben bisher die Anforderungen aufgeziéhlt, welche wir an die Bilder selbst stellen; etwas ganz anderes sind die Anforderungen, welche wir an eine wissenschaftliche Darlegung solcher Bilder stellen. Wir verlangen von der letzteren, dafs sie uns klar zum Bewulstsein fihre, welche Eigenschaften den Bildern zugelegt seien um der Zuldssigkeit willen, welche um der Richtigkeit willen, welche um der Zweckmalsigkeit willen. Nur so gewinnen wir die Méglichkeit an unsern Bildern zu andern, zu bessern. Was den Bildern beigelegt wurde um der Zweckma(sigkeit willen, ist enthalten in den Bezeichnungen, Definitionen, Abkiirzungen, kurzum in dem, was wir nach Willkiir hinzuthun oder wegnehmen kénnen. Was den Bildern zukommt um ihrer Richtigkeit willen, ist enthalten in den Er- fahrungsthatsachen, welche beim Aufbau der Bilder gedient haben. Was den Bildern zukommt, damit sie zulissig seien, ist gegeben durch die Kigenschaften unseres Geistes. Ob ein Bild zulassig ist oder nicht, kénnen wir eindeutig mit ja und nein entscheiden und zwar mit Giiltigkeit unserer Entscheidung fir alle Zeiten. Ob ein Bild richtig ist oder nicht, kann eben- falls eindeutig mit ja und nein entschieden werden, aber nur nach dem Stande unserer gegenwartigen Erfahrung und unter Zulassung der Berufung an spitere reifere Erfahrung. Ob ein Bild zweckmiafsig sei oder nicht, dafir giebt es tberhaupt keine eindeutige Entscheidung, sondern es kénnen Meinungsverschiedenheiten bestehen. Das eine Bild kann nach der einen, das andere nach der andern Richtung Vor- teile bieten, und nur durch allmahliches Priifen vieler Bilder werden im Laufe der Zeit schliefslich die zweckmifsigsten gewonnen.

Dies sind die Gesichtspunkte, nach welchen man, wie mir scheint, den Wert physikalischer Theorieen und den Wert der Darstellung physikalischer Theorieen zu beurteilen hat. Jeden-

[PDF-PAGE 40] 4 Finleitung.

falls sind es die Gesichtspunkte, von welchen aus wir jetzt die Darstellungen betrachten wollen, welche man von den Prin- zipien der Mechanik gegeben hat. Dabei ist es freilich zu- nichst nétig, bestimmt zu erkliren, was wir mit diesem Namen bezeichnen.

In strengem Sinne verstand man urspriinglich in der Mechanik unter einem Prinzip jede Aussage, welche man nicht wieder auf andere Sitze der Mechanik selbst zurickfihrte, sondern welche man als unmittelbares Ergebnis anderer Quellen der Erkenntnis angesehen wissen wollte. Es konnte infolge der geschichtlichen Entwickelung nicht ausbleiben, dafs S&tze, welche unter besonderen Voraussetzungen einmal mit Recht als Prinzipien bezeichnet wurden, spater diesen Namen, wiewohl mit Unrecht, beibehielten. Seit Lacranex ist die Be- merkung haufig wiederholt worden, dafs die Prinzipien des Schwerpunktes und der Flaichen im Grunde nur Lehrs&tze allgemeinen Inhalts seien. Man kann aber mit gleichem Rechte bemerken, dafs auch die iibrigen sogenannten Prinzipien nicht unabhingig von einander diesen Namen fihren kénnen, sondern dafs jedes von ihnen auf den Rang einer Folgerung oder eines Lehrsatzes herabsteigen mufs, so bald die Darstellung der Mechanik auf eines oder mehrere der iibrigen gegriindet wird. ‘Der Begriff des mechanischen Prinzipes ist demnach kein scharf festgehaltener. Wir wollen deshalb zwar jenen Satzen in Einzelaussagen ihre herkémmliche Benennung belassen; wenn wir aber schlechthin und allgemein von den Prinzipien der Mechanik reden, so wollen wir darunter nicht jene einzelnen konkreten Satze verstanden wissen, sondern jede iibrigens be- liebige Auswahl unter ihnen und unter ahnlichen Satzen, welche der Bedingung genitigt, dafs sich aus ihr ohne weitere Be- rufung auf die Erfahrung die gesamte Mechanik rein deduktiv entwickeln lifst. Bei dieser Bezeichnungsweise stellen die Grundbegriffe der Mechanik zusammen mit den sie verkettenden Prinzipien das einfachste Bild dar, welches die Physik von den Dingen der sinnlichen Welt und den Vorgingen in ihr her- zustellen vermag. Und da wir von den Prinzipien der Mechanik durch verschiedene Auswahl der Satze, welche wir zu Grunde legen, verschiedene Darstellungen geben kénnen, so erhalten

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wir verschiedene solche Bilder der Dinge, welche Bilder wir priifen und mit einander vergleichen kénnen in Bezug auf ihre Zulassigkeit, ihre Richtigkeit und ihre Zweckmial{sigkeit.

Kin erstes Bild liefert uns die gewdhnliche Darstellung der Mechanik. Wir verstehen hierunter die in den Einzel- heiten abweichende, in der Hauptsache tibereinstimmende Dar- stellung fast aller Lehrbiicher, welche das Ganze der Mechanik behandeln, fast aller Vorlesungen, welche sich iiber den ge- samten Inhalt dieser Wissenschaft verbreiten. Diese Dar- stellung bildet den kéniglichen Weg und die grofse Heerstralse, auf welcher die Schar der Schiiler in das Innere der Mechanik eingefihrt wird; sie folgt genau dem Gang der historischen Entwickelung und der Reihenfolge der Entdeckungen; ihre Haupt- stationen sind gekennzeichnet durch die Namen eines ARcHI- MEDES, GALILEI, NEwron, Lacranee. Als gegebene Vorstellungen legt diese Darstellung zu Grunde die Begriffe des Raumes, der Zeit, der Kraft und der Masse. Die Kraft ist dabei ein- gefihrt als die vor der Bewegung und unabhingig von der Bewegung bestehende Ursache der Bewegung. Zuerst treten auf nur Raum und Kraft fir sich, und ihre Beziehungen werden in der Statik behandelt. Die reine Bewegungslehre oder Kinematik begniigt sich, die beiden Begriffe Raum und Zeit in Verbindung zu setzen. Die Gaxier’sche Vorstellung von der Tragheit liefert einen Zusammenhang zwischen Raum, Zeit und Masse allein. In den Newron’schen Gesetzen der Bewegung treten zuerst alle vier Grundbegriffe neben einander in Ver- knipfung auf. Diese Gesetze bilden die eigentliche Wurzel der weiteren Entwickelung, aber sie geben noch keinen all- gemeinen Ausdruck fiir den Einflufs starrer riumlicher Ver- bindungen; hier erweitert das p’ALEMBERT’sche Prinzip das

[PDF-PAGE 42] allgemeine Ergebnis der Statik auf den Fall der Bewegung und schliefst als letztes den Reigen der nicht aus einander ableitbaren, unabhangigen Grundaussagen. Alles weitere da- gegen ist deduktive Ableitung. In der That sind die auf- gezahlten Begriffe und Gesetze nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend, um den gesamten Inhalt der Mechanik aus ihnen mit Denknotwendigkeit zu entwickeln und alle abrigen sogenannten Prinzipien als Lehrsatze und Folgerungen aus besonderen Voraussetzungen erscheinen zu lassen. Jene auf- gezahlten Begriffe und Gesetze geben uns also ein erstes System der Prinzipien der Mechanik in unserer Ausdrucks- weise; damit zugleich also auch das erste allgemeine Bild von den natiirlichen Bewegungen der Kérperwelt.

Es erscheint nun von vornherein sehr fernliegend, dafs man an der logischen Zulassigkeit dieses Bildes auch nur zweifeln kénne. Es erscheint fast unmdglich, dafs man daran denke, logische Unvollkommenheiten aufzufinden in einem Systeme, welches von unzahligen und von den besten Képfen immer und immer wieder durchdacht worden ist. Aber ehe man hierauf hin die Untersuchung abbricht, wird man fragen miissen, ob auch alle und ob die besten Képfe immer von dem Systeme befriedigt gewesen sind. In jedem Falle mufs es billig gleich im Anfang Wunder nehmen, wie leicht es ist, Betrachtungen an die Grundgesetze anzukniipfen, welche sich ganz in der iiblichen Redeweise der Mechanik bewegen und welche doch das klare Denken unzweifelhaft in Verlegenheit setzen. Versuchen wir dies zunachst an einem Beispiele zu zeigen. Wir schwingen einen Stein an einer Schnur im Kreise herum; wir iibén dabei bewufstermafsen eine Kraft auf den Stein aus; diese Kraft lenkt den Stein bestandig von der geraden Bahn ab, und wenn wir diese Kraft, die Mafse des Steines und die Lange der Schnur verandern, so finden wir, dafs die Bewegung des Steines in der That stets in Ubereinstimmung mit dem zweiten Newron’schen Gesetze erfolgt. Nun aber ver- langt das dritte Gesetz eine Gegenkraft zu der Kraft, welche von unserer Hand auf den Stein ausgetbt wird. Auf die Frage nach dieser Gegenkraft lautet die jedem gelaufige Ant- wort: es wirke der Stein auf die Hand zuriick infolge der

[PDF-PAGE 43] Schwungkraft, und diese Schwungkraft sei der von uns aus- getibten Kraft in der That genau entgegengesetzt gleich. Ist nun diese Ausdrucksweise zulissig? Ist das was wir jetzt Schwungkraft oder Centrifugalkraft nennen, etwas anderes als die Trigheit des Steines? Durfen wir, ohne die Klarheit unserer Vorstellungen zu zerstéren, die Wirkung der Trigheit doppelt in Rechnung stellen, namlich einmal als Mafse, zweitens als Kraft? In unseren Bewegungsgesetzen war die Kraft die vor der Bewegung vorhandene Ursache der Bewegung. Diirfen wir, ohne unsere Begriffe zu verwirren, jetzt auf einmal von Kraften reden, welche erst durch die Bewegung entstehen, welche eine Folge der Bewegung sind? Ditrfen wir uns den Anschein geben, als hitten wir iiber diese neue Art von Kraften in unseren Gesetzen schon etwas ausgesagt, als kinnten wir ihnen mit dem Namen ,,Kraft‘‘ auch die Kigenschaften der Krifte verleihen? Alle diese Fragen sind offenbar zu verneinen, es bleibt uns nichts iibrig als zu erliutern: die Be- zeichnung der Schwungkraft als einer Kraft sei eine uneigent- liche, ihr Name sei wie der Name der lebendigen Kraft als eine historische Uberlieferung hinzunehmen und die Bei- behaltung dieses Namens sei aus Niitzlichkeitsgriinden mehr zu entschuldigen als zu rechtfertigen. Aber wo bleiben als- dann die Anspriiche des dritten Gesetzes, welches eine Kraft fordert, die der tote Stein auf die Hand ausiibt und welches durch eine wirkliche Kraft, nicht durch einen blofsen Namen befriedigt sein will?

Ich glaube nicht, dafs diese Schwierigkeiten kiinstlich oder mutwillig heraufbeschworen sind; sie dringen sich uns von selbst auf. Sollte sich nicht ihr Ursprung bis in die QGrundgesetze zuriickverfolgen lassen? Die Kraft, von welcher die Definition und die ersten beiden Gesetze reden, wirkt auf einen Kérper in einseitig bestimmter Richtung. Der Sinn des dritten Gesetzes ist, dafs die Krafte stets zwei Kérper verbinden und ebenso gut vom ersten zum zweiten, wie vom zweiten zum ersten gerichtet sind. Die Vorstellung der Kraft, welche dieses Gesetz und die Vorstellung, welche jene Gesetze voraussetzen und in uns erwecken, scheinen mir um ein Geringes ver- schieden, dieser geringe Unterschied aber reicht vielleicht aus,

[PDF-PAGE 44] 8 Kealeitung.

um die logische Tribung zu erzeugen, deren Folgen in unserem Beispiele zum Ausbruch kamen. Doch haben wir nicht nitig, auf die Untersuchung weiterer Beispiele einzugehen. Wir kdnnen allgemeine Wahrnehmungen als Zeugen fir die Be- rechtigung unserer Zweifel aufrufen. Eine erste solche Wahr- nehmung scheint mir die Erfahrung zu bilden, dafs es sebr schwer ist, gerade die Einleitung in die Mechanik denkenden Zuhorern vorzutragen ohne einige Verlegenheit, ohne das Ge- fihl, sich hier und da entschuldigen zu missen, ohne den Wunsch, recht schnell aiber die Anfange hinwegzugelangen zu Beispielen, welche fir sich selbst reden. Ich meine, Newron selbst mfisse diese Verlegenheit empfunden haben, wenn er die Masse etwas gewaltthatig definiert als Produkt aus Volumen und Dichtigkeit. Ich meine, die Herren Taomson und Tarr miissen ihm nachempfunden haben, wenn sie anmerken, dies sei eigentlich mehr eine Definition der Dichtigkeit als der Masse, und sich gleichwohl mit derselben als einzigen Defini- tion der Masse begniigen. Auch Lacranag, denke ich, miisse jene Verlegenheit und den Wunsch, um jeden Preis vorwarts- zukommen, verspiirt haben, als er seine Mechanik kurzer- hand mit der Erklaérung einleitete, eine Kraft sei eine Ur- sache, welche einem Kérper eine Bewegung erteilt ,,oder zu erteilen strebt“‘; gewifs nicht ohne die logische Harte einer solchen Uberbestimmung zu empfinden. Ein zweites Zeugnis nehme ich aus der Thatsache, dass wir schon fiir die elemen- taren Satze der Statik, fiir den Satz vom Parallelogramm der Krifte, den Satz der virtuellen Geschwindigkeiten, u. s. w. zahl- reiche Beweise besitzen, welche von ausgezeichneten Mathe- matikern herritthren, welche den Anspruch machen, streng zu sein und welche doch wieder nach dem Urteil anderer hervor- ragender Mathematiker diesem Anspruch keineswegs geniigen. In einer logisch vollendeten Wissenschaft, in der reinen Mathematik, ist eine Meinungsverschiedenheit in solcher Frage schlechterdings undenkbar. Als ein sehr belastendes Zeugnis aber erscheinen mir auch die iiber Gebiihr oft gehérten Be- hauptungen: das Wesen der Kraft sei noch riatselhaft, es sei eine Hauptaufgabe der Physik, das Wesen der Kraft zu er- forschen, und dhnliche Aussagen mehr. In gleichem Sinne bestiirmt man den Elektriker immer wieder nach dem Wesen

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der Elektricitat. Warum fragt nun niemand in diesem Sinne nach dem Wesen des Goldes oder nach dem Wesen der Ge- schwindigkeit? Ist uns das Wesen des Goldes bekannter als das der Elektricitit, oder das Wesen der Geschwindigkeit be- kannter als das der Kraft? Kénnen wir das Wesen irgend eines Dinges durch unsere Vorstellungen, durch unsere Worte erschépfend wiedergeben? Gewifs nicht. Ich meine, der Unter- schied sei dieser: Mit den Zeichen ,,Geschwindigkeit“ und » Gold“ verbinden wir eine grofse Zahl von Beziehungen zu anderen Zeichen, und zwischen allen diesen Beziehungen finden sich keine uns verletzenden Widerspriiche. Das genigt uns und wir fragen nicht weiter. Auf die Zeichen ,, Kraft“ und » Hlektricitét“‘ aber hat man mehr Beziehungen gehiuft, als sich véllig mit einander vertragen; dies fihlen wir dunkel, ver- langen nach Aufklaérung und 4ufsern unsern unklaren Wunsch in der unklaren Frage nach dem Wesen von Kraft und Elek- tricitat. Aber offenbar irrt die Frage in Bezug auf die Ant- wort, welche sie erwartet. Nicht durch die Erkenntnis von neuen und mehreren Beziehungen und Verkntipfungen kann sie befriedigt werden, sondern durch die Entfernung der Wider- spriiche unter den vorhandenen, vielleicht also durch Ver- minderung der vorhandenen Beziehungen. Sind diese schmer- zenden Widerspriiche entfernt, so ist zwar nicht die Frage nach dem Wesen beantwortet, aber der nicht mehr gequilte Geist hért auf, die far ihn unberechtigte Frage zu stellen.

