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title: Mathematik — Atlas
type: atlas
tags:
  - mathematik
  - operation
  - funktion
  - beweis
  - regel
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# Mathematik — werkübergreifend

**Hauptorte:** ABH (5er-Reihe: Wahrheitsfunktionen, Operationen) und **BGM**. Mathematische Bemerkungen finden sich aber durchgehend in der Spätphase.

## Häufigkeit (grep)

| Werk | Mathe­matik | Beweis | Operation | Funktion | Regel |
|---|---:|---:|---:|---:|---:|
| ABH | 12 | 7 | **25** | 14 | 5 |
| TB | 8 | 2 | 23 | 16 | 4 |
| **BGM** | **176** | **250** | **10** | 13 | **215** |
| PU | 6 | 3 | 0 | 12 | 49 |
| Zettel | 7 | 2 | 0 | 7 | 22 |
| ÜG | 7 | 6 | 1 | 3 | 17 |
| BPP | 9 | 6 | 1 | 8 | 20 |
| LSPP | 11 | 5 | 0 | 6 | 5 |

## ABH — Operationen und Wahrheitsfunktionen

**5er-Reihe ist der mathematische Kern der ABH.**

- **5.1–5.101**: Wahrheits-Tafeln, Wahrheits-Funktionen der Elementarsätze.
- **5.2–5.254**: **Operationen**. „Die Strukturen der Sätze stehen in internen Beziehungen zu einander. … Diese Beziehung … nenne ich die Operation."
- **5.232**: „Die interne Relation … vermittelt zwischen einer Reihe von Sätzen."
- **5.234**: „Die Wahrheits-Funktionen der Elementarsätze sind Resultate von Operationen."
- **5.25–5.254**: Operation als das, was den Übergang von einem Satz zum andern beschreibt; **Operation ≠ Funktion**.
- **5.251**: „Eine Funktion kann nicht ihr eigenes Argument sein, wohl aber kann das Resultat einer Operation ihre eigene Basis werden."
- **5.252**: „Nur so ist das Fortschreiten von Glied zu Glied in einer Formenreihe … möglich. (Frege und Russell haben diese Möglichkeit übersehen…)"
- **5.4**: „Es gibt keine logischen Gegenstände."
- **5.41**: „Denn: alle Resultate von Wahrheitsoperationen mit Wahrheitsfunktionen sind identisch, welche eine und dieselbe Wahrheitsfunktion von Elementarsätzen sind."
- **5.5**: die allgemeine Form des Satzes als Wahrheitsoperation auf Elementarsätzen.
- **6.0–6.031**: die allgemeine Form der Zahl als Operation.
- **6.022**: „Der Begriff der Zahl ist nichts anderes, als das, was allen Zahlen gemeinsam ist, die allgemeine Form der Zahl."
- **6.03–6.031**: Mengenlehre als Übersehene-Unterscheidung. **6.031**: „Die Theorie der Klassen ist in der Mathematik ganz überflüssig. Dies hängt damit zusammen, dass die Allgemeinheit, welche wir in der Mathematik brauchen, nicht die zufällige ist."

## BGM — Hauptwerk

Drei thematische Schwerpunkte:

### 1. Regel und Regelfolgen

- **BGM I §§ 1–4**: Was heißt es, dass eine Regel einen Übergang „bestimmt"? Hauptbeispiel: „die Formel y = x²" als Anweisung an die Schüler.
- **BGM VI §§ 1–48**: ausführliche Diskussion des Regelfolgens, parallel zu PU §§ 185–242.
- Bezug zur **PU**: Die Regelfolgen-Diskussion ist in BGM (philosophisch) und PU (sprachphilosophisch) das gleiche Thema, von zwei Seiten beleuchtet.

### 2. Beweis

- **BGM III §§ 1–90**: Beweis als „Bild eines Übergangs". Beweis erzeugt einen Begriff, nicht eine Erkenntnis.
- **BGM IV §§ 1–53**: Konsistenz, Widerspruchsfreiheit. Wittgensteins berühmte Position: „Wenn ein Widerspruch auftritt, dann gibt das einfach Anlass, das Spiel zu ändern."
- **BGM VII**: Mathematische Analogien als Sprachspiele.

### 3. Gödel

- **BGM I § Anhang**: erste Gödel-Bemerkungen.
- **BGM VII §§ 19–22**: ausführliche Gödel-Diskussion. Wittgenstein bestreitet die *philosophische* Tragweite von Gödels Beweis: Gödels Satz ist innerhalb seines Systems wahr, aber zu sagen „er ist wahr und unbeweisbar" verlässt das System.
- Wittgensteins Gödel-Bemerkungen sind in der Forschung extrem kontrovers (Bernays, Dummett, später Floyd/Putnam).

### 4. Cantor / Diagonalverfahren

- **BGM II §§ 1–22**: das Diagonalverfahren. Wittgenstein versteht Cantors Beweis als Erzeugung eines neuen Begriffs („überabzählbar"), nicht als Entdeckung einer existierenden Größenklasse.

## TB — frühe Operationsbemerkungen

Sept./Okt. 1914: Wittgenstein arbeitet an der Logik. Operation, Funktion, Wahrheitsfunktion werden in den TB Schritt für Schritt entwickelt.

## Sekundärlit für den Funktion-vs-Operation-Streit

Krafts ABH-Lesart, Wittgenstein-Mathematik-Forschung:
- **Mühlhölzer, Florian**: *Braucht die Mathematik eine Grundlegung?* (2010) — *die* Referenz für die heutige Lesart der BGM.
- **Maddy**, *Realism in Mathematics* (1990) und spätere Arbeiten.
- **Floyd**, „Wittgenstein on Mathematics" in Crary/Read, *The New Wittgenstein* (2000).
- **Mancosu** (Hrsg.), *Visualization, Explanation and Reasoning Styles in Mathematics* (2005).

## Für das Buchprojekt

- **Funktion vs. Operation** ist eine der **drei tragenden Säulen des Hauptbuchs** (siehe `ideenpool/topics/funktion-operation.md` — Schlüssel-Lücke!).
- ABH 5.2 ff. und 6.0 ff. sind die Kernstellen. BGM liefert die Vertiefung — aber nur als Folgeband ausarbeiten, nicht im Hauptbuch.
- **Russell-Kritik** in 5.252 und 6.031 ist der Schlüssel.
- Cantor/Gödel kommen im Hauptbuch nur als didaktische Illustration vor; siehe `ideenpool/topics/mathematik-cantor-goedel.md`.