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Mathematik — Atlas	atlas	mathematik operation funktion beweis regel

Mathematik — werkübergreifend

Hauptorte: ABH (5er-Reihe: Wahrheitsfunktionen, Operationen) und BGM. Mathematische Bemerkungen finden sich aber durchgehend in der Spätphase.

Häufigkeit (grep)

Werk	Mathe­matik	Beweis	Operation	Funktion	Regel
ABH	12	7	25	14	5
TB	8	2	23	16	4
BGM	176	250	10	13	215
PU	6	3	0	12	49
Zettel	7	2	0	7	22
ÜG	7	6	1	3	17
BPP	9	6	1	8	20
LSPP	11	5	0	6	5

ABH — Operationen und Wahrheitsfunktionen

5er-Reihe ist der mathematische Kern der ABH.

• 5.1–5.101: Wahrheits-Tafeln, Wahrheits-Funktionen der Elementarsätze.
• 5.2–5.254: Operationen. „Die Strukturen der Sätze stehen in internen Beziehungen zu einander. … Diese Beziehung … nenne ich die Operation."
• 5.232: „Die interne Relation … vermittelt zwischen einer Reihe von Sätzen."
• 5.234: „Die Wahrheits-Funktionen der Elementarsätze sind Resultate von Operationen."
• 5.25–5.254: Operation als das, was den Übergang von einem Satz zum andern beschreibt; Operation ≠ Funktion.
• 5.251: „Eine Funktion kann nicht ihr eigenes Argument sein, wohl aber kann das Resultat einer Operation ihre eigene Basis werden."
• 5.252: „Nur so ist das Fortschreiten von Glied zu Glied in einer Formenreihe … möglich. (Frege und Russell haben diese Möglichkeit übersehen…)"
• 5.4: „Es gibt keine logischen Gegenstände."
• 5.41: „Denn: alle Resultate von Wahrheitsoperationen mit Wahrheitsfunktionen sind identisch, welche eine und dieselbe Wahrheitsfunktion von Elementarsätzen sind."
• 5.5: die allgemeine Form des Satzes als Wahrheitsoperation auf Elementarsätzen.
• 6.0–6.031: die allgemeine Form der Zahl als Operation.
• 6.022: „Der Begriff der Zahl ist nichts anderes, als das, was allen Zahlen gemeinsam ist, die allgemeine Form der Zahl."
• 6.03–6.031: Mengenlehre als Übersehene-Unterscheidung. 6.031: „Die Theorie der Klassen ist in der Mathematik ganz überflüssig. Dies hängt damit zusammen, dass die Allgemeinheit, welche wir in der Mathematik brauchen, nicht die zufällige ist."

BGM — Hauptwerk

Drei thematische Schwerpunkte:

1. Regel und Regelfolgen

• BGM I §§ 1–4: Was heißt es, dass eine Regel einen Übergang „bestimmt"? Hauptbeispiel: „die Formel y = x²" als Anweisung an die Schüler.
• BGM VI §§ 1–48: ausführliche Diskussion des Regelfolgens, parallel zu PU §§ 185–242.
• Bezug zur PU: Die Regelfolgen-Diskussion ist in BGM (philosophisch) und PU (sprachphilosophisch) das gleiche Thema, von zwei Seiten beleuchtet.

2. Beweis

• BGM III §§ 1–90: Beweis als „Bild eines Übergangs". Beweis erzeugt einen Begriff, nicht eine Erkenntnis.
• BGM IV §§ 1–53: Konsistenz, Widerspruchsfreiheit. Wittgensteins berühmte Position: „Wenn ein Widerspruch auftritt, dann gibt das einfach Anlass, das Spiel zu ändern."
• BGM VII: Mathematische Analogien als Sprachspiele.

3. Gödel

• BGM I § Anhang: erste Gödel-Bemerkungen.
• BGM VII §§ 19–22: ausführliche Gödel-Diskussion. Wittgenstein bestreitet die philosophische Tragweite von Gödels Beweis: Gödels Satz ist innerhalb seines Systems wahr, aber zu sagen „er ist wahr und unbeweisbar" verlässt das System.
• Wittgensteins Gödel-Bemerkungen sind in der Forschung extrem kontrovers (Bernays, Dummett, später Floyd/Putnam).

4. Cantor / Diagonalverfahren

• BGM II §§ 1–22: das Diagonalverfahren. Wittgenstein versteht Cantors Beweis als Erzeugung eines neuen Begriffs („überabzählbar"), nicht als Entdeckung einer existierenden Größenklasse.

TB — frühe Operationsbemerkungen

Sept./Okt. 1914: Wittgenstein arbeitet an der Logik. Operation, Funktion, Wahrheitsfunktion werden in den TB Schritt für Schritt entwickelt.

Sekundärlit für den Funktion-vs-Operation-Streit

Krafts ABH-Lesart, Wittgenstein-Mathematik-Forschung:

• Mühlhölzer, Florian: Braucht die Mathematik eine Grundlegung? (2010) — die Referenz für die heutige Lesart der BGM.
• Maddy, Realism in Mathematics (1990) und spätere Arbeiten.
• Floyd, „Wittgenstein on Mathematics" in Crary/Read, The New Wittgenstein (2000).
• Mancosu (Hrsg.), Visualization, Explanation and Reasoning Styles in Mathematics (2005).

Für das Buchprojekt

• Funktion vs. Operation ist eine der drei tragenden Säulen des Hauptbuchs (siehe ideenpool/topics/funktion-operation.md — Schlüssel-Lücke!).
• ABH 5.2 ff. und 6.0 ff. sind die Kernstellen. BGM liefert die Vertiefung — aber nur als Folgeband ausarbeiten, nicht im Hauptbuch.
• Russell-Kritik in 5.252 und 6.031 ist der Schlüssel.
• Cantor/Gödel kommen im Hauptbuch nur als didaktische Illustration vor; siehe ideenpool/topics/mathematik-cantor-goedel.md.