Wir haben in diesen Ausfiihrungen die Zulassigkeit des betrachteten Bildes so stark verdachtigt, dafs es scheinen muls, als sei es unsere Absicht, diese Zuldssigkeit zu bestreiten und schliefslich zu verneinen. Soweit geht indes unsere Absicht und unsere Uberzeugung nicht. Mégen die logischen Unbe- stimmtheiten, welche uns um die Sicherheit der Grundlagen besorgt machten, auch wirklich bestehen, sie haben sicherlich keinen einzigen der zahllosen Erfolge verhindert, welche die Mechanik in ihrer Anwendung auf die Thatsachen errungen hat. Sie kénnen also auch nicht bestehen in Widerspriichen zwischen den wesentlichen Zfigen unseres Bildes, also nicht in Widerspriichen zwischen denjenigen Beziehungen der Mechanik, welche Beziehungen der Dinge enteprechen. Sie

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miissen sich vielmehr beschriinken auf die unwesentlichen Ziige, auf alles dasjenige, was wir selbst nach Willkiir dem von der Natur gegebenen wesentlichen Inhalte hinzugedichtet haben. Dann aber lassen sich jene Verlegenheiten auch vermeiden. Vielleicht treffen unsere Einwinde tiberhaupt nicht den Inhalt des entworfenen Bildes, sondern nur die Form der Darstellung dieses Inhalts. Wir sind gewiss nicht zu streng, wenn wir meinen, diese Darstellung sei noch niemals zur wissenschaft- lichen Vollendung durchgedrungen, es fehle ihr noch durchaus die hinreichend scharfe Unterscheidung dessen, was in dem entworfenen Bilde aus Denknotwendigkeit, was aus der Er- fahrung, was aus unserer Willkiir stammt. In diesem Urteile treffen wir zusammen mit hervorragenden Physikern, welche sich mit diesen Fragen beschiftigt und tiber dieselben geiulsert haben,?) freilich ohne dafs von einer Ubereinstimmung aller gesprochen werden kénnte.?) Jenes Urteil findet ferner eine Bestaétigung in der wachsenden Sorgfalt, welche in den neueren Lehrbiichern der Mechanik der logischen Zergliederung der Elemente gewidmet wird.’) In Ubereinstimmung mit den Verfassern dieser Lehrbiicher und mit jenen Physikern sind wir selbst der Uberzeugung, dafs die vorhandenen Liicken nur Liicken der Form sind, und durch geeignete Anordnung der Definitionen, Bezeichnungen und weiter durch vorsichtige Aus- drucksweise jede Unklarheit und Unsicherheit vermieden werden kann. In diesem Sinne geben wir, wie Jedermann, die Zu- lissigkeit des Inhalts der Mechanik zu. Es erfordert aber die Wirde und Grisse des Gegenstandes durchaus, dafs die logische Reinheit nicht nur mit gutem Willen zugegeben, sondern dals sie durch eine vollendete Darstellung auch so erwiesen werde, dafs es nicht méglich sei, sie auch nur zu verdachtigen.

Siehe E. Maca, Die Mechanik in ihrer Entwickelung. Leipzig 1883, 8. 228. Siehe ferner in der ,,Nature“ von 1898 eine neuerdings von Herrn O. Lopez angeregte und im Schofse der Physical Society in London fortgefihrte Diskussion iiber die Grundgesetze der Mechanik.
Siehe Tsomson & Tarr, Theoretische Physik, § 205 ff.
Siehe E. Buppe, Allgemeine Mechanik der Punkte und starren Systeme, Berlin 1890, S. 111—138. Die daselbst gegebene Darstellung giebt zugleich ein deutliches Bild von der Gréfse der Schwierigkeiten, welchen die widerspruchsfreie Anwendung der Elemente begegnet.

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Leichter und der allgemeinen Zustimmung sicherer kénnen wir das Urteil fallen ttber die Richtigkeit des von uns betrach- teten Bildes. Niemand wird widersprechen, wenn wir ver- sichern, dafs diese Richtigkeit nach dem ganzen Umfange ‘unserer bisherigen Erfahrung eine vollkommene sei, dafs alle diejenigen Ziige unseres Bildes, welche tiberhaupt den Anspruch machen, beobachtbare Beziehungen der Dinge wiederzugeben, solchen Beziehungen auch wirklich und richtig entsprechen. Wir beschranken allerdings unsere Zuversicht auf den Inhalt der bisherigen Erfahrung; was zukinftige Erfahrungen anlangt, so werden wir noch Gelegenheit haben, auf die Frage nach der Richtigkeit zuriickzukommen. Manchem wird freilich diese Vorsicht nicht nur iibertrieben, sondern geradezu sinnwidrig diinken; in der Meinung vieler Physiker erscheint es als einfach undenkbar, dafs auch die spi&teste Erfahrung’ an den fest- stehenden Grundsitzen der Mechanik noch etwas zu andern finden kénne. Und doch kann das was aus Erfahrung stammt, durch Erfahrung wieder vernichtet werden; jene allzuginstige Meinung von den Grundgesetzen kann also offenbar nur des- halb entstehen, weil in ihnen die Elemente der Erfahrung einigermafsen versteckt und mit den unabinderlichen denk- notwendigen Elementen verschmolzen sind. Die logische Un- bestimmtheit der Darstellung, welche wir vorher schlechtweg riigten, bietet also auch einen gewissen Vorteil; sie giebt den Fundamenten den Schein der’ Unabanderlichkeit; es war viel- leicht in den Anfangen der Wissenschaft weise, sie einzufiihren und eine zeitlang bestehen zu lassen. Man stellte die Richtig- keit des Bildes auf alle Falle sicher dadurch, dafs man sich vor- behielt im Notfalle aus einer Erfahrungsthatsache eine Definition zu machen oder umgekehrt. In einer vollendeten Wissenschaft aber ist solches Tasten, ein solcher Schein der Sicherheit nicht erlaubt; in der gereiften Erkenntnis ist die logische Reinheit in erster Linie zu bericksichtigen; nur logisch reine Bilder sind zu prtifen auf ihre Richtigkeit, nur richtige Bilder zu ver- gleichen nach ihrer Zweckmafsigkeit. Das dringende Bedirfnis verfahrt oft umgekehrt: Die Bilder werden erfunden passend fir einen beabsichtigten Zweck, dann geprift auf ihre Richtig- keit, endlich und zuletzt gesiubert von inneren Wider- spriichen.

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Ist diese letzte Bemerkung nur einigermafsen zutreffend, so erscheint es uns nur natiirlich, dafs das betrachtete System der Mechanik hiéchste Zweckmalsigkeit aufweist, sobald es angewandt wird auf die einfachen Erscheinungen, fiir welche es zuerst erdacht wurde, also vor allem auf die Wirkang der Schwerkraft und die Aufgaben der praktischen Mechanik. Wir diirfen uns aber hierbei nicht beruhigen, wir haben uns zu erinnern, dafs wir hier nicht die Bediirfnisse des taglichen Lebens und nicht den Standpunkt vergangener Zeiten vertreten wollen, dafs wir vielmehr den gesamten Umfang der heutigen physikalischen Erkenntnis ins Auge fassen und dafs wir iiber- dies von der Zweckmafsigkeit in einem besonderen Sinne reden, welchen wir im Kingange genau bestimmt haben. Darnach haben wir die Pflicht, zunichst zu fragen: Ist das entworfene Bild vollkommen deutlich? Enthalt es alle Ziige, welche die heutige Erkenntnis an den natiirlichen Bewegungen zu unter- scheiden vermag? Diese Frage beantworten wir nun ent- schieden mit nein. Nicht alle Bewegungen, welche die Grund- gesetze zulassen und welche die Mechanik als mathematische Ubungsaufgaben behandelt, kommen in der Natur vor; wir kénnen von den natiirlichen Bewegungen, Kriften, festen Ver- bindungen mehr aussagen, als es die angenommenen Grund- gesetze thun. Seit der Mitte dieses Jahrhunderts sind wir fest tiberzeugt, dafs keine Krafte in der Natur wirklich vor- kommen, welche eine Verletzung des Prinzips von der Erhal- tung der Energje bedingen wiirden. Weit dlter ist die Uber- zeugung, dafs nur solche Krafte vorkommen, welche sich darstellen lassen als Summe von Wechselwirkungen zwischen unendlich kleinen Elementen der Materie. Auch diese Ele- mentarkrifte sind nicht frei. Als allgemein zugegebene Kigen- schaften derselben kénnen wir anfiihren, dass sie unabhingig sind vom absoluten Werte der Zeit und vom absoluten Orte im Raume. Andere Kigenschaften sind umstritten. Man hat bald vermutet, bald in Frage gestellt, ob die Klementarkrafte nur bestehen kénnen in Anziehungen und Abstofsungen nach der Verbindungslinie der wirkenden Massen; ob ihre Gréfse nur bedingt sei durch die Entfernung oder ob sie nicht auch ab- hingen kénne von der absoluten oder der relativen Geschwin- digkeit und nur von dieser, oder ob nicht auch die Be-

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schleunigung oder noch héhere Differentialquotienten des Wegs nach der Zeit in Betracht kommen kénnten. So wenig man sich also einig ist tiber alle bestimmten EKigenschaften, welche den Elementarkriften beizulegen sind, so sehr stimmt man doch iiberein in der Meinung,. dafs sich mehr solche allge- meine Higenschaften angeben und aus der schon vorhandenen Beobachtung ableiten lassen, als die Grundgesetze enthalten. Man ist tiberzeugt, dafs die Elementarkrafte, unbestimmt ge- sprochen, einfacher Natur sein miissen. Was in dieser Hin- sicht von den Kriften gilt, kann man in gleicher Weise von den festen Verbindungen der Kérper sagen, welche mathe- matisch durch Bedingungsgleichungen zwischen den Koordinaten dargestellt werden und deren Kinflufs durch das p’ ALEMBERT- sche Prinzip bestimmt ist. Mathematisch kann man jede be- liebige endliche oder Differentialgleichung zwischen den Ko- ordinaten hinschreiben und verlangen, dafs sie befriedigt werde; aber nicht immer la{st sich eine physikalische, eine natiirliche Verbindung angeben, welche die Wirkung jener Gleichung hat; oft liegt die Vermutung, bisweilen die Uberzeugung vor, dats eine solche Verbindung durch die Natur der Dinge ausge- schlossen sei. In welcher Weise aber sind die zulassigen Be- dingungsgleichungen einzuschranken? Wo ist die Grenzlinie zwischen ihnen und den vorstellbaren? Man hat sich hiufig begniigt, nur endliche Bedingungsgleichungen in Betracht zu ziehen. Diese Einschrinkung aber geht zu weit, denn nicht integrierbare Differentialgleichungen kénnen als Bedingungs- gleichungen bei natirlichen Problemen wirklich auftreten.

Kurzum, sowohl was die Krifte, als was die festen Ver- bindungen anlangt, enthalt unser System der Prinzipien zwar alle die natiirlichen Bewegungen, aber es umfingt gleichzeitig sehr viele Bewegungen, welche nicht natiirliche sind. Ein System, welches diese letzteren oder doch einen Teil derselben ausschlésse, wiirde mehr wirkliche Beziehungen der Dinge zu einander wiederspiegeln und also in diesem Sinne zweckmalsiger sein. Doch haben wir die Pflicht, auch noch in einer zweiten Richtung nach der Zweckmia(sigkeit unseres Bildes zu fragen. Ist unser Bild auch einfach? Ist es sparsam an unwesent- lichen Ziigen, an Ziigen also, welche von uns zwar zulassiger

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aber doch willkirlicher Weise den wesentlichen Ziigen der Natur hinzugefiigt werden? Unsere Bedenken bei Beantwortung dieser Frage kniipfen sich wiederum an den Begriff der Kraft. Es kann nicht geleugnet werden, dafs in sebr vielen Fallen die Krafte, welche unsere Mechanik zur Behandlung physika- lischer Fragen einfihrt, nur als leergehende Nebenrader mit- laufen, um itberall da aufser Wirksamkeit zu treten, wo es gilt, wirkliche Thatsachen darzustellen. In den einfachen Ver- haltnissen, an welche die Mechanik urspringlich ankniipfte, ist das freilich nicht der Fall. Die Schwere eines Steines, die Kraft des Armes scheinen ebenso wirklich, ebenso der unmittelbaren Wahrnehmung zuginglich, wie die durch sie er- zeugten Bewegungen. Aber wir brauchen nur etwa zur Bewegung der Gestirne tiberzugehen, um schon andere Verhiltnisse zu haben. Hier sind die Krafte niemals Gegenstand der unmittel- baren Erfahrung gewesen; alle unsere friheren Erfahrungen beziehen sich nur auf den scheinbaren Ort der Gestirne. Wir erwarten auch in Zukunft nicht die Krafte wahrzunehmen, sondern die zukinftigen Erfahrungen, welche wir erwarten, betreffen wiederum nur die Lage der. leuchtenden Punkte am Himmel, als welche uns die Gestirne erscheinen. Nur bei der Ableitung der zuktinftigen Erfahrungen aus den vergangenen treten als Hilfsgréfsen voriibergehend die Cravitationskrafte ein, um wieder aus der Uberlegung zu verschwinden. Ganz allgemein liegt die Sache so bei der Betrachtung der mole- kularen Krafte, der chemischen, vieler elektrischen und magne- tischen Wirkungen. Und wenn wir nun nach reiferer Erfahrung zuriickkehren zu den einfachen Kraften, tiber deren Bestehen wir keinen Zweifel hatten, so werden wir belehrt, dalfs diese mit tiberzeugender Gewifsheit von uns wahrgenommenen Krifte jedenfalls nicht wirkliche waren. Der Trieb jedes Kérpers gegen die Erde hin, welchen wir mit. Handen zu greifen glaubten, dieser Trieb, so sagt uns die reifere Mechanik, ist als solcher nicht wirklich, er ist das als Einzelkraft nur vor- gestellte Ergebnis einer unfafsbaren Anzahl wirklicher Krifte, welche die Atome des Kérpers gegen alle Atome des Weltalls hinziehen. Auch hier sind dann also die wirklichen Krifte niemals Gegenstand der friitheren Erfahrung gewesen, noch - erwarten wir sie in zukinftigen Erfahrungen anzutreffen. Nur

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wihrend des Prozesses, mit welchem wir die zukinftigen Er- fahrungen aus den vergangenen ableiten, treten sie leise ein und wieder aus. Doch selbst wenn die Krifte nur von uns in die Natur hineingetragen waren, dirften wir darum ihre Kinfihrung noch nicht als unzweckmifsig bezeichnen. Wir waren uns von vornherein klar dariiber, dafs sich unwesent- liche Nebenbeziehungen in unsern Bildern nicht ganz wirden vermeiden lassen. Nur miglichste Kinschrankung dieser Be- ziehungen, nur weise Besonnenheit in ihrem Gebrauch durften wir verlangen. Kann man aber behaupten, dalfs die Physik in dieser Richtung immer mit Sparsamkeit zu Wege gehen konnte? Mulste sie nicht vielmehr die Welt bis zum Ubermals erfiillen mit den verschiedensten Arten von Kraften, mit Kriaften, welche selbst niemals in die Erscheinung treten, sogar mit solchen, welche nur ganz ausnahmsweise iiberhaupt eine Wirkung haben? Wir sehen etwa ein Stik Eisen auf dem Tische ruhen, wir vermuten demnach, dafs keine Bewegungs- ursachen, keine Krifte daseien. Die Physik, welche auf unserer

Mechanik aufgebaut und durch dies Fundament notwendig bestimmt ist, belehrt uns eines anderen. Jedes Atom des Kisens wird zu jedem anderen Atom des Weltalls durch die Gravitationskraft hingezogen. Jedes Atom des EHisens ist aber auch magnetisch und dadurch mit jedem anderen magnetischen Atom des Weltalls durch neue Krifte verbunden. Aber die Korper des Alls sind auch erfillt mit bewegter Elektricitat und von diesen bewegten Elektricitiiten gehen weitere ver- wickelte Krafte aus, welche an jedem magnetischen Atom des Eisens ziehen. Und insofern die Teile des Kisens selbst Elek- tricitaét enthalten, haben wir wieder andere Kriafte in Betracht zu ziehen; neben diesen dann noch verschiedene Arten von Molekularkraften. Einige dieser Krafte sind nicht klein; ware von allen Kraften nur ein Teil wirksam, so kénnte dieser Teil das Eisen in Sticke reifsen. In Wahrheit aber sind alle Krafte so gegen einander abgeglichen, dafs die Wirkung der gewaltigen Zurtistung Null ist; dafs trotz tausend vorhandenen Bewegungsursachen Bewegung nicht eintritt; dafs das Hisen eben ruht. Wenn wir nun diese Vorstellungen unbefangen Denkenden vortragen, wer wird uns glauben? Wen werden wir tiberzeugen, dafs wir noch von wirklichen Dingen reden und

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nicht von Gebilden einer ausschweifenden Einbildungskraft? Wir selbst aber werden nachdenklich werden, ob wir wirk- lich die Ruhe des Eisens und seiner Teile in einfacher Weise geschildert und abgebildet haben. Ob sich die Verwickelung tiberhaupt vermeiden lafst, ist zunachst ja fraglich; aber das ist nicht fraglich, dafs ein System der Mechanik, welches sie vermeidet oder ausschliefst, einfacher und in diesem Sinne zweckmiifsiger ist, als das hier betrachtete, welches solche Vorstellungen nicht nur zulafst, sondern uns geradezu aufzwingt.

Fassen wir noch einmal in kiirzester Form die Bedenken zusammen, welche uns bei Betrachtung der gewdhnlichen Dar- stellungsweise der Prinzipien der Mechanik aufstiefsen. Was die Form anlangt, schien uns, dafs der logische Wert der einzelnen Aussagen nicht hinreichend klar festgelegt worden sei. Was die Sache anlangt, schien uns, dafs die von der Mechanik betrachteten Bewegungen sich nicht véllig mit den zu betrachtenden natiirlichen Bewegungen decken. Manche Higenschaften der natiirlichen Bewegungen werden in der Mechanik nicht beriicksichtigt; viele Beziehungen, welche die Mechanik betrachtet, fehlen wahrscheinlich in der Natur. Auch wenn diese Ausstellungen als gerechtfertigt anerkannt werden, dirfen sie uns freilich nicht zu der Meinung verleiten, dals die gewdhnliche Darstellung der Mechanik ihren Wert und ihre bevorzugte Stellung deshalb einbiifsen miisse oder je ein- biifsen werde; aber sie rechtfertigen es doch hinreichend, dafs wir uns auch nach anderen Darstellungen umsehen, welche in den getadelten Beziehungen Vorteile bieten und den darzustellen- den Dingen noch enger angepalst sind.

Ein zweites Bild der mechanischen Vorginge ist weit jinmgeren Ursprungs als das erste. Seine Entwickelung aus und neben jenem ist eng verknipft mit den Fortschritten,

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welche die physikalische Wissenschaft in den letzten Jahr- zebnten gemacht hat. Noch bis in die Mitte des Jahrhunderts erschien als letztes Ziel und als letzte anzustrebende Er- klarung der Naturerscheinungen die Riickfihrung derselben auf unzahlige Fernkrifte zwischen den Atomen der Materie. Diese Anschauungsweise entsprach vollstindig dem Systeme der mechanischen Prinzipien, welches wir als das erste bezeichnet haben; sie wurde durch jenes bedingt, wie jenes durch sie. Jetzt, gegen Ende des Jahrhunderts hat die Physik einer anderen Denkweise ihre Vorliebe zugewandt. Beeinflufst von dem tiberwiltigenden Eindrucke, welchen die Auffindung des Prinzipes von der Erhaltung der Energie ihr gemacht hat, liebt sie es, die in ihr Gebiet fallenden Erscheinungen als Umsetzungen der Energie in neue Formen zu behandeln, und die Rickfihrung der Erscheinungen auf die Gesetze der Energieverwandlung als ihr letztes Ziel zu betrachten. Diese Behandlungsart kann auch schon von vornherein auf die elementaren Vorginge der Bewegung selbst angewandt werden; alsdann entsteht eine neue, von der ersten ver- schiedene Darstellung der Mechanik, in welcher von An- fang an der Begriff der Kraft zuricktritt zu Gunsten des Begriffs der Energie. Eben dieses so entstandene neue Bild der elementaren Bewegungsvorgange ist es, welches wir als das zweite bezeichnen und welchem wir jetzt unsere Aufmerksamkeit widmen wollen. Wenn wir bei Be- sprechung des ersten Bildes den Vorteil hatten, dafs wir das Bild selbst als deutlich vor dem Auge aller Physiker stehend voraussetzen konnten, so ist das bei diesem zweiten Bilde nun freilich nicht der Fall. Dasselbe ist sogar wohl noch niemals in allen seinen EKinzelheiten ausgemalt worden, es giebt meines Wissens kein Lehrbuch der Mechanik, welches sich von vornherein auf den Standpunkt der Energielehre stellte, und den Begriff der Energie vor dem Begriff der Kraft ein- fahrte. Vielleicht ist auch noch niemals eine Vorlesung tber Mechanik nach diesem Plane eingerichtet worden. Aber die Méglichkeit eines solchen Planes hat schon den Begriindern der Energielehre eingeleuchtet; die Bemerkung, dafs man auf diese Weise den Begriff der Kraft mit seinen Schwierigkeiten

vermeiden kénne, ist dfters gemacht; in einzelnen besonderen Hertz, Mechanik. 2

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Anwendungen treten in der Wissenschaft immer hiufiger Schlussreihen auf, welche ganz dieser Denkweise angehéren. Wir kénnen daher recht wohl eine Skizze entwerfen, welche uns die groben Umrisse des Bildes vorfihrt; wir kénnen im allgemeinen den Plan angeben, nach welchem die beabsichtigte Darstellung der Mechanik geordnet werden miifste. Wie im ersten Bilde, so gehen wir auch hier aus von vier von einander unabhiangigen Grundbegriffen, deren Beziehungen zu einander den Inhalt der Mechanik bilden sollen. Zwei derselben haben einen mathematischen Charakter: Raum und Zeit; die beiden anderen: Masse und Energie, werden eingefithrt als in ge- gebener Menge vorhandene, unzerstérbare und unvermehrbare physikalische Wesenheiten. Freilich wird es nétig sein, neben dieser Erklirung auch deutlich anzugeben, durch welche kon- kreten Erfahrungen wir in letzter Instanz das Vorhandensein von Masse und Energie feststellen wollen. Hier nehmen wir an, dass dies méglich und dass es geschehen sei. Dass die Menge der Energie, welche mit bestimmten Massen verbunden ist, von dem Zustande dieser Massen abhangig ist, ist selbst- verstandlich. Es ist aber als eine erste allgemeine Erfahrung einzufihren, dafs die vorhandene Energie sich stets in zwei Teile zerfillen lafst, von welchen der eine allein durch die gegenseitige Lage der Massen bedingt ist, der andere aber von ihrer absoluten Geschwindigkeit abhangt. Der erste Teil wird als potentielle Energie, der zweite Teil als kinetische Energie definiert. Die Form fir die Abhingigkeit der kine- tischen Energie von der Geschwindigkeit der bewegten Kérper ist in allen Fallen die gleiche und bekannt; die Form fur die Abhiangigkeit der potentiellen Energie von der Lage der Kérper kann nicht allgemein angegeben werden, sie bildet vielmehr die besondere Natur und die charakteristische Higentiimlich- keit der gerade betrachteten Massen. Es ist die Aufgabe der Physik, diese Form fir die uns umgebenden Naturkérper aus friheren Erfahrungen zu ermitteln. Bis hierher treten in den Betrachtungen im wesentlichen nur drei Elemente, namlich Raum, Masse und Energie in Beziehung. Um die Beziehungen aller vier Grundbegriffe und damit den zeitlichen Ablauf der Erscheinungen festzulegen, bedienen wir uns eines der Inte- gralprinzipien der gewdhnlichen Mechanik, welche sich zu ihren

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Aussagen des Energiebegrifis bedienen. Welches derselben wir anwenden, ist ziemlich gleichgiltig; wir kénnen und wir wollen etwa das Hammiron’sche Princip wahlen. Wir wiirden dann also als einziges erfahrungsmifsiges Grundgesetz der Mechanik den Satz aufstellen, dafs jedes System natiirlicher Massen sich so bewegt, als sei ihm die Aufgabe gestellt, ge- gebene Lagen in gegebener Zeit zu erreichen und zwar in solcher Weise, dafs die Differenz zwischen kinetischer und potentieller Energie im Mittel tiber die ganze Zeit so klein ausfalle wie miéglich. Ist dieses Gesetz auch in der Form nicht einfach, so giebt es doch durch eine einzige Bestimmung die natirlichen Umwandlungen der Energie zwischen ihren Formen in eindeutiger Weise wieder, es gestattet daher den Ablauf der wirklichen Erscheinungen fiir die Zukunft voll- stindig vorauszubestimmen. Mit der Aufstellung dieses neuen Gesetzes sind die unentbehrlichen Grundlagen der Mechanik abgeschlossen. Was wir noch hinzufigen kénnen, sind nur mathematische Ableitungen und etwa. Vereinfachungen oder Hilfsbezeichnungen, welche vielleicht zweckmalsig, aber jeden- falls nicht notwendig sind. Zu diesen letzteren gehért dann auch der Begriff der Kraft, welcher in den Grundlagen selbst nicht auftrat. Seine Hinfihrung ist zweckmafsig, sobald wir nicht nur Massen in Betracht ziehen, welche mit konstanten Mengen von Energie verbunden sind, sondern auch solche Massen, welche Energie an andere Massen abgeben oder von ihnen empfangen. Aber die Hinfitthrung geschieht nicht durch neue Erfahrung, sondern durch eine Definition, welche in mehr als einer Weise gefafst werden kann. Dementsprechend sind auch die Higenschaften der so definierten Krifte nicht aus der Erfahrung zu ermitteln, sondern lassen sich aus der De- finition und dem Grundgesetz ableiten und selbst die Be- stitigung dieser Higenschaften durch die Erfahrung ist iiber- flissig, es wire denn, dafs man noch an der Richtigkeit des ganzen Systems zweifelte. Der Kraftbegriff als solcher kann also in diesem System keine logischen Schwierigkeiten mehr bereiten; auch fir die Beurteilung der Richtigkeit des Systems kann er nicht in Frage kommen, nur auf die grifsere oder kleinere Zweckmifsigkeit desselben kann er Hinflufs haben.

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In der angedeuteten Weise also hatten wir etwa die Prinzipien der Mechanik zu ordnen, um sie der Anschauungs- weise der Energielehre anzupassen. Es fragt sich nun aber, ob das entstandene zweite Bild vor dem erstbetrachteten etwas voraus habe, und wir wollen deshalb seine Vorziige und Nach- teile naher ins Auge fassen.

Diesmal liegt es in unserem Interesse, dafs wir uns zu- erst an die Zweckmilsigkeit halten, weil in Bezug auf diese ein Fortschritt am unzweifelhaftesten hervortritt. Denn unser zweites Bild der natirlichen Bewegungen ist zunachst ent- schieden deutlicher; es giebt mehr Kigentiimlichkeiten derselben wieder als das erste. Wenn wir das Hammron’sche Prinzip aus den allgemeinen Grundlagen der Mechanik ableiten wollen, miissen wir den letzteren gewisse Voraussetzungen fiber die wirkenden Krafte und iiber die Beschaffenheit etwaiger fester Verbindungen hinzufigen. Diese Voraussetzungen sind hidchst allgemeiner Art, aber sie bedeuten darum doch ebenso viele wichtige Einschrinkungen der durch das Prinzip dargestellten Bewegungen. Und umgekehrt lassen sich daher auch aus dem Prinzip eine ganze Reihe von Beziehungen, insbesondere von Wechselbeziehungen zwischen jeder Art von méglichen Kraften ableiten, welche in den Prinzipien des ersten Bildes fehlen, welche aber in dem zweiten Bilde, und gleichzeitig, worauf es ankommt, in der Natur sich finden. Der Nachweis, dafs dem so sei, bildet den eigentlichen Inhalt und das Ziel der Arbeiten, welche von Hetmnonrz unter dem Titel: ,,Uber die physi- kalische Bedeutung des Prinzips der kleinsten Wirkung“ ver- éffentlicht hat. Wir treffen aber die Sachlage wohl genauer, wenn wir sagen, die Thatsache selbst, welche bewiesen werden soll, bilde die Entdeckung, welche in jener Arbeit mitgeteilt und dargelegt wird. Denn einer Entdeckung bedurfte in der That die Erkenntnis, dafs aus so allgemeinen Voraussetzungen sich so besondere, wichtige und zutreffende Folgerungen ziehen lassen. Auf jene Abhandlung kénnen wir uns daher auch berufen zur Erhartung unserer Behauptung im einzelnen, und insofern jene Abhandlung zur Zeit den Aufsersten Fort- schritt der Physik bezeichnet, kinnen wir uns der Frage aber- hoben halten, ob ein noch engerer Anschlufs an die Natur

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erreichbar sei, etwa durch Einschrinkung der fir die poten- tielle Energie zulassigen Formen. Lieber wollen wir betonen, dafs unser jetziges Bild auch in Hinsicht der Einfachheit die Klippen vermeidet, an welchen die Zweckmalsigkeit unseres ersten Bildes sich gefahrdet fand. Denn fragen wir nach dem eigentlichen Grunde, aus welchem die Physik es heutzutage liebt, ihre Betrachtungen in der Ausdrucksweise der Energie- lehre zu halten, so diirfen wir antworten: weil sie es auf diese Weise am besten vermeidet, von Dingen zu reden, von welchen sie sehr wenig weifs und welche auf die wesentlich beabsich- tigten Aussagen auch keinen Hinflufs haben. Wir bemerkten schon gelegentlich, dafs die Riickfiihrung der Erscheinungen auf die Kraft uns zwingt, unsere Uberlegung bestindig an die Betrachtung der einzelnen Atome und Molekiile anzukniipfen. Nun sind wir ja allerdings gegenwiartig tiberzeugt davon, dals die wigbare Materie aus Atomen besteht; auch haben wir von der Gréfse dieser Atome und ihren Bewegungen in gewissen Fallen einigermafsen bestimmte Vorstellungen. Aber die Ge- stalt der Atome, ihr Zusammenhang, ihre Bewegungen in den meisten Fallen, alles dies ist uns ganzlich verborgen; ihre Zahl ist in allen Fallen uniibersehbar grofs. Unsere Vor- stellung von den Atomen ist daher selbst ein wichtiges und interessantes Ziel weiterer Forschung, keineswegs aber ist sie besonders geeignet, als bekannte und gesicherte Grundlage mathematischer Theorieen zu dienen. Einen so streng den- kenden Forscher, wie es Gustav KracuHorr war, berihrte es daher fast peinlich, die Atome und ihre Schwingungen ohne zwingende Notwendigkeit in den Mittelpunkt einer theoretischen Ableitung gestellt zu sehen. Die willkirlich angenommenen Eigenschaften der Atome mégen ohne Hinflufs auf das End- resultat sein, das letztere mag richtig sein. Gleichwohl sind die Kinzelheiten der Ableitung selbst zum grofsen Teile mut- mafslich falsch, die Ableitung ist ein Scheinbeweis. Die Altere Denkweise der Physik lafst hier kaum eine Wahl, einen Aus- weg zu. Dagegen bietet die Auffassung der Energielehre und damit unser zweites Bild der Mechanik den Vorteil, dafs in die Voraussetzungen der Probleme nur die der Erfahrung un- mittelbar zuganglichen Merkmale, Parameter, oder willkiirlichen Koordinaten der betrachteten Kérper eintreten; dafs die Be-

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trachtungen mit Hiilfe dieser Merkmale in endlicher und ge- schlossener Form fortschreiten und dafs auch das Endresultat unmittelbar wieder in greifbare Erfahrung kann iibersetzt werden. Aufser der Energie selbst in ihren wenigen Formen treten keine Hilfskonstruktionen in die Betrachtung ein. Unsere Aussagen kénnen sich auf die bekannten Kigentiimlichkeiten der betrachteten Kirpersysteme beschrinken, ohne dals wir unsere Unkenntnis der Einzelheiten durch willkiirliche und ein- flufslose Hypothesen verdecken miifsten. Nicht nur das End- resultat, sondern auch alle Schritte der Ableitung desselben kénnen als richtig und sinnvoll vertreten werden. Dies sind die Vorziige, welche diese Methode der heutigen Physik lieb gemacht haben, welche also auch unserem zweiten Bilde der Mechanik eigen sind, und welche wir in unserer Bezeichnungsweise als Vor- ztige der Hinfachheit, also der Zweckmafsigkeit aufzufassen haben.

Leider werden wir wieder unsicherer tiber den Wert unseres Systems, wenn wir seine Richtigkeit und seine logische Zulassigkeit priifen. Schon die Frage nach der Richtigkeit giebt zu gerechtfertigten Zweifeln Anlafs. Keineswegs diirfen wir der Ubereinstimmung mit der Natur schon deshalb sicher sein, weil sich das Hamiuton’sche Prinzip ja auch aus den zugegebenen Grundlagen der NewrTon’schen Mechanik ableiten lafst. Wir haben zu bedenken, dafs diese Ableitung nur dann stattfindet, wenn gewisse Voraussetzungen zutreffen, und dafs anderseits unser System nicht nur den Anspruch macht, einige Bewegungen der Natur richtig zu beschreiben, sondern dafs es behauptet, alle Bewegungen der Natur zu umfassen. Wir haben also zu untersuchen, ob auch wirklich neben den Newton’schen Gesetzen jene besondern Voraussetzungen All- gemeingiltigkeit haben, und ein einziges Beispiel der Natur, welches widerspriche, wiirde die Richtigkeit des Systems als solches umwerfen, wenn es auch die Giiltigkeit des Hammron- schen Prinzips als allgemeinen Lehrsatzes nicht im mindesten erschitterte. Hier entsteht nun das Bedenken nicht sowohl ob unser Bild die gesamte Mannigfaltigkeit der Krifte, sondern ob es auch wirklich die gesamte Mannigfaltigkeit der starren Verbindungen enthielte, welche zwischen den Kérpern der Natur auftreten kénnen. Die Anwendung des Hamiiron’schen

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Prinzips auf ein materielles System schliesst nicht aus, dafs zwischen den gewahiten Koordinaten desselben feste Zusammen- hinge bestehen, aber es verlangt immerhin, dafs diese Zu- sammenhinge sich mathematisch ausdriicken lassen durch endliche Gleichungen zwischen den Koordinaten; es gestattet nicht das Auftreten solcher Zusammenhiange, welche mathe- matisch nur durch Differentialgleichungen wiedergegeben werden kénnen. Die Natur selbst aber scheint Zusammenhinge der letzteren Art nicht einfach auszuschliessen. Denn dieselben treten zum Beispiel auf, sobald dreidimensionale Kérper mit ihren Oberflichen ohne Gleitung auf einander rollen. Durch diese Verbindung, welche wir in unserer Umgebung oft vor- finden, ist die Lage beider Kérper zu einander nur insofern beschrankt, als sie stets einen Punkt der Oberfliche gemein haben miissen; die Bewegungsfreiheit der Kérper aber ist noch um einen Grad weiter beschrankt. Es lassen sich also aus der Verbindung mehr Gleichungen zwischen den Anderungen der Koordinaten herleiten als zwischen den Koordinaten selbst, unter jenen muss daher mindestens eine sein, welche mathe- matisch als eine nicht integrabele Differentialgleichung zu bezeichnen ist. Auf derartige Fille nun gestattet das Hamm- ton’sche Prinzip keine Anwendung mehr, oder genau ge- sprochen: Die mathematisch mégliche Anwendung des Prinzips fihrt zu physikalisch falschen Resultaten. Man beschrinke die Betrachtung auf den einfachen Fall einer Kugel, welche allein ihrer Trigheit folgend auf einer festen horizontalen Ebene ohne Gleitung rollt; man kann hier ganz wohl durch blofse Betrachtung ohne Rechnung sowohl die Bewegungen tibersehen, welche die Kugel wirklich ausfihren kann, als auch die Bewegungen, welche dem Hammrton’schen Prinzip ent- sprechen wiirden und welche so ausfallen miifsten, dafs die Kugel bei konstanter lebendiger Kraft gegebene Ziele in kiir- zester Zeit erreicht. Man kann sich daher auch ohne Rechnung tiberzeugen, dafs beide Arten von Bewegungen sehr verschiedene Eigentiimlichkeiten aufweisen. Wahlen wir Anfangs- und Endlage der Kugel beliebig aus, so giebt es doch offenbar stets einen bestimmten Ubergang aus einer zur andern, auf welchem die Zeit des Ubergangs, also das Hamiuron’sche Integral ein Minimum wird. In Wahrheit ist aber gar nicht

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aus jeder Lage in jede andere ohne die Mitwirkung von Kriften ein natiirlicher Ubergang méglich, wenn auch die Wahl der Anfangsgeschwindigkeit vollkommen frei steht. Aber selbst dann, wenn wir Anfangs- und Endlage so wihlen, dafs eine natiirliche freie Bewegung zwischen beiden méglich ist, so ist dies gleichwohl nicht diejenige, welche dem Minimum der Zeit entspricht. Bei gewissen Anfangs- und Endlagen kann der Unterschied sehr auffallend sein. In diesem Falle wiirde eine Kugel, welche dem Prinzip gemiifs sich bewegte, entschieden den Schein eines belebten Wesens annehmen, welches ziel- bewulst einer bestimmten Lage zusteuert, wihrend neben ihr die Kugel, welche dem Gesetze der Natur folgt, den Hindruck einer toten, gleichférmig dahinkreiselnden Masse hervorrufen wiirde. Es wiirde nichts helfen, wollten wir an Stelle des Hamiuton’schen Prinzips das Prinzip der kleinsten Wirkungen oder ein anderes Integralprinzip in den Vordergrund ricken, da alle diese Prinzipien nur einen geringen Unterschied der Bedeutung aufweisen und sich in der hier betrachteten Hin- ‘sicht ganz gleich verhalten. Ubrigens ist der Weg vorgezeichnet, auf welchem allein wir das System verteidigen und gegen den Vorwurf der Unrichtigkeit in Schutz nehmen kénnen. Wir haben zu leugnen, dafs starre Verbindungen der angefthrten Art mit Strenge in der Natur wirklich vorkommen. Wir haben auszufiihren, dafs jedes sogenannte Rollen ohne Gleitung in Wahrheit ein Rollen mit geringer Gleitung, also ein Vor- gang der Reibung sei. Wir haben uns darauf zu berufen, dafs ganz allgemein die Vorginge in reibenden Flachen zu den- jenigen gehéren, welche noch nicht auf klar verstandene Ur- sachen zuriickgefihrt werden kénnen, sondern fiir welche nur gerade empirisch die erzeugten Krafte ermittelt sind; daher gehére das ganze Problem zu denjenigen, zu deren Behandlung zur Zeit die Beniitzung der Krafte und damit der Umweg tiber die gewéhnlichen Methoden der Mechanik noch nicht vermieden werden kénne. Uberzeugend wirkt freilich diese Verteidigung nicht. Denn ein Rollen ohne Gleiten widerspricht weder dem Energieprinzipe noch einem anderen allgemein an- erkannten Grundsatze der Physik; der Vorgang ist in der sichtbaren Welt mit so grofser Ann&herung verwirklicht, dafs man sogar Integrationsmaschinen auf die Voraussetzung seines

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genauen Eintretens gegriindet hat; wir haben daher kaum ein Recht, sein Vorkommen als unméglich auszuschliefsen, am wenigsten aus der Mechanik noch unbekannter Systeme, wie es die Atome oder die Teile des Athers sind. Aber selbst: wenn wir zugeben, dass die fraglichen Verbindungen in der Natur nur angendhert verwirklicht sind, selbst dann bereitet uns das Versagen des Hamiuron’schen Prinzips in diesen Fallen Schwierigkeiten. Von jedem Grundgesetze unseres mechanischen Systems werden wir verlangen miissen, dafs es angewandt auf angenahert richtige Verhiltnisse immer noch angenahert richtige Resultate gebe, nicht aber ganzlich falsche. Denn da schliesslich alle starren Zusammenhinge, welche wir der Natur entnehmen und in die Rechnung einfiithren, den wirklichen Verhaltnissen nur angenihert entsprechen, so ge- raten wir sonst in ginzliche Unsicherheit, auf welche unter ihnen wir das Gesetz iiberhaupt noch anwenden diirfen, auf welche nicht mehr. Doch wollen wir die vorgetragene Ver- teidigung auch nicht ginzlich verwerfen; wir wollen entgegen- kommend zugeben, dafs die aufgeworfenen Zweifel nur die Zweckmilsigkeit des Systems, nicht aber seine Richtigkeit betreffen, so dafs die aus ihnen entspringenden Nachteile durch andere Vorteile aufgewogen werden kénnen.

Die wahren Schwierigkeiten erwarten uns nun aber erst, sobald wir versuchen, die Grundlagen des Systems so zu ordnen, dafs den Anforderungen der logischen Zulassigkeit mit aller Strenge geniigt werde. Wir diirfen bei der Kinfihrung der Energie nicht dem gewdhnlichen Wege folgend von den Kraften ausgehen, von diesen zur Kriftefunktion, zur poten- tiellen Energie, zur Energie tberhaupt fortschreiten. Hine solche Anordnung wiirde der ersten Darstellung der Mechanik angehéren. Vielmehr haben wir, ohne eigentlich mechanische Entwickelungen schon vorauszusetzen, diejenigen einfachen unmittelbaren Erfahrungen anzugeben, durch welche wir all- gemein das Vorhandensein eines Vorrats von Energie und die Bestimmung seiner Menge definiert wissen wollen. Wir haben oben nur angenommen, nicht aber bewiesen, dals eine solche Bestimmung miéglich sei. Mehrere ausgezeichnete Physiker versuchen heutzutage, der Energie so sehr die Higen-

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schaften der Substanz zu leihen, dafs sie annehmen, jede kleinste Menge derselben sei zu jeder Zeit an einen bestimmten Ort des Raumes geknipft und bewahre bei allem Wechsel desselben und bei aller Verwandlung der Energie in neue Formen dennoch ihre Identitat. Diese Physiker missen notwendig die Uberzeugung vertreten, dafs sich Definitionen der verlangten Art wirklich geben lassen, und es war daher wohl erlaubt, die Méglichkeit derselben anzunehmen. Sollen wir selbst aber eine konkrete Form dafir aufweisen, welche uns geniigt und welche allgemeiner Zustimmung sicher ist, so geraten wir in Verlegenheit; zu einem befriedigenden und abschliefsenden Ergebnis scheint diese ganze Anschauungs- weise noch nicht gelangt. Eine besondere Schwierigkeit mufs auch von vornherein der Umstand bereiten, dafs die angeblich substanzartige Energie in zwei so ganzlich verschiedenen Formen auftritt, wie es die kinetische und die potentielle Form sind. Die kinetische Energie bedarf im Grunde an sich keiner neuen Grundbestimmung, da sie aus den Begriffen der Geschwindigkeit und der Masse abgeleitet werden kann; die potentielle Energie hingegen, welche eine selbstandige Feststellung fordert, widerstrebt zugleich jeder Definition, welche ihr die Higenschaften einer Substanz beilegt. Die Menge einer Substanz ist eine notwendig positive Grisse; die in einem System enthaltene potentielle Energie scheuen wir uns nicht, als negativ anzunehmen. Bedeutet ein analytischer Ausdruck die Menge einer Substanz, so hat eine additive Konstante in dem Ausdruck dieselbe Wichtigkeit wie der Rest; in dem Ausdruck fir die potentielle Energie eines Systems hat eine additive Konstante niemals eine Bedeutung. Endlich kann der Inhalt eines physikalischen Systems an einer Sub- stanz nur abhingen von dem Zustande des Systems selbst, der Inhalt gegebener Materie an potentieller Energie aber hangt ab von dem Vorhandensein entfernter Massen, welche vielleicht niemals Einflufs auf das System hatten. Ist das Weltall und damit die Menge jener entfernten Massen unendlich, so wird der Inhalt auch endlicher Mengen von Materie an vielen Formen potentieller Energie unendlich gross. Dies sind alles Schwierigkeiten, welche durch die gesuchte Definition der Energie beseitigt oder umgangen werden miifsten. Obwohl

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wir nun auch nicht behaupten wollen, dafs eine solche Umgehung unméglich sei, so kénnen wir sie doch gegenwirtig noch nicht als geleistet ansehen, und es wird am vorsichtigsten sein, wenn wir es einstweilen noch als eine offene Frage betrachten, ob sich das System tiberhaupt in logisch einwurfsfreier Form entwickeln lafst.

Es ist vielleicht der Mihe wert, an dieser Stelle auch die Frage zu erértern, ob ein anderer Kinwurf gerechtfertigt sei, den man vielleicht gegen die Zulissigkeit des hier be- trachteten Systems richten kénnte. Soll ein Bild gewisser aufserer Dinge in unserem Sinne zulassig sein, so miissen die Zige desselben nicht allein unter sich in Kinklang stehen, sondern sie diirfen auch nicht den Ziigen anderer in unserer Erkenntnis schon feststehender Bilder widersprechen. Darauf- hin kénnte man nun behaupten: Es sei nicht denkbar, dafs das Haminron’sche Prinzip oder ein Satz von verwandten Eigenschaften in Wahrheit ein Grundgesetz der Mechanik und damit ein Grundgesetz der Natur vorstelle, denn von einem Grundgesetze sei von vornherein Hinfachheit und Schlichtheit za erwarten, das Hamiiron’sche Prinzip aber stelle, wenn man es analysiere, eine Aaufserst verwickelte Aussage dar. Nicht allein mache es die gegenw&rtige Bewegung abhingig von Folgen, welche erst in der Zukunft hervortreten kénnen und mute dadurch der leblosen Natur Absichten zu, sondern, was schlimmer sei, es mute der Natur sinnlose Absichten zu. Denn das Integral, dessen Minimum das Hammron’ sche Prinzip fordert, habe keine einfache physikalische Bedeutung; es sei aber fir die Natur ein unverst&indliches Ziel, einen mathe- matischen Ausdruck zum Minimum zu machen oder seine Variation zum Verschwinden zu bringen. Die gewdhnliche Antwort, welche die heutige Physik auf derartige Angriffe bereit hilt, ist diese, dafs die Voraussetzungen, von welchen die Betrachtungen ausgehen, metaphysischen Ursprungs seien, dafs aber die Physik darauf verzichtet habe und es nicht mehr als Pflicht anerkenne, den Anspriichen der Metaphysik gerecht zu werden. Sie lege kein Gewicht mehr auf die Griinde, welche von metaphysischer Seite einst zu Gunsten der Prin- zipien vorgebracht seien, welche einen Zweck in der Natur andeuten; ebensowenig aber kénne sie jetzt Hinwinden meta-

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physischen Charakters gegen ebendieselben Prinzipien ihr Ohr leihen. Wenn wir bei solchem Rechten zu entscheiden hatten, so wirden wir nicht unbillig denken, wenn wir uns mehr auf Seiten des Angreifers, als des Verteidigers stellten. Kein Be- denken, welches tiberhaupt Eindruck auf unsern Geist macht, kann dadurch erledigt werden, dafs es als metaphysisch be- zeichnet wird; jeder denkende Geist hat als solcher Bedirf- nisse, welche der Naturforscher metaphysische zu nennen ge- wohnt ist. Uberdies lafst sich in dem vorliegenden Falle, wie wohl in allen ahnlichen, die gesunde und berechtigte Quelle unseres Bedirfnisses ganz wohl aufweisen. Freilich konnen wir von der Natur nicht a priori Einfachheit fordern, noch auch urteilen, was in ihrem Sinne einfach sei. Aber den Bil- dern, welche wir uns von ihr machen, konnen wir als unsern eigenen Schopfungen Vorschriften machen. Wir urteilen nun mit Recht, dafs, wenn unsere Bilder den Dingen gut angepalst sind, dafs dann die wirklichen Beziehungen der Dinge durch einfache Beziehungen zwischen den Bildern miissen wieder- gegeben werden. Wenn aber die wirklichen Beziehungen zwischen den Dingen nur durch verwickelte, ja dem unvor- bereiteten Geiste sogar unverstandliche Beziehungen zwischen den Bildern sich wiedergeben lassen, so urteilen wir, dafs diese Bilder den Dingen nur ungeniigend angepalfst sind. Unsere Forderung der Einfachheit geht also nicht an die Natur, son- dern an die Bilder, welche wir uns von ihr machen, und unser Widerspruch gegen eine verwickelte Aussage als Grundgesetz driickt nur die Uberzeugung aus. dafs, wenn der Inhalt der Aussage richtig und umfassend sei, er sich durch zweck- mifsigere Wahl der Grundvorstellungen auch in einfacherer Form miisse aussprechen lassen. Kine andere Aufserung der- selben Uberzeugung ist der in uns erwachende Wunsch, von dem aufseren Verstandnisse eines derartigen Gesetzes zu seinem tieferen und eigentlichen Sinn vorzudringen, von dessen Vorhandensein wir iiberzeugt sind. Ist diese Auffassung richtig, so bildet in der That der vorgebrachte Einwurf ein berechtigtes Bedenken gegen das System, aber er trifft dann nicht sowohl seine Zulassig- keit, als vielmehr seine Zweckmafsigkeit und er kime bei der Beurteilung der letzteren in Betracht. Es ist indessen nicht notig, deshalb nochmals zur Besprechung jener zurickzukehren.

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Uberblicken wir noch einmal dasjenige, was wir tiber die Vorziige des zweiten Bildes vorzubringen hatten, so kénnen wir von der Gesamtheit desselben nicht allzu befriedigt sein. Obgleich die ganze Richtung der neueren Physik uns anlockt, den Begriff der Energie in den Vordergrund zu stellen und ihn auch in der Mechanik als Grund- und Eckstein unseres Aufbaues zu benutzen, so bleibt es doch mehr als zweifelhaft, ob wir bei diesem Vorgehen die Hiarten und Rauhigkeiten vermeiden kénnen, welche uns in dem ersten Bilde der Mechanik anstéfsig waren. In der That habe ich auch diesem zweiten Wege der Darstellung nicht deshalb eine langere Besprechung gewidmet, um zur Beschreitung desselben zu ermutigen, son- dern vielmehr um anzudeuten, aus welchen Griinden ich selbst ibn aufgegeben habe, nachdem ich zuerst ihn zu verfolgen versucht hatte.

Eine dritte Anordnung der Prinzipien der Mechanik ist diejenige, welche in dem Hauptteil des Buches ausfihrlich dargelegt werden soll, deren Hauptziige wir aber schon hier in der Einleitung vorfithren wollen, um sie in demselben Sinne einer Kritik zu unterwerfen, wie es mit den beiden ersten geschehen ist. Von jenen unterscheidet sie sich wesentlich dadurch, dafs sie von nur drei unabhingigen Grundvor- stellungen ausgeht; denen der Zeit, des Raumes und der Masse. Sie betrachtet daher als ihre Aufgabe, die natiirlichen Beziehungen zwischen diesen dreien und allein zwischen diesen dreien darzustellen. Ein vierter Begriff, wie der Begriff der Kraft oder der Energie, an welchen sich vorhin die Schwierig- keiten kniipften, ist als selbstandige Grundvorstellung beseitigt. Die Bemerkung, dafs drei von einander unabhangige Vor- stellungen nétig, aber auch hinreichend seien zur Entwicklung

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der Mechanik, hat schon G. Krzcuuorr seinem Lehrbuche der Mechanik vorangestellt. Ganz ohne Ersatz kann freilich die so in den Grundvorstellungen ausfallende Mannigfaltigkeit nicht bleiben. In unserer Darstellung suchen wir die entstehende Liicke auszufillen durch Beniitzung einer Hypothese, welche hier nicht zum ersten Male aufgestellt wird, welche man aber nicht in die Elemente der Mechanik selbst einzufihren gewohnt ist, und deren Wesen wir etwa in der folgenden Weise erlautern kénnen.

Versuchen wir die Bewegungen der uns umgebenden K6rper zu verstehen und auf einfache und durchsichtige Regeln zuriickzufihren, indem wir aber nur dasjenige beriick- sichtigen, was wir unmittelbar vor Augen haben, so schlagt unser Versuch im allgemeinen fehl. Wir werden bald gewahr, dafs die Gesamtheit dessen, was wir sehen und greifen kénnen noch keine gesetzmifsige Welt bildet, in welcher gleiche Zu- stande stets gleiche Folgen haben. Wir iiberzeugen uns, dafs die Mannigfaltigkeit der wirklichen Welt gréfser sein mufs als die Mannigfaltigkeit der Welt, welche sich unseren Sinnen unmittelbar offenbart. Wollen wir ein abgerundetes, in sich geschlossenes, gesetzmifsiges Weltbild erhalten, so miissen wir hinter den Dingen, welche wir sehen, noch andere, unsichtbare Dinge vermuten, hinter den Schranken unserer Sinne noch heimliche Mitspieler suchen. Diese tieferliegenden Linflisse erkannten wir in den ersten beiden Darstellungen an und wir dachten sie uns als Wesen einer eigenen und besonderen Art, deshalb schufen wir zu ihrer Wiedergabe in unserem Bilde die Begriffe der Kraft und der Energie. Es steht uns aber noch ein anderer Weg offen. Wir kénnen zugeben, dafs ein verborgenes Etwas mitwirke und doch leugnen, dafs dieses Etwas einer besonderen Kategorie angehére. Es steht uns frei anzunehmen, dafs auch das Verborgene nichts anderes sei als wiederum Bewegung und Masse, und zwar solche Bewegung und Masse, welche sich von der sichtbaren nicht an sich unterscheidet, sondern nur in Beziehung auf uns und auf unsere gewoéhnlichen Mittel der Wahrnehmung. Diese Auf- fassungsweise ist nun eben unsere Hypothese. Wir nehmen also an, dafs es méglich sei, den sichtbaren Massen des

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Weltalls andere denselben Gesetzen gehorchende Massen hinzu- zudichten von solcher Art, dafs dadurch das Ganze Gesetz- mifsigkeit und Verstindlichkeit gewinnt, und zwar nehmen wir an, dafs dies ganz allgemein und in allen Fallen miglich sei, und dafs es daher andere Ursachen der Erscheinungen auch gar nicht gebe, als die hierdurch zugelassenen. Was wir gewohnt sind als Kraft und als Energie zu bezeichnen ist dann fir uns nichts weiter als eine Wirkung von Masse und Bewegung, nur braucht es nicht immer die Wirkung grob- sinnlich nachweisbarer Masse und grobsinnlich nachweisbarer Bewegung zu sein. Eine derartige Erklarung einer Kraft aus Bewegungsvorgingen pflegt man eine dynamische zu nennen, und man kann wohl sagen, dafs die Physik gegenwartig der- artigen Erklarungen in hohem Grade hold ist. Die Krifte der Warme hat man mit Sicherheit auf die verborgenen Be- wegungen greifbarer Massen zuriickgefihrt. Durch Maxwx1’s Verdienst ist die Vermutung fast zur Uberzeugung geworden, dafs wir in den elektrodynamischen Kriften die Wirkung der Bewegung verborgener Massen vor uns haben. Lord Kevin rickt die Méglichkeit dynamischer Erklarungen der Krifte mit Vorliebe in den Vordergrund seiner Betrachtungen; in seiner Theorie von der Wirbelnatur der Atome hat er ein dieser Anschauung entsprechendes Bild des Weltganzen zu geben versucht. von Heumaoutz hat in der Untersuchung fiber die cyklischen Systeme die wichtigste Form der verbor- genen Bewegung ausfihrlich und zum Zwecke allgemeiner An- wendung behandeilt; durch ihn ist den Ausdriicken ,,verborgene“ Masse, ,,verborgene“ Bewegung die Geltung technischer Aus- driicke im Deutschen verliehen. Hat aber jene Hypothese die Fahigkeit, die geheimnisvollen Krifte allmahlich aus der Mechanik wieder zu eliminieren, so kann sie auch verhindern, dafs die- selben iiberhaupt in die Mechanik eintreten. Und entspricht die Verwertung der Hypothese zu ersterem Zwecke der Denk- weise der heutigen Physik, so mufs das Gleiche von ihrer Benutzung zu letzterem Zwecke gelten. Dies ist der leitende Gedanke, von welchem wir ausgehen und durch dessen Ver- folgung dasjenige Bild entsteht, welches wir als das dritte bezeichneten, und dessen allgemeine Umrisse wir nun um- fahren wollen.

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Zuerst fithren wir also ein die drei unabhingigen Grund- begriffe Zeit, Raum und Masse als Gegenstinde der Erfahrung, indem wir angeben, durch welche konkreten sinnlichen Erfah- rungen wir uns Zeiten, Massen, riumliche Gréfsen bestimmt denken wollen. Was die Massen anbelangt, so behalten wir uns vor, neben den sinnlich wahrnehmbaren Massen durch Hypothese verborgene Massen einzufihren. Wir stellen sodann die Beziehungen zusammen, welche zwischen jenen konkreten Erfahrungen stets obwalten und welche wir als die wesent- lichen Beziehungen zwischen den Grundbegriffen festzuhalten haben. Es ist naturgemafs, dafs wir die Grundbegriffe zu- nichst zu je zweien verbinden. Die Beziehungen, welche Raum und Zeit allein betreffen, kénnen wir als Kinematik voraussenden. Zwischen Masse und Zeit allein besteht keine Verknitipfung. Masse und Raum dagegen treten wieder zu- sammen zu einer Reihe wichtiger erfahrungsmifsiger Bezie- hungen. Wir finden nimlich zwischen den Massen der Natur gewisse rein raumliche Zusammenhinge, welche darin bestehen, dafs von Anbeginn an fir alle Zeiten, und also unabhangig von der Zeit, jenen Massen gewisse Lagen und gewisse Ande- rungen der Lage als mégliche, alle anderen aber als unmiégliche vorgeschrieben und zugeordnet sind. Wir kénnen iiber diese Zusammenhinge ferner allgemein aussagen, dafs sie nur die relative Lage der Massen unter einander betreffen und weiter- gehend, dafs sie gewissen Bedingungen der Stetigkeit gentigen, welche ihren mathematischen Ausdruck darin finden, dafs sich die Zusammenhinge selbst stets durch homogene lineare Glei- chungen zwischen den ersten Differentialen derjenigen Gréfsen wiedergeben lassen, durch welche wir die Lage der Massen bezeichnet haben. Die Zusammenhinge bestimmter materieller Systeme im einzelnen zu erforschen ist nicht Sache der Mechanik, sondern der experimentellen Physik; die bezeich- nenden Merkmale, durch welche sich die verschiedenen mate- riellen Systeme der Natur unterscheiden, sind nach unserer Vorstellung eben einzig und allein die Zusammenhange ihrer Massen. In den bisherigen Erérterungen haben wir nur je zwei der Grundbegriffe fir sich verbunden, nunmehr wenden wir uns der eigentlichen Mechanik im engeren Sinne zu, in welcher alle drei zusammenzutreten haben. Es gelingt uns

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ihre erfahrungsmalsige allgemeine Verknitipfung zusammen- zufassen in ein einziges Grundgesetz, welches eine sehr nahe Analogie mit dem gewéhnlichen Tragheitsgesetz zieht. In der That lafst es sich in der Ausdrucksweise, welche wir benutzen, wiedergeben in der Aussage: jede nattirliche Bewegung eines selbstindigen materiellen Systems bestehe darin, dafs das System mit gleichbleibender Geschwindigkeit eine seiner ge- radesten Bahnen verfolge. Diese Aussage ist allerdings nur verstandlich, nachdem die benutzte mathematische Redeweise gehirig erértert ist; der Sinn des Satzes aber lafst sich auch in der gewdhnlichen Sprache der Mechanik wiedergeben. Jener Satz fafst namlich einfach das gewodhnliche Trigheitsgesetz und das Gavss’sche Prinzip des kleinsten Zwanges in eine einzige Behauptung zusammen. Er sagt also aus, dafs, wenn die Zusammenhinge des Systems einen Augenblick geldést werden kénnten, dafs sich dann seine Massen in geradliniger und gleichférmiger Bewegung zerstreuen wiirden, dafs aber, da solche Auflésung nicht méglich ist, sie jener angestrebten Bewegung wenigstens so nahe bleiben als méglich. Wie jenes Grundgesetz in unserem Bilde der erste Erfahrungssatz der eigentlichen Mechanik ist, so ist er auch der letzte. Aus ihm zusammen mit der zugelassenen Hypothese verborgener Massen und gesetzmilsiger Zusammenhinge leiten wir den tbrigen Inhalt der Mechanik rein deduktiv ab. Um ihn gruppieren wir die iibrigen allgemeinen Prinzipien nach ihrer Verwandt- schaft zu ihm und untereinander, als Folgerungen oder als Teilaussagen. Wir bemithen uns zu zeigen, dafs bei dieser Anordnung der Inhalt unserer Wissenschaft nicht weniger reich und mannigfaltig ausfillt, als der Inhalt einer Mechanik, welche von vier Grundvorstellungen ausgeht, jedenfalls nicht weniger reich und mannigfaltig als es die Darstellung der Natur ver- langt. Ubrigens erweist es sich auch hier bald als zweck- mafsig, den Begriff der Kraft einzufihren. Aber die Kraft tritt nun nicht auf als etwas von uns unabhiangiges und uns fremdes, sondern als eine mathematische Hilfskonstruktion, deren Eigenschaften wir véllig in unserer Gewalt haben, und welche also auch fiir uns nichts Ratselhaftes an sich haben kann. Nach dem Grundgesetze mufs namlich tberall da, wo

zwei Kérper demselben System angehéren, die Bewegung des Hertz, Mechanik. 83

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einen durch die Bewegung des anderen mitbestimmt sein. Der Begriff der Kraft entsteht nun dadurch, dafs wir es aus an- gebbaren Griinden zweckmifsig finden, diese Bestimmung der einen Bewegung durch die andere in zwei Stadien zu zer- legen und uns zu sagen: die Bewegung des ersten Kérpers bestimme zunichst eine Kraft, diese Kraft erst bestimme die Bewegung des zweiten Kérpers. Auf diese Weise wird jede Kraft zwar stets Ursache einer Bewegung, mit gleichem Rechte aber zugleich auch stets Folge einer Bewegung; sie wird, genau gesprochen, das nur gedachte Mittelglied zwischen zwei Be- wegungen. Hs ist klar, dafs bei dieser Auffassung die allge- meinen. Higenschaften der Krifte mit Denknotwendigkeit aus dem Grundgesetze folgen mtissen und wenn wir in méglichen Erfahrungen diese Higenschaften bestitigt sehen, so kann uns dies nicht einmal verwundern, wenn anders wir an unserm Grundgesetz nicht zweifeln. Mit dem Begriffe der Energie und mit allen anderen einzufitthrenden Hilfskonstruktionen liegt die Sache ganz ebenso.

Was wir bisher gesagt haben, betraf den physikalischen Inhalt des vorzufithrenden Bildes und erschépfte denselben im Rahmen dieser Einleitung; es wird zweckmafsig sein, nun auch eine kurze Erérterung der besonderen mathematischen Form zu widmen, in welcher wir denselben wiedergeben wer- den. Jener Inhalt ist von dieser Form ganz unabhingig und es ist vielleicht nicht ganz klug gehandelt, dafs wir einen von dem Herkémmlichen abweichenden Inhalt sogleich in einer ungewohnten Form darbieten. Indessen weichen ja sowohl Form als Inhalt ein jedes fir sich nur sehr wenig von wohl- bekannten Dingen ab, aufserdem passen eben dieser Inhalt und diese Form so zu einander, dafs ihre Vorziige sich gegenseitig stiitzen. Das wesentliche Merkmal der benutzten Terminologie besteht nun darin, dafs sie gleich von vornherein ganze Systeme von Punkten vorstellt und in Betracht zieht, nicht aber jedesmal von den einzelnen -Punkten ausgeht. Hinem jeden sind die Ausdricke ,Lage eines Systems von Punkten“ und ,,Bewegung eines Systems von Punkten“ geliufig. Es ist eine nicht unnatirliche Fortsetzung dieser Redeweise, wenn wir die Gesamtheit der bei der Bewegung durchlaufenen Lagen

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eines Systems als seine Bahn bezeichnen. Jeder kleinste Teil dieser Bahn ist alsdann ein Bahnelement. Von zwei Bahn- elementen kann das eine ein Teil des andern sein, sie unter- scheiden sich alsdann noch nach der Gréfse und nur nach dieser. Zwei Bahnelemente, welche von derselben Lage aus- gehen, kénnen aber auch verschiedenen Bahnen angehdren, alsdann ist keines von beiden ein Teil des anderen und sie unterscheiden sich nicht nur hinsichtlich der Gréfse; wir sagen deshalb, dafs sie auch verschiedene Richtung haben. Durch diese Aussagen sind freilich die Merkmale ,,Gréfse“ und ,,Richtung“ fir die Bewegung eines Systems noch nicht eindeutig bestimmt; wir kénnen aber unsere Definition geometrisch oder analytisch so vervollstindigen, dafs ihre Folgen weder mit sich selbst noch mit dem Gesagten in Widerspruch geraten und dafs zugleich die definierten Grdfsen in der Geometrie des Systems genau den Gréfsen entsprechen, welche wir in der Geometrie des Punktes mit den gleichen Namen bezeichnen, mit welchen bekannten Gréfsen sie auch stets zusammenfallen, sobald das System sich auf einen Punkt reduziert. Sind aber einmal die Merkmale Grifse und Richtung bestimmt, so liegt es nahe genug, die Bahn eines Systems gerade zu nennen, wenn alle ihre Elemente die gleiche Richtung haben; und krumm, sobald die Richtung der Elemente sich von Lage zu Lage 4&ndert. Als Mafs der Kriimmung bietet sich wie in der Geometrie des Punktes die Anderungsgeschwindigkeit der Richtung mit der Lage von selber dar. Durch diese Definition sind nun aber schon eine ganze Reihe von Beziehungen gegeben und die Zahl derselben wichst, sobald die Bewegungsfreiheit des betrachteten Systems durch seine Zusammenhinge eingeschrankt ist. Ins- besondere lenken alsdann gewisse Klassen von Bahnen die Aufmerksamkeit auf sich, welche sich unter den méglichen durch besondere einfache Eigenschaften auszeichnen. Hierher gehéren vor allen Dingen diejenigen Bahnen, welche in jeder ihrer Lagen so wenig wie méglich gekriimmt sind und welche wir als die geradesten Bahnen des Systems bezeichnen. Sie sind es, von welchen in dem Grundgesetz die Rede ist und welche wir schon oben bei Anfiihrung desselben erw&hnt haben. Hierher gehéren ferner diejenigen Bahnen, welche die kiirzeste Verbindung zwischen irgend zweien ihrer Lagen bilden, und 3*

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welche wir als kirzeste Bahnen des Systems bezeichnen. Unter gewissen Bedingungen fallen die Begriffe der geradesten und der kirzesten Bahnen zusammen. Dies Verhiltnis ist uns durch Erinnerung an die Theorie der krummen Ober- flachen sogar hichst geliufig, aber allgemein und unter allen Umstinden hat es gleichwohl nicht statt. Die Sammlung und Ordnung aller hier auftretenden -Beziehungen gehért in die Geometrie der Punktsysteme und die Entwickelung dieser Geo- metrie hat eigenen mathematischen Reiz; wir verfolgen dieselbe aber nur soweit als es der augenblickliche Zweck der physi- kalischen Anwendung erfordert. Da ein System von x Punkten eine 3nfache Mannigfaltigkeit der Bewegung darbietet, welche aber durch die Zusammenhinge des Systems auch auf jede beliebige Zahl vermindert werden kann, so entstehen viele Analogien mit der Geometrie eines mehrdimensionalen Raumes, welche zum Teil so weit gehen, dafs dieselben Satze und Be- zeichnungen hier und dort Bedeutung haben kénnen. Es ist aber in unserem Interesse zu betonen, dafs diese Analogien nur formale sind, und dals trotz eines gelegentlich fremdartigen Klanges sich unsere Betrachtung ausnahmslos auf konkrete Ge- bilde des Raumes unserer Sinnenwelt beziehen, dafs also auch alle unsere Aussagen migliche Erfahrungen darstellen und wenn es ndtig ware, durch unmittelbare Versuche, namlich durch Messung an Modellen bestitigt werden kénnten. Den Vorwurf, dafs wir beim Aufbau einer Erfahrungswissenschaft die Welt der Erfahrung verlassen, diesen Vorwurf haben wir also nicht zu fiirchten. Dagegen haben wir Rede zu stehen auf die Frage, ob sich denn die Weitliufigkeit einer neuen und ungewohnten .Ausdrucksweise lohne, und welchen ent- sprechenden Nutzen wir von der Anwendung derselben erwarten? Als Antwort nennen wir darauf als ersten Nutzen die grofse Hinfachheit und Kiirze, mit welcher sich die meisten allgemeinen und umfassenden Aussagen wiedergeben lassen. In der That erfordern Si&tze, welche ganze Systeme behandeln hier nicht mehr Worte und nicht mehr Begriffe, als wenn sie unter Benutzung der gewdhnlichen Ausdrucksweise in Bezug auf einen einzelnen Punkt ausgesagt wiirden. Die Mechanik des materiellen Systems erscheint hier nicht mehr als eine Er- weiterung und Verwickelung der Mechanik des einzelnen Punktes,

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sondern die letztere fallt als selbstiindige Untersuchung fort oder tritt doch nur gelegentlich als Vereinfachung und beson- derer Fall der ersteren auf. Wendet man etwa ein, diese Einfachheit sei kinstlich erzeugt, so antworten wir, dals es gar keine andere Methode’ gebe, einfache Beziehungen zu schaffen, als die kiinstliche und wohlerwogene Anpassung unserer Begriffe an die darzustellenden Verhiltnisse. Will man aber in jenem Vorwurf des Kiinstlichen den Nebensinn des Gesuchten und Unnatiirlichen hervorheben, so dtrfen wir dem entgegenhalten, dafs man vielleicht mit mehr Recht die Be- trachtung ganzer Systeme fiir das Natiirliche und Naheliegende halten kénne, als die Betrachtung einzelner Punkte. Denn in Wahrheit ist uns das materielle System unmittelbar gegeben, der einzelne Massenpunkt eine Abstraktion; alle wirkliche Er- fahrung wird unmittelbar nur an Systemen gewonnen und die an einfachen Punkten méglichen Erfahrungen sind daraus durch Verstandesschliisse abgezogen. Als einen zweiten, allerdings nicht sehr wesentlichen Nutzen heben wir die Vorziige der Form hervor, welche durch unsere mathematische Hinkleidung dem Grundgesetz gegeben werden kann. Ohne jene Einklei- dung miifsten wir es zerlegen in das erste Newron’sche Ge- setz und das Gavuss’sche Prinzip des kleinsten Zwanges. Beide zusammen wiirden nun zwar genau dieselbe Thatsache dar- stellen, aber sie wiirden neben dieser Thatsache andeutungs- weise noch ein wenig mehr enthalten und dieses Mehr ware ein Zuviel. Erstens rufen sie die unserer Mechanik fremde Vorstellung wach, dafs die Zusammenhinge der materiellen Systeme doch auch gelést werden kénnten, obwohl wir die- selben als von Anbeginn an bestehende und als ginzlich un- lésbare bezeichnet haben. Zweitens kann man bei Benutzung des Gavss’schen Prinzips nicht vermeiden, die Nebenvorstellung zu erwecken, dafs man nicht nur eine Thatsache, sondern zu- gleich auch den Grund dieser Thatsache mitteilen wolle. Man kann nicht aussagen, dafs die Natur eine Gréfse, welche man Zwang nennt, bestandig so klein als méglich halt, ohne anzu- deuten, dafs dies geschehe, eben weil jene Grifse fir die Natur einen Zwang, das heifst ein Unlustgefithl bedeute. Man kann nicht aussagen, dafs die Natur verfahre wie ein verstindiger Rechner, der seine Beobachtung ausgleicht, ohne nahezulegen,

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dafs hier wie dort wohltiberlegte Absicht der Grund des Ver- fahrens sei. Gewifs liegt gerade ein besonderer Reiz in der- artigen Seitenblicken und dies hat Gauss selbst in gerechter Freude an seiner schénen und fiir unsere Mechanik grund- legenden Entdeckung hervorgehoben. Aber doch miissen wir uns gestehen, dafs dieser Reiz nur ein Spiel mit dem Geheimnis- vollen ist; im Ernste glauben wir selbst nicht an unser Ver- mégen, durch derartige Andeutungen halb schweigend das Welt- ratsel zu lésen. Unser eigenes Grundgesetz vermeidet solche Winke ginzlich. Indem es genau die Form des gewéhnlichen Trigheitsgesetzes annimmt, giebt es so gut wie dieses eine nackte Thatsache ohne jeden Schein einer Begriindung der- selben. In demselben Mafse, in welchem es dadurch Armer und ungeschmiickter erscheint, in demselben Mafse ist es ehr- licher und wahrer. . Doch vielleicht verfiihrt mich die Vorliebe fur die kleine Abinderung, welche ich selbst an dem Gavss’- schen Prinzip angebracht habe, dafs ich Vorziige in ihr er- blicke, welche fremden Augen notwendig verborgen sind. Sicher aber wird man, denke ich, dagegen zustimmen, wenn ich als dritten Nutzen unserer Methode anftihre, dafs dieselbe ein helles Licht auf die von Hamrron erfundene Behandlungs- weise mechanischer Probleme mit Hilfe charakteristischer Funktionen wirft. Diese Behandlungsweise hat in den sechzig Jahren ihres Bestehens Anerkennung und Ruhm genug gefunden, aber sie ist doch mehr aufgefafst und behandelt worden wie ein neuer Seitenzweig der Mechanik, dessen Wachstum und Weiterbildung neben der gewéhnlichen Methode und unab- hangig von derselben vor sich zu gehen habe. In unserer Form der mathematischen Darstellung aber trigt die Ha»n- ton’sche Methode nicht den Charakter eines Seitenzweiges, son- dern sie erscheint als die gerade, naturgemifse und sozusagen selbstverstiindliche Fortsetzung der elementaren Aussagen in allen den Fallen, in welchen sie tiberhaupt anwendbar ist. Auch das lafst unsere Darstellungsweise klar hervortreten, dafs die Hammron’sche Behandlungsweise nicht in den be- sonderen physikalischen Grundlagen der Mechanik ihre Wurzeln hat, wie man wohl gewéhnlich annimmt, sondern dafs sie im Grunde genommen eine rein geometrische Methode ist, welche begriindet und ausgebildet werden kann, ganz unabhingig von

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der Mechanik, und welche mit dieser in keiner engeren Be- ziehung steht, als alle andere von der Mechanik benutzte geometrische Erkenntnis auch. Ubrigens ist es von den Mathe- matikern seit lange bemerkt worden, dafs die Hammmron’sche Methode rein geometrische Wahrheiten enthiélt und zum klaren Ausdruck derselben eine eigentiimliche, ihr angepafste Aus- drucksweise geradezu fordert. Nur ist diese Thatsache in etwas verwirrender Form zu Tage getreten, namlich in den Analogieen, welche man beim Verfolg der Hamuinron’schen Gedanken zwischen der gewdhnlichen Mechanik und der Geome- trie eines vieldimensionalen Raumes gefunden hat. Unsere Ausdrucksweise giebt eine einfache und verstindliche Erklirung dieser Analogieen; sie gestattet auch die Vorteile derselben zu geniefsen und sie vermeidet doch die Unnatiirlichkeit, welche in der Verquickung eines Zweiges der Physik mit aufsersinn- lichen Abstraktionen liegt.

Wir haben nunmebr unser drittes Bild der Mechanik nach Inhalt und Form soweit geschildert, als es angeht ohne dem Buche selbst vorzugreifen; zugleich hinreichend, um es den beabsichtigten Fragen nach seiner Zulassigkeit, seiner Richtig- keit und seiner Zweckmilfsigkeit unterwerfen zu kénnen. Was zunichst die logische Zulissigkeit des entworfenen Bildes anlangt, so denke ich, dafs dieselbe selbst strengen Anforde- rungen geniigen kénne, und hoffe, dafs diese Meinung der Zu- stimmung begegnen mige. Ich lege auf diesen Vorzug der Darstellung das grifste Gewicht, ja einzig Gewicht. Ob das entworfene Bild zweckmifsiger ist, als ein anderes, ob es fahig ist alle zukinftige Erfahrung zu umfassen, ja ob es auch nur alle gegenwirtige Erfahrung umfafst, alles dies ist mir fast nichts gegen die Frage, ob es in sich abgeschlossen, rein und widerspruchsfrei ist. Denn nicht deshalb habe ich es zu zeichnen versucht, weil die Mechanik nicht bereits fir ihre Anwendungen geniigend Zweckmilsigkeit zeigte, noch weil dieselbe mit der Erfahrung irgend in Widerstreit geraten ware, sondern allein um mich von dem driickenden Gefihle zu befreien, dafs ihre Elemente nicht frei seien von Dunkel- heiten und Unverstindlichkeiten fir mich. Nicht das einzig mogliche Bild der mechanischen Vorginge, noch auch das

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beste Bild, sondern itberhaupt nur ein begreifbares Bild wollte ich suchen und an einem Beispiel zeigen, dafs ein solches moglich sei und wie es etwa aussehen miisse. Die Voll- kommenheit ist uns freilich in jeder Richtung unerreichbar, und ich mulfs mir gestehen, dafs trotz vieler Mithe das erlangte Bild nicht in allen Punkten von so tiberzeugender Klarheit ist, dafs es nicht dem Zweifel ausgesetzt und der Verteidigung bedirftig ware. Doch scheint mir von Einwinden allgemeiner Art nur ein einziger hinreichend nahe zu liegen, dafs es sich lohnt, ihn vorwegzunehmen und abzuschneiden. Er betrifft die Natur der starren Verbindungen, welche wir zwischen den Massen annehmen, und welche wir auch in unserem System auf keine Weise entbehren kénnen. Viele Physiker werden zunichst der Ansicht sein, dafs mit diesen Verbindungen doch schon Krifte in die Elemente der Mechanik eingefiihrt und zwar in heimlicher und deshalb unerlaubter Weise eingefihrt seien. Denn — so werden sie sagen — starre Verbindungen sind nicht denkbar ohne Krafte; starre Verbindungen kénnen nicht auf andere Weise zu stande kommen, als indem sie durch Kriafte erzwungen werden. Wir antworten darauf: Kure Behauptung ist allerdings richtig fir die Denkweise der gewéhnlichen Mechanik, aber sie ist nicht richtig unabhangig von dieser Denkweise; sie erscheint nicht zwingend dem Geist, welcher die Sache unbefangen und wie zum erstenmal betrachtet. Gesetzt wir finden, auf welche Weise auch immer, dafs der Abstand zweier bestimmter punktformiger Massen zu allen Zeiten und unter allen Umstinden derselbe bleibt, so kénnen wir dieser Thatsache Ausdruck verleihen, ohne andere als réumliche Vorstellungen zu benutzen und die ausgesagte Thatsache hat als Thatsache fir die Voraussicht zukinftiger Erfahrung und fir alle andern Zwecke ihren Wert unabhingig von einer etwaigen Erklarung, welche wir besitzen oder nicht besitzen. Auf keinen Fall wird der Wert der Thatsache erhéht oder unser Verstindnis von ihr verbessert dadurch, dafs wir sie in der Form mitteilen: Zwischen jenen Massen wirke eine Kraft, welche ihren Abstand konstant halt, oder: Zwischen ihnen sei eine Kraft thitig, welche verhindert, dafs sich ihr Abstand von seinem festen Wert entferne. Aber — so wird man uns wieder einwenden — wir sehen ja, dafs die letztere Erklarung, obwohl scheinbar nur eine lacherliche Umschreibung,

[PDF-PAGE 77] Einleitung. 41 gleichwohl richtig ist. Denn alle Verbindungen der wirklichen Welt sind nur angenihert starr und der Schein der Starrheit wird nur dadurch hervorgebracht, dafs die elastischen Krifte die kleinen Abweichungen von der Ruhelage bestindig wieder vernichten. Wir antworten: Von solchen starren Verbindungen der greifbaren Kérper, welche nur angenahert verwirklicht sind, wird unsere Mechanik selbstverstindlich als Thatsache auch nur aussagen, dafs ihnen angendhert geniigt werde und zu dieser Aussage, auf welche es ankommt, bedarf sie wiederum des Begriffs der Kraft nicht. Will unsere Mechanik aber in zweiter Annaherung die Abweichungen und damit die elastischen Kriafte beriicksichtigen, so wird sie fir diese wie fur alle Krafte eine dynamische Erklirung annehmen; bei der Suche nach den wirklich starren Verbindungen wird sie vielleicht zur Welt der Atome hinabzusteigen haben, aber diese Erérterungen sind hier nicht am Platze, sie bertihren nicht mehr die Frage, ob es logisch zulaissig sei, feste Verbindungen unabhingig von und vor den Kriften zu behandeln. Dafs diese Frage zu | bejahen sei und nur dies wiinschten wir zu erweisen und glauben wir erwiesen zu haben. Steht aber dies fest, so kénnen wir aus der Natur der festen Verbindungen die Eigen- schaften der Krifte und ihr Verhalten ableiten ohne uns damit einer petitio principii schuldig gemacht zu haben. Andere Einwinde &hnlicher Art sind méglich, kénnen aber, wie ich glaube, in &bnlicher Art erledigt werden.

Dem Wunsche, die logische Reinheit des Systems auch in allen Einzelheiten zu erweisen, habe ich dadurch Ausdruck gegeben, dafs ich fir die Darstellung die altere synthetische Form benutzt habe. Diese Form bietet fiir jenen Zweck schon darin einen gewissen Vorteil, dafs sie uns zwingt, jeder wesent- lichen Aussage den beabsichtigten logischen Wert in abwechs- lungsarmer aber bestimmter Angabe vorauszuschicken. Dadurch werden die bequemen Vorbehalte und Vieldeutigkeiten unméglich gemacht, zu welchen die gewéhnliche Sprache durch den Reich- tum ihrer Verkniipfung verlockt. Der wichtigste Vorteil der gewahliten Form ist aber dieser, dafs sie stets nur auf Vor- bewiesenes sich beruft, niemals auf spiter zu erweisendes, so dafs man der ganzen Kette sicher ist, wenn man beim Vor-

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wartsschreiten nur jedes einzelne Glied geniigend prift. In dieser Hinsicht habe ich den Pflichten dieser Art der Dar- stellung mit Strenge zu geniigen gesucht. Im ibrigen ist es selbstverstandlich, dafs die Form allein vor Irrtum und Uber- sehen keinen Schutz gewahren kann und bitteich etwa eingeflossene ' Fehler nicht um des etwas anspruchsvollen Vortrags willen strenger zu beurteilen. Ich hoffe, solche Fehler werden stets verbesserungsfahig sein und daher keinen wesentlichen Punkt betreffen. Bisweilen bin ich itbrigens bewulster Weise zur Vermeidung allzu grofser Weitliufigkeit hinter der vollen Scharfe zurtickgeblieben, welche die Darstellungsweise eigentlich fordert. Es bedarf keiner besonderen Begriindung, dafs ich den Betrachtungen der eigentlichen Mechanik, welche von physikalischer Erfahrung abhingt, diejenigen Beziehungen vorausgeschickt habe, welche allein Folge der gewahliten De- finitionen und mathematischer Notwendigkeit sind, und welche, wenn tiberhaupt, so doch jedenfalls in anderm Sinne als jene mit der Erfahrung zusammenhingen. Nichts hindert tibrigens den Leser, mit dem zweiten Buche zu beginnen. Die durch- sichtige Analogie mit der Mechanik des einzelnen Punktes und der bekannte Stoff werden ihn den Sinn der vorgetragenen Satze leicht erraten lassen. Hat er der benutzten Redeweise Zweckmilsigkeit zugebilligt, so ist immer noch Zeit, dafs er sich aus dem ersten Buche von ihrer Zulissigkeit iiberzeuge.

Wenden wir uns jetzt der zweiten wesentlichen Forderung zu, welcher unser Bild zu geniigen hat, so ist es zundchst unzweifelhaft, dafs das System sehr viele natirliche Bewegungen richtig darstellt. Allein nach den Anspriichen des Systems geniigt dies nicht; es mufs als notwendige Erginzung die Be- hauptung dahin erweitert werden, dafs das System alle natiir- lichen Bewegungen ohne Ausnahme umfasse. Auch dies kann man, denke ich, behaupten, wenigstens in dem Sinne, dafs sich zur Zeit keine bestimmten Erscheinungen angeben lassen, welche dem System nachweislich widersprachen. Es ist frei- lich klar, dafs die Ausdehnung auf alle Erscheinungen einer scharfen Priifung nicht zuginglich ist, dafs daher das System tiber das Ergebnis sicherer Erfahrung ein wenig hinausgeht und also den Charakter einer Hypothese trigt, welche ver-

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suchsweise angenommen wird und auf plétzliche Widerlegung durch ein einziges Beispiel oder allm&hliche Bestitigung durch sehr viele Beispiele wartet. Vornehmlich sind es zwei Stellen, an welchen ein Hinausgehen iiber sichere Erfahrung statt- findet: Die eine betrifft unsere Beschrinkung der miglichen Zusammenhinge, die andere betrifft die dynamische Erklérung der Krafte. Mit welchem Rechte kénnen wir versichern, dafs alle Zusammenhinge der Natur durch lineare Differential- gleichungen erster Ordnung sich ausdriicken lassen? Diese Annahme ist fiir uns nicht eine nebensichliche, welche wir auch fallen lassen kénnten; mit ihr fiele unsere Mechanik; denn es fragt sich, ob auf Verbindungen allgemeinster Art unser Grundgesetz anwendbar bliebe. Und doch sind Ver- bindungen allgemeinerer Art nicht nur vorstellbar, sie werden auch in der gewéhnlichen Mechanik ohne Bedenken zugelassen. Dort hindert uns nichts, die Bewegung eines Punktes zu unter- suchen, dessen Bahn der einzigen Beschrinkung unterworfen ist, dafs sie mit einer gegebenen Ebene einen gegebenen Winkel bilde, oder dafs ihr Kriimmungshalbmesser bestandig einer gegebenen anderen Linge proportional sei. Diese Bedingungen fallen schon nicht mehr unter diejenigen, welche unsere Mechanik zulifst. Woher nehmen wir aber die Gewifsheit, dafs sie auch durch die Natur der Dinge ausgeschlossen seien? Wir kénnen erwidern, dafs man vergeblich versuche, diese und &hnliche Verbindungen durch ausfihrbare Mechanismen zu verwirk- lichen und wir kénnen uns in dieser Ansicht auf die gewaltige Autoritit von He~muoitz’s berufen. Aber in jedem Beispiel kénnen Méglichkeiten tibersehen worden sein, und noch so viele Beispiele wiirden nicht hinreichen, die allgemeine Be- hauptung zu erweisen. Mit mehr Recht kénnen wir, wie mir scheint, als Grund unserer Uberzeugung anfihren, dafs alle Verbindungen eines Systems, welche aus dem Rahmen unserer Mechanik heraustreten, in dem einen oder in dem andern Sinne eine unstetige Aneinanderreihung seiner miglichen Be- wegungen bedeuten wiirden, dafs es aber in der That eine Erfahrung allgemeinster Art sei, dafs die Natur im Unendlich- kleinen tiberall und in jedem Sinne Stetigkeit aufweise, eine Erfahrung, die sich in dem alten Satze ,,natura non facit saltus“, zu fester Uberzeugung verdichtet hat. Ich habe des-

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halb auch im Texte Wert darauf gelegt, die zugelassenen Ver- bindungen allein durch ihre Stetigkeit zu definieren, und ihre Kigenschaft, sich durch Gleichungen bestimmter Form dar- stellen zu lassen, erst aus jener abzuleiten. Eigentliche Sicher- heit wird indessen auch so nicht erlangt. Denn die Unbestimmt- heit jenes alten Satzes lifst es zweifelhaft erscheinen, ob die Grenzen seiner berechtigten Tragweite hinreichend feststehen und wieweit er tiberhaupt das Ergebnis wirklicher Erfahrung, wieweit das Ergebnis willkiirlicher Voraussetzung ist. Am ge- wissenhaftesten wird es daher sein, zuzugeben, dafs unsere Annahme iiber die zulassigen Verbindungen den Charakter einer versuchsweise angenommenen Hypothese trage. Ganz ihnlich liegen die Dinge in betreff der dynamischen Erklirung der Krafte. Wir kénnen allerdings zeigen, dafs gewisse Klassen verborgener Bewegungen Krafte erzeugen, welche, wie die Fern- krafte der Natur, sich mit beliebiger Annaherung als Ablei- tungen von Kraftefunktionen darstellen lassen. Es stellt sich auch heraus, dafs die Formen dieser Kriftefunktionen sehr allgemeiner Natur sein kénnen und wir leiten in der That gar keine Einschrinkungen derselben ab. Aber auf der anderen Seite bleiben wir auch den Beweis schuldig, dafs sich jede ' beliebige Form der Kraftefunktionen erzielen lafst und es bleibt daher die Frage offen, ob nicht etwa gerade eine der in der Natur vorkommenden Formen einer solchen Erklérungsweise sich entzieht. Es bleibt auch hier abzuwarten, ob die Zeit unsere Annahme widerlegen oder durch das Ausbleiben einer Widerlegung mehr und mehr wahrscheinlich machen wird. Ein gutes Vorzeichen kénnen wir darin sehen, dafs die Ansicht vieler ausgezeichneter Physiker sich der Hypothese immer mehr zuneigt. Ich erinnere nochmals an die Wirbeltheorie der Atome von Lord Kxtvin, welche uns ein Bild des mate- riellen Weltganzen vorfihrt, wie es mit den Prinzipien unserer Mechanik in vollem Kinklange ist. Und doch verlangt unsere Mechanik keineswegs eine so grofse Hinfachheit und Beschran- kung der Voraussetzungen, wie sie sich Lord Krnvin auferlegt hat. Wir wirden unsere Grundsitze noch nicht verlassen, wenn wir anniéhmen, dafs die Wirbel um starre oder um bieg- same, aber unausdehnbare Kerne kreisten und auch das welt- erfillende Medium kénnten wir anstatt der blofsen Inkom-

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pressibilitat viel verwickelteren Bedingungen unterwerfen, deren allgemeinste Form noch zu untersuchen wire. Es erscheint also keineswegs ausgeschlossen, dafs wir mit den von unserer Mechanik zugelassenen Hypothesen zur Erklarung der Er- scheinungen auch ausreichen.

Einen Vorbehalt miissen wir indessen hier einschalten. Es ist gewils eine gerechtfertigte Vorsicht, wenn wir im Texte das Gebiet unserer Mechanik ausdriicklich beschranken auf die unbelebte Natur und die Frage vollkommen offen lassen, wie weit sich ihre Gesetze dariiber hinaus erstrecken. In Wahr- heit liegt die Sache ja so, dafs wir weder behaupten kénnen, dafs die inneren Vorgiinge der Lebewesen denselben Gesetzen folgen, wie die Bewegungen der leblosen Kérper, noch auch behaupten kénnen, dafs sie andern Gesetzen folgen. Der An- schein aber und die gewdhnliche Meinung spricht fir einen grundsatzlichen Unterschied. Und dasselbe Gefithl, welches uns antreibt, aus der Mechanik der leblosen Welt jede An- deutung einer Absicht, einer Empfindung, der Lust und des Schmerzes, als fremdartig auszuscheiden, dasselbe Gefthl lafst uns Bedenken tragen, unser Bild der belebten Welt dieser reicheren und bunteren Vorstellungen zu berauben. Unser Grundgesetz, vielleicht ausreichend die Bewegung der toten Materie darzustellen, erscheint wenigstens der flichtigen Schatzung zu einfach und zu beschriinkt, um die Mannigfaltig- keit selbst des niedrigsten Lebensvorganges wiederzugeben. Dafs dem so ist, scheint mir nicht ein Nachteil, sondern eher ein Vorzug unseres Gesetzes. Eben weil es uns gestattet das Ganze der Mechanik umfassend zu iiberblicken, zeigt es uns auch die Grenzen dieses Ganzen. Eben weil es uns nur eine Thatsache giebt, ohne derselben den Schein der Notwendigkeit beizulegen, lafst es uns erkennen, dafs alles auch anders sein kénnte. Vielleicht wird man solche Erérterungen an dieser Stelle fir iiberfliissig halten. In der That ist man auch nicht gewohnt, sie in der gewéhnlichen Darstellung der Mechanik bei den Elementen behandelt zu sehen. Aber dort gewahrt die véllige Unbestimmtheit der eingefithrten Krifte noch einen weiten Spielraum. Man behilt sich stillschweigend vor, spiter etwa, einen Gegensatz zwischen den Kriften der belebten und

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‘der unbelebten Natur festzustellen. In unserer Darstellung ist das betrachtete Bild von vornherein so scharf umrissen, dafs sich nachtriglich kaum mehr tief eingreifende Einteilungen werden vornehmen lassen. Wollen wir daher die aufgeworfene Frage nicht tiberhaupt ignorieren, so miissen wir gleich im Eingang Stellung zu derselben nehmen.

Uber die Zweckmilsigkeit unseres dritten Bildes kénnen wir uns ziemlich kurz fassen. Wir kénnen aussagen, dals dieselbe, wie der Inhalt des Buches zeigen soll, nach Deut- lichkeit und Einfachheit etwa derjenigen gleichkommt, welche wir dem zweiten Bilde zusprachen, und dafs wir dieselben Vorziige, welche wir dort rihmten, auch hier hervorheben kénnen. Allerdings ist der Umkreis der zugelassenen Méglich- keiten hier nicht ganz so eng gezogen wie dort, da diejenigen starren Verbindungen, deren Fehlen wir dort hervorhoben, hier durch die Grundannahmen nicht ausgeschlossen sind. Aber diese Erweiterung entspricht der Natur und ist daher ein Vorzug; auch hindert sie nicht, die allgemeinen Kigen- schaften der natiirlichen Krifte herzuleiten, in welchen die Bedeutung des zweiten Bildes lag. Hinfachheit besteht hier wie dort zunichst im Sinne der physikalischen Anwendung. Auch hier kénnen wir unsere Betrachtung auf beliebige der Beobachtung zugangliche Merkmale der materiellen Systeme beschrénken, und aus ihren vergangenen Veriinderungen durch Anwendung des Grundgesetzes die zukiinftigen ableiten, ohne dafs wir ndtig hatten, die Lagen aller Einzelmassen des Systems zu kennen und ohne dafs wir nétig hiatten, diese Unkenntnis durch willkirliche, einflufslose und wahrscheinlich falsche Hypothesen zu itiberdecken und zu bemanteln. Im Gegensatz zum zweiten Bilde besitzt aber unser drittes Hin- fachheit auch in dem Sinne, dafs sich seine Vorstellungen der Natur so anschmiegen, dafs die wesentlichen Beziehungen der Natur durch einfache Beziehungen zwischen den Begriffen wiedergegeben werden. Das zeigt sich nicht nur im Grund- gesetze selbst, sondern auch in den zahlreichen allgemeinen Folgerungen desselben, welche den sogenannten Prinzipien der Mechanik entsprechen. Es mufs allerdings zugegeben werden, dafs diese Einfachheit nur eintritt, so lange wir es

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mit vollstindig bekannten Systemen zu thun haben, und dafs sie wieder verschwindet, sobald verborgene Massen sich ein- mischen. Aber auch in diesen Fallen liegt dann der Grund der Verwickelung klar auf der Hand; wir verstehen, dafs der Verlust der Einfachheit nicht in der Natur, sondern in unserer mangelhaften Kenntnis derselben beruht; wir begreifen, dafs die eintretenden Komplikationen nicht allein eine migliche, sondern die notwendige Folge unserer besonderen Voraus- setzungen sind. Auch das mufs zugegeben werden, dafs die Mitwirkung verborgener Massen, welche vom Standpunkte unserer Mechanik aus der entlegene und besondere Fall ist, dafs diese Mitwirkung gerade der gewéhnliche Fall der Pro- bleme des taglichen Lebens und der Technik ist. Daher ist es auch niitzlich, hier nochmals zu betonen, dafs wir von einer Zweckmialsigkeit tiberhaupt nur geredet haben in einem beson- deren Sinne, nimlich im Sinne eines Geistes, welcher ohne Ricksicht auf die zufillige Stellung des Menschen in der Natur das Ganze unserer physikalischen Erkenntnis objectiv zu um- fassen und in einfacher Weise darzustellen sucht; dafs wir aber keineswegs redeten von einer Zweckmilsigkeit im Sinne der praktischen Anwendung und der Bediirfnisse des Menschen. In betreff dieser letzteren kann die fir sie ausdricklich erdachte gewohnliche Darstellung der Mechanik wohl niemals durch eine zweckmilsigere ersetzt werden. Zu dieser Dar- stellung verhalt sich die von uns hier vorgefiihrte etwa wie die systematische Grammatik einer Sprache zu einer Gram- matik, welche den Lernenden méglichst bald erlauben soll, sich tiber die Notwendigkeiten des tiglichen Lebens zu ver- standigen. Man weifs wie verschieden die Anforderungen an beide sind und wie verschieden ihre Anordnungen ausfallen miissen, wenn beide ihrem Zweck so genau wie miglich ent- sprechen sollen.

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Blicken wir zum Schlusse noch einmal zuriick auf die drei Bilder der Mechanik, welche wir vorgefthrt haben und suchen wir einen letzten uud endgiiltigen Vergleich zwischen ihnen anzustellen. Das zweite Bild lassen wir nach dem, was wir gesagt haben, fallen. Das erste und dritte Bild wollen wir gleichstellen in Bezug auf die Zulissigkeit, indem wir an- nehmen, dafs dem ersten Bilde eine in logischer Hinsicht voll- standig befriedigende Gestalt gegeben sei, wie wir ange- nommen haben, dafs sie gegeben werden kénne. Wir wollen beide Bilder auch gleichstellen in Bezug auf die Zweckmalsig- keit, indem wir annehmen, dafs man das erste Bild durch geeignete Zusatze erginzt habe und indem wir annehmen, dafs die nach verschiedener Richtung gehenden Vorziige einander das Gleichgewicht halten. Dann bleibt als einziger Wert- mafsstab die Richtigkeit der Bilder, welche durch die Gewalt der Dinge bestimmt ist, und welche nicht in unserer Willkir liegt. Und hier machen wir nun die wichtige Bemerkung, dafs nur das eine oder das andere jener Bilder, nicht aber beide gleichzeitig richtig sem kénnen. Denn suchen wir die wesent- lichen Beziehungen beider Darstellungen auf ihren kirzesten Ausdruck zu bringen, so kénnen wir sagen: Das erste Bild nehme als letzte konstante Elemente in der Natur die relativen Beschleunigungen der Massen gegen einander an, aus diesen leite sie gelegentlich angenihert, aber auch nur angenihert feste Verhiltnisse zwischen den Lagen ab. Das dritte Bild aber nehme als die streng unverinderlichen Elemente der Natur feste Verhiltnisse zwischen den Lagen an, aus diesen leite sie, wo die Erscheinungen es erfordern, angenahert, aber auch nur angenihert unverinderliche relative Beschleunigungen zwischen den Massen her. Kénnten wir nun die Bewegungen der Natur nur genau genug erkennen, so wiifsten wir sogleich, ob in ihnen die relative Beschleunigung oder ob die relativen Lagen- verhiltnisse der Massen oder ob beide nur angenihert unver- anderlich sind. Wir wiifsten dann auch sogleich, welche von unseren beiden Annahmen falsch ist oder ob beide falsch sind, denn richtig kénnen nicht beide gleichzeitig sein. Die gréfste Einfachheit steht auf seiten des dritten Bildes. Was uns zwingt, gleichwohl zunichst zu Gunsten des ersten zu

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entscheiden, igt der Umstand, dafs wir wirklich in den Fern- kraften relative Beschleunigungen aufweisen kénnen, welche bis an die Grenze unserer Beobachtung unverinderlich scheinen, wahrend alle festen Verbindungen zwischen den Lagen der greifbaren Kérper schon innerhalb der Wahrnehmung unserer Sinne sich schnell nur angendhert als konstant erweisen. Aber dies Verhiltnis andert sich zu Gunsten des dritten Bildes, sobald die verfeinerte Erkenntnis uns etwa zeigt, dafs die Annahme unveranderlicher Fernkriéfte nur eine erste An- naherung an die Wahrheit liefert, welcher Fall in dem Ge- biete der elektrischen und magnetischen Krafte bereits ein- getreten ist. Und die Wage schlagt vollends fiber zu Gunsten des dritten Bildes, sobald eine zweite Annaherung an die Wahrheit dadurch erzielt werden kann, dafs man die vermeint- liche Wirkung der Fernkrafte zuriickfihrt auf Bewegungsvor- gange in einem raumerfillenden Mittel, dessen kleinste Teile starren Verbindungen unterliegen, ein Fall der gleichfalls in dem erwihnten Gebiete nahezu verwirklicht erscheint. Hier also liegt das Feld, auf welchem auch der Entscheidungskampf zwischen den verschiedenen von uns betrachteten Grund- annahmen der Mechanik ausgefochten werden muls. Die Entscheidung selbst aber setzt voraus, dafs vorher die vor- handenen Méglichkeiten nach allen Richtungen hin griindlich erwogen seien. Sie nach einer besonderen Richtung zu ent- wickeln, ist der Zweck der vorliegenden Arbeit. Diese Arbeit ist also notwendig gewesen, auch wenn es noch lange dauern sollte, bis eine Entscheidung miglich ist, und auch dann, wenn diese Entscheidung schliefslich zu Ungunsten des hier ausfihr- lich entwickelten Bildes ausfallen sollte.

Hertz, Mechanik. 4

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ZUR GEOMETRIE UND KINEMATIK DER MATERTELLEN SYSTEME.

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[PDF-PAGE 89] Vorbemerkung. Den Uberlegungen des ersten Buches 1 bleibt die Erfahrung véllig fremd. Alle vorgetragenen Aus- sagen sind Urteile a priori im Sinne Kant’s. Sie beruhen auf den Gesetzen der inneren Anschauung und den Formen der eigenen Logik des Aussagenden und haben mit der dufseren Erfahrung desselben keinen anderen Zusammenhang, als ihn diese Anschauungen und Formen etwa haben.

Abschnitt 1. Zeit, Raum, Masse.

Erlauterung. Die Zeit des ersten Buches ist die Zeit 2 unserer inneren Anschauung. Sie ist daher eine Grifse, von deren Anderung die Anderungen der iibrigen betrachteten Gréfsen abhingig gedacht werden kénnen, wahrend sie selbst stets unabhingig verinderlich ist.

Der Raum des ersten Buches ist der Raum unserer Vor- stellung. Er ist also der Raum der Evuxim’schen Geometrie mit allen Higenschaften, welche diese Geometrie ihm zuspricht. Es ist gleichgiiltig fir uns, ob man diese Higenschaften an- sieht als gegeben durch die Gesetze der inneren Anschauung, oder als denknotwendige’ Folgen willkirlicher Definitionen.

Die Masse des ersten Buches wird eingefihrt durch eine Definition.

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Definition 1. Ein Massenteilchen ist ein Merkmal, durch welches wir einen bestimmten Punkt des Raumes zu einer gegebenen Zeit eindeutig zuordnen einem bestimmten Punkte des Raumes zu jeder anderen Zeit.

Jedes Massenteilchen ist unverinderlich und unzerstir- bar. Die durch dasselbe Massenteilchen gekennzeichneten Punkte des Raumes zu zwei verschiedenen Zeiten fallen zu- sammen, wenn die Zeiten zusammenfallen. Diese Bestim- mungen sind bereits in der Definition enthalten, wenn deren Wortlaut richtig gefafst wird.

Definition 2. Die Zahl der Massenteilchen in einem beliebigen Raume, verglichen mit der Zahl der Massenteilchen, welche sich in einem festgesetzten Raume zu festgesetzter Zeit finden, heifst die in dem ersteren Raume enthaltene Masse.

Die Zahl der Massenteilchen in dem Vergleichsraume kann und soll unendlich grofs gewihlt werden. Die Masse des ein- zelnen Massenteilchens wird alsdann nach der Definition un- endlich klein. Die Masse in einem beliebigen Raume kann daher jeden rationalen oder irrationalen Wert annehmen.

Definition 3. Eine endliche oder unendlich kleine Masse, vorgestellt in einem unendlich kleinen Raume, heifst ein mate- rieller Punkt.

Ein materieller Punkt besteht also aus einer beliebigen Anzahl mit einander verbundener Massenteilchen. Diese Zahl soll stets unendlich grofs sein, was dadurch erreicht werden kann, dafs wir uns die Massenteilchen von héherer Ordnung unendlich klein denken, als die etwa betrachteten materiellen Punkte von verschwindender Masse. Die Massen der mate- riellen Punkte, insbesondere auch die Massen der unendlich kleinen materiellen Punkte kénnen darnach in jedem beliebigen rationalen oder irrationalen Verhdltnis zu einander stehen.

Definition 4. Eine Anzahl gleichzeitig betrachteter ma- terieller Punkte heifst ein System materieller Punkte, oder kurz ein System. Die Summe der Massen der einzelnen Punkte ist nach 4 die Masse des Systems.

Ein endliches System besteht also aus einer endlichen Zahl endlicher oder aus einer unendlichen Anzahl unendlich

[PDF-PAGE 91] Lage der Punkte und Systeme. 55

kleiner materieller Punkte oder aus beiden. Stets ist es er- laubt, das System materieller Punkte anzusehen als zusammen- gesetzt aus einer unendlichen Anzahl von Massenteilchen.

Anmerkung 1. Im folgenden werden wir das endliche System stets behandeln als bestehend aus einer endlichen Zahl endlicher materieller Punkte. Da wir aber keine obere Grenze festsetzen fiir die Zahl derselben und keine untere fir ihre Masse, so umfassen unsere allgemeinen Aussagen als besonderen Fall auch den Fall, dafs das System unendlich viele unendlich kleine materielle Punkte enthalt. Auf die Besonderheiten, welche die analytische Behandlung dieses Falles nétig macht, werden wir indessen nicht eingehen.

Anmerkung 2. Der materielle Punkt kann angesehen werden als ein besonderer Fall und als das einfachste Bei- spiel eines Systems materieller Punkte.

Abschnitt 2. Lagen und Verrtickungen der Punkte und Systeme.

Lage.

Definition 1. Der Punkt des Raumes, welcher durch ein gewisses Massenteilchen zu einer gewissen Zeit gekenn- zeichnet ist, wird die Lage des Massenteilchens zu jener Zeit genannt. Lage eines materiellen Punktes heifst die gemein- same Lage seiner Massenteilchen.

Definition 2. Die gleichzeitig vorgestellte Gesamtheit der Lagen aller Punkte eines Systems heifst die Lage des Systems.

Definition 3. Jede beliebige Lage eines materiellen Punktes im unendlichen Raume heifst eine geometrisch denk-

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bare oder kurz eine denkbare Lage des Punktes. Die Gesamt- heit irgend welcher denkbaren Lagen der Punkte eines Systems heifst eine denkbare Lage des Systems.

Zu einer jeden Zeit kénnen sich unterscheiden zwei Massen- teilchen durch ihre Lage, zwei materielle Punkte durch ihre Masse und ihre Lage, zwei Systeme materieller Punkte durch Zahl, Masse und Lage ihrer Punkte. Nach anderen Rich- tungen als diesen aber kénnen sich auf Grund unserer bis- herigen Definitionen Massenteilchen, materielle Punkte, Systeme materieller Punkte nicht unterscheiden.

Analytische Darstellung der Lage. a) des Punktes. Die Lage eines materiellen Punktes kann analytisch dargestellt

’ werden durch die Angabe der drei rechtwinklig-geradlinigen

cartesischen Koordinaten desselben in Bezug auf ein ruhendes, festes Axensystem. Diese Koordinaten sollen dauernd mit 2,2,2x, bezeichnet werden. Jeder denkbaren Lage des Punktes entspricht ein eindeutig bestimmtes Wertsystem dieser Koordi- naten, und umgekehrt jedem willktrlich gewahlten Wertsystem der Koordinaten eine eindeutig bestimmte denkbare Lage des Punktes.

Anstatt durch seine rechtwinkligen Koordinaten kann die Lage eines Punktes auch bestimmt werden durch irgend welche rGréfsen p,...pp--+Pr, sobald durch Ubereinkunft bestimmte Wertsysteme dieser Griéfsen bestimmten Lagen stetig zuge- ordnet sind und umgekehrt. Die rechtwinkligen Koordinaten sind alsdann Funktionen dieser Gréfsen, und umgekehrt. Die Gréfsen p, bezeichnen wir als allgemeine Koordinaten des Punktes. Ist r > 3, so miissen zwischen den p, aus geome- trischen Griinden r — 3 Gleichungen bestehen, welche gestatten, die p, als Funktionen dreier unabhangiger Groéfsen, z. B. der 2,2,2,, darzustellen. Es soll indessen eine Abhingigkeit der Koordinaten von einander aus rein geometrischen Griinden aus- geschlossen sein, und deshalb stets vorausgesetzt werden, dafs r=8 sei. Ist r < 3, so werden nicht alle denkbaren Lagen des Punktes durch Wertsysteme der p, dargestellt, sondern nur ein Teil derselben. Die durch die p, nicht dargestellten Lagen sollen bei Benutzung der p, dadurch selbst als von der Betrachtung ausgeschlossen gelten.

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Analytische Darstellung. b) des Systems. Die Lage eines Systems von materiellen Punkten kann analytisch dar- gestellt werden durch Angabe der 3n rechtwinkligen Koor- dinaten der Punkte des Systems. Diese Koordinaten sollen dauernd bezeichnet werden mit z,...2,...2g,, wobei 2, 2,2, die Koordinaten des ersten Punktes, 23,2 23,1 23, die ent- sprechend gerichteten Koordinaten des uten Punktes bedeuten mégen. Diese 3n Koordinaten x, bezeichnen wir auch kurz als die rechtwinkligen Koordinaten des Systems. Jeder denk- baren Lage des Systems entspricht ein eindeutig bestimmtes Wertsystem seiner rechtwinkligen Koordinaten, und umgekehrt jedem willkirlich gewahlten Wertsystem der z, eine eindeutig bestimmte denkbare Lage des Systems. _

Anstatt durch die rechtwinkligen Koordinaten kénnen wir die Lage eines Systems auch bestimmen durch irgendwelche rGréfsen p,...po...pr, sobald durch Ubereinkunft bestimmte Wertsysteme dieser Gréfsen bestimmten Lagen stetig zuge- ordnet sind und umgekehrt. Die rechtwinkligen Koordinaten sind dadurch Funktionen dieser Gréfsen, und umgekehrt. Die Gréfsen p, bezeichnen wir als allgemeine Koordinaten des Systems. Ist r > 3n, so miissen zwischen den p, ‘aus geome- trischen Griinden r— 3n Gleichungen bestehen. Wir wollen indessen ausschliefsen, dafs zwischen den Koordinaten aus rein geometrischen Griinden eine Abhingigkeit bestehe, und es sei daher stets r=3n. Ist r< 3n, so werden nicht alle denkbaren Lagen des Systems durch Wertsysteme der p, dar- gestellt, sondern nur ein Teil derselben. Die durch die p, nicht dargestellten Lagen sollen bei Benutzung der Koordi- naten p, dadurch selbst als von der Betrachtung ausgeschlossen gelten.

Konfiguration und absolute Lage.

Definition 1. Die.Gesamtheit der gegenseitigen Lagen der Punkte eines Systems heifst die Konfiguration des Systems.

Die Konfiguration des Systems und die absolute Lage der Konfiguration im Raume bestimmen zusammen die Lage des Systems.

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58 Prstes Buch.

Definition 2. Konfigurationskoordinate nennen wir jede Koordinate des Systems, deren Wert nicht gedndert werden kann, ohne dafs dadurch die Konfiguration des Systems sich anderte.

Ob eine bestimmte Koordinate Konfigurationskoordinate ist oder nicht, hingt also nicht ab von der Wahl der iibrigen gleichzeitig benutzten Koordinaten.

Definition 8. Koordinate der absoluten Lage heifst jede Koordinate des Systems, durch deren Anderung die Kon- figuration nicht geéndert werden kann, solange die ibrigen Koordinaten des Systems sich nicht andern.

Ob eine bestimmte Koordinate Koordinate der absoluten Lage ist oder nicht, hangt also ab von der Wahl der iibrigen gleichzeitig benutzten Koordinaten.

Folgerungen.

Kine Koordinate kann nicht zugleich Konfigurations- koordinate und Koordinate der absoluten Lage sein. Dagegen kann und wird im allgemeinen eine beliebig herausgegriffene Koordinate weder Konfigurationskoordinate noch auch Koor- dinate der absoluten Lage sein.
Sobald n> 8, kénnen 3n von einander unabhingige Koordinaten aller Lagen auf mannigfaltige Art so gewahlt werden, dafs sich unter ihnen bis zu 3n—6 Konfigurations- koordinaten finden, aber auf keine Weise so, dafs sich mehr als 3n—6 Konfigurationskoordinaten unter ihnen finden.

Denn wihlen wir unter die Koordinaten die 3 Abstiinde dreier beliebiger Punkte des Systems von einander und die 3(n— 38) Abstiinde der iibrigen von jenen, so haben wir bereits 3n— 6 Konfigurationskoordinaten, und je 3n— 6 ver- schiedene Funktionen jener Abstinde werden ebenfalls 3n —6 Konfigurationskoordinaten des Systems sein. Weniger Kon- figurationskoordinaten kénnen vorhanden sein; denn es sind z. B. gar keine vorhanden, wenn wir die 3n rechtwinkligen Koordinaten benutzen. Mehr Konfigurationskoordinaten aber kénnen sich unter unabhangigen Koordinaten nicht finden;

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denn wiren unter beliebigen Koordinaten mehr als 3n—6 Konfigurationskoordinaten vorhanden, so liefsen sich die letz- teren als Funktionen jener 3n—6 Abstinde darstellen, waren also nicht von einander unabhingig.

Sobald n> 8, kénnen 3n unabhangige Koordinaten aller denkbaren Lagen eines Systems auf mannigfaltige Art so gewahlt werden, dafs sich unter ihnen bis zu 6, aber nicht mehr als 6 Koordinaten der absoluten Lage finden.

Denn wahlen wir die Koordinaten so, dafs sich unter ihnen 3n—6 Konfigurationskoordinaten finden, und figen hinzu 6 beliebige Koordinaten, etwa 6 der rechtwinkligen Koordinaten des Systems, so sind die letzteren eo ipso Koor- dinaten der absoluten Lage, da keine Anderung derselben die Konfiguration andert, solange die iibrigen festgehalten werden. Weniger als 6 Koordinaten der absoluten Lage kénnen vor- handen sein; denn es sind z. B. keine vorhanden, wenn wir die rechtwinkligen Koordinaten des Systems benutzen. Mehr als 6 aber kénnen nicht vorhanden sein; denn waren fir eine bestimmte Wahl der Koordinaten mehr vorhanden, so waren alle denkbaren Konfigurationen bestimmt durch die ibrigen weniger als 3n—6 Koordinaten, es liefsen sich also fir das System iiberhaupt nicht 3n—6 von einander unabhingige Kon- figurationskoordinaten angeben, was gegen Folgerung 2 wire.

Sind 8n unabhingige Koordinaten eines Systems von nz Punkten so gewdhlt, dafs sich unter ihnen 3x — 6 Kon- figurationskoordinaten finden, so sind die ibrigen 6 notwendig Koordinaten der absoluten Lage. Sind jene 3n Koordinaten so gewahlt, dafs sich unter ihnen 6 Koordinaten der absoluten Lage finden, so sind die tibrigen 3n— 6 notwendig Konfigu- rationskoordinaten.

Denn fande sich unter den letzteren 3n — 6 Koordinaten auch nur eine, welche gedndert werden kénnte ohne die Kon- figuration zu andern, so wire die absolute Lage der Konfigu- ration bestimmt durch mehr als 6 unabhiangige Koordinaten, was nicht méglich.

Als Koordinate der absoluten Lage kann jede Grifse benutzt werden, deren Anderung eine Anderung in der Lage

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Heinrich Hertz — Die Prinzipien der Mechanik

